Образец индивидуального задания

ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ

Задача 1

Даны матрицы , , .

1. Вычислить матрицу 4A+5C+7.

2. Выполняется ли равенство AC=CA?

3. Вычислить определители ,,и проверить равенство:==.

4. Используя свойства определителей, вычислить определитель

5. Решить систему AX=B матричным методом.

Задача 2

1. Решить системы уравнений по формулам Крамера:

,, .

2. Решить систему уравнений методом Гаусса:

.

Задача 3

Построить точки и векторы: ;.

Задача 4

Даны векторы , =. Вычислить и изобразить в системе координат следующие линейные комбинации векторов и :

, ,

Задача 5

Найти линейную комбинацию векторов , =, с коэффициентами .

Задача 6

Будут ли векторы линейно зависимы или линейно независимы в случаях:

а) = =;б) = =;в) = =, ?

Задача 7

Даны три вектора = =, . Доказать, что система образует базис в. Найти разложение векторапо этому базису.

Задача 8

Даны два вектора =и =. Найтиуголмежду векторамии, а также.

Задача 9

При каком значении вектор =ортогонален вектору =? При каких значениях x и y векторы и параллельны?

Задача 10

Вычислить площадь и высоту треугольника с вершинами A(7;3;4), B(1;0;6) и C(4;5;7).

Задача 11

Вершины треугольной пирамиды находятся в точках ,,и. Вычислить:а) объем пирамиды; б) высоту, опущенную из вершины

Задача 12

Выяснить, лежат ли точки D(1;0;1), E(0;1;–3) в плоскости ABC, где A(5;–3;0), B(–4;3;3), C(–4;2;4).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Решение задачи 1.1

Напомним, что — матрица, транспонированная к матрицеC (см. определение 3 из лекции 1), то есть такая, первый столбец которой совпадает с первой строкой матрицы C; второй столбец — со второй строкой, третий столбец — с третьей строкой. Чтобы умножить матрицу на число, нужно каждый элемент этой матрицы умножить на это число, а чтобы сложить матрицы одинаковых размеров, нужно сложить одноименные элементы этих матриц (см. определение 7 из лекции 3). Поэтому 4A+5C+7=

Решение задачи 1.2

Две матрицы можно перемножать, если число элементов в строке первой матрицы равно числу элементов в столбце второй из перемножаемых матриц (см. в лекции 3 определение 9 и диаграмму перед ним). Поэтому матрицы AC и CA можно вычислить:

=и, аналогично, . Значит,

Решение задачи 1.3

Используя формулу (4), а затем формулу (3) для вычисления определителей третьего и второго порядка (см. лекцию 1), получаем:

;

;

;

.

Теперь очевидно, что. Иного и не могло быть в силу выполнения свойства 9 определителей (см. лекцию 2).

Решение задачи 1.4

Вычтем из элементов первой строки определителя утроенные элементы второй строки, прибавим к элементам третьей строки удвоенные элементы второй строки и, наконец, вычтем из элементов четвертой строки элементы второй строки. Согласно свойству 7 определителей (см. лекцию 2) величина определителя при этом не изменится, а сам определитель преобразуется к виду:

.

Разложим этот определитель по элементам первого столбца, что возможно вследствие теоремы 1 (см. лекцию 3):

.

Прибавив к элементам второй и третьей строк элементы первой строки, получаем: