МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании кафедры высшей математики 11.06.2011 г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Раздел 2. Линейная алгебра

Курс лекций

и образец решения индивидуального задания

по высшей математике для бакалавров 1-го курса

очной формы обучения

Ростов-на-Дону

2011

УДК 517(07)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Раздел 2. Линейная алгебра. Курс лекций и образец решения индивидуального задания по высшей математике для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 33 с.

Изложен курс лекций по линейным образам (уравнения прямых и плоскостей). Приведен образец индивидуального задания, снабженный подробным решением входящих в него задач.

Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 517(07)

Составитель:	д-р физ.-мат. наук, проф. И.В. Павлов
Рецензенты:	канд. физ.-мат. наук, доц. А.М. Можаев, канд. физ.-мат. наук, доц. Г.А. Власков

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 177

Подписано в печать 12.07.11. Формат 6084/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 2,5. Тираж 50 экз. Заказ 379

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

Часть 3: уравнения прямых и плоскостей Лекция 10

Параметрические уравнения прямой в

Дано: точкаи ненулевой вектор.

Требуется: записать уравнение прямой, проходящей через точкуAи вектор(предполагается, что начало векторасовмещено с точкойA).

Решение. Рассмотрим на прямой так называемую "текущую" точкус переменными координатамиx, y иz. Наложим на переменныеx, y иz такие условия, которые, с одной стороны, дадут возможность точкеMпопасть в любую точку прямойи, с другой стороны, не позволят точкеM выйти за пределы прямой. Полученные соотношения и будут представлять собой уравнения прямой. Имеем цепочку равносильностей (в этой цепочке символбудет заменять слово "существует"):

вектора илинейно зависимы

.

Система уравнений

(42)

называется параметрическими уравнениями прямой в по точкеА и вектору . Числоtявляется в уравнениях (42) параметром, могущим принимать любое действительное значение. Вектор(как и любой вектор, параллельный прямой) называютнаправляющим вектором прямой .

Числовая иллюстрация.Запишем уравнения прямой, проходящей через точкуи вектор. Подставив имеющиеся данные в уравнение (42), получим:

.

(43)

Применяя уравнения (42) к решению конкретных задач, следует, прежде всего, отдавать себе отчет в двух вещах.

1) Чтобы получать точки прямой , нужно придавать параметруtразличные действительные значения. Например, если требуется найти какие-либо три различные точки на прямой (43), то можно сначала выбрать самое простое значение параметра, а именно, и, подставив в (43), получить исходную точкуA. Затем выбираем какие-нибудь еще два значения параметра, к примеру,и, и получаем, соответственно, точкии, лежащие на прямой. Если существует произвол в выборе точек, то ясно, что третье значение параметра брать не стоит.

2) Если нужно проверить, лежат ли, например, точки ина прямой (43), в каждом случае следует подставлять координаты данных точек вместоx, y иzв уравнение (43) и решать полученную систему 3-х уравнений с одним неизвестным. Если система окажется совместной, то точка лежит на прямой, а если несовместной – то не лежит.

Имеем для точки D:

.

Система совместна, и точкеDсоответствует значение параметра

Для точки E:

.

Система несовместна, следовательно .

Пример 21.Записать уравнения прямой, проходящей через точкии.

Ясно, что направляющий вектор для можно задать так:

.

Пример 22.Записать уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно векторами.

Принимая во внимание теорему 15, направляющий вектор для можно вычислить следующим образом:

.

Следовательно, .

Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Дано: точкаи ненулевой вектор.

Требуется: записать уравнение плоскости, проходящей через точкуAортогонально вектору.

Решение. Рассмотрим на плоскости "текущую" точкус переменными координатамиx, y иz. Наложим на переменныеx, y иz условие, которое, с одной стороны, даст возможность точкеMпопасть в любую точку плоскости и, с другой стороны, не позволит точкеM выйти за пределы этой плоскости. Полученное соотношение и будет представлять собой уравнения плоскости. Имеем цепочку равносильностей:

. Уравнение

(44)

называется уравнением плоскости по точке A и нормальному вектору (термины "нормальный вектор", "ортогональный вектор", "перпендикулярный вектор" означают одно и то же).

Числовая иллюстрация.Запишем уравнение плоскости, проходящей через точкуи имеющей нормальный вектор. По формуле (44) имеем:

Уравнение плоскости по точке и двум векторам

Дано: точкаи два линейно независимых (неколлинеарных) вектораи.

Требуется: записать уравнение плоскости, проходящей через точкуAи векторыи(предполагается, что начала векторовисовмещены с точкойA).

Решение. Сведем эту задачу к задаче построения уравнения плоскости по точке и нормальному вектору. Очевидно, в качестве нормального вектора можно выбрать вектор. Взяв текущую точкуи применяя рассуждения предыдущего пункта, а также определение 26 и теорему 16, получаем:

Уравнение

(45)

называется уравнением плоскости по точке A и двум векторам и.

Пример 23.Доказать, что прямыеипараллельны, но не совпадают, и записать уравнение плоскости, проходящей черези.

1) Направляющие векторы данных прямых соответственно равны и. Так как отношения соответствующих координат равны, то, то есть эти векторы линейно зависимы (коллинеарны). Значит,.

2) Теперь чтобы доказать, что ине совпадают, достаточно проверить, что точка, лежащая на одной прямой, не лежит на другой. Положивв первой системе, получаем точку. Покажем, что. Подставим координаты точкиAво вторую систему:. Эта система противоречива, поэтому.

3. 

   Запишем уравнение плоскости, проходящей через и. Положивв параметрических уравнениях прямой, получим точку. Возьмем. По формуле (45) получаем искомое уравнение плоскости: