Решение задачи 2

а) Решение этой задачи повторяет решение примера 21 из лекции 10.

Направляющий вектор прямой можно вычислить следующим образом:.

б) Сначало проведем одно общее рассуждение. Пусть — точка на прямой(заданной уравнениями (42) из лекции 10), соответствующая значениюпараметра, асоответствует значению. Вычислим расстояние между этимиточками. Имеем:

.

Таким образом, расстояние между двумя точками на пропорционально разности соответствующих значений параметра.

Вернемся теперь к нашей конкретной прямой. Ясно, что точке соответствует значение параметра, а точке—, причем. Поэтому для точки:

,

а для точки :

.

Решение задачи 3

а) Построим плоскость в отрезках на осях (это всегда можно сделать, если уравнение плоскости полное, то есть в нем присутствуют все три переменные и свободный член). Построение проводится так же, как и построение плоскости в примере 31 из лекции 12. Найдем точки пересечения,иданной плоскости с координатными осями,и:

,

,

.

С

оединив найденные точки отрезками, получим треугольник, принадлежащий искомой плоскости:

б) Построим плоскость (см. также построение плоскостив примере 31 из лекции 12):

,

,

.

П

олученное в последнем случае противоречие говорит о том, что наша плоскость не пересекается с осью, то есть параллельна ей. Проведя из точекивверх равные отрезкии, параллельные оси, а затем соединяя точкии, получаем прямоугольник, принадлежащий искомой плоскости:

в) Построим плоскость (см. также построение плоскостив примере 31 из лекции 12):

,

,

.

Полученные в первых двух случаях противоречия говорят о том, что наша плоскость не пересекается с осями и, то есть параллельна им. Проведя из точкиотрезкии, параллельные осями, а затем, соединяя точкии, получаем треугольник, принадлежащий искомой плоскости:

г) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координати не имеет других точек пересечения с осями координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки ,иотрезками прямой, получаем треугольник, принадлежащий искомой плоскости:

3

1

3

д) Построим плоскость . Ясно, что эта плоскость проходит через начало координат. Найдем еще две точки, лежащие на данной плоскости:

,

.

Соединяя точки ,иотрезками прямой, получаем треугольник, принадлежащий искомой плоскости:

3

1

3

Ясно, что построенная плоскость содержит ось .

Решение задачи 4

а)

Решение данной задачи изложено в разделе «Построение плоскости по точке и нормальному вектору» в лекции 10. Применяя формулу (44) из той же лекции, получаем:

.

б) Для того, чтобы выяснить, принадлежит ли точка плоскости, нужно координаты этой точки подставить в полученное в предыдущем пункте уравнение этой плоскости:

Следовательно, точка B не принадлежит плоскости .

Р

B

ешение задачи 5

Введем текущую точку плоскости и вычислим векторы,и, принадлежащие данной плоскости:

Ясно, что эти векторы линейно зависимы, следовательно .

Раскрывая определитель и упрощая, получаем общее уравнение плоскости :

.

Заметим, что данную задачу можно решить, используя формулу (45) раздела «Уравнение плоскости по точке и двум векторам» (см. лекцию 10). Проделайте это самостоятельно!

Решение задачи 6

Анализируя параметрические уравнения заданной прямой , приходим к выводу, что эта прямая проходит через точку с координатами, которую мы обозначим через, и имеет направляющий вектор, который мы обозначим через. Поместим начало этого вектора в точку. Рассмотрим также вектор:

Запишем уравнение плоскости по точкеи двум векторами(см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 7

Эта задача решается также, как пункт 3) примера 23 из лекции 10.

Из параметрических уравнений параллельных прямых иполучаем:

1. точку ;

2. точку ;

3. общий направляющий вектор этих прямых.

П

усть:

Запишем уравнение плоскости по точкеи двум векторами(см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 8

Рассмотрим точку , а также векторы и. Так же, как и в предыдущей задаче, записываемуравнение плоскости по точкеи двум векторами(см. формулу (45) из лекции 10):

.

Решение задачи 9

Из теоремы 19 (см. лекцию 11) вытекает, что — нормальный вектор плоскости:

Ясно, что вектор принадлежит плоскости.Рассмотрев точку , а также векторы и, получим, как и в предыдущих задачах, искомое уравнение плоскости :

.

Решение задачи 10

Ясно, что нормальный вектор плоскости является одновременно нормальным векторомискомой плоскости, то есть потеореме 19 (см. лекцию 11) . Используя уравнение плоскости по точкеи нормальному вектору(см. формулу (44) из лекции 10), имеем:

.

Чертеж к решению данной задачи рекомендуется построить самостоятельно.

Решение задачи 11

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а— нормальный вектор плоскости. Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда перпендикулярны их нормальные векторы. Итак:

.

Решение задачи 12

Из теоремы 19 лекции 11 вытекает, что — нормальный вектор плоскости , а— нормальный вектор плоскости. Ясно, что две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда коллинеарны их нормальные векторы. Итак:

.

Решение задачи 13

Перед решением этой задачи рекомендуется изучить теорему 20 и ее доказательство (см. лекцию 11).

Для нахождения общей точки прямой и плоскостинужно решить систему уравнений, составленную из параметрических уравнений прямойи уравнения плоскости:

.

Таким образом, точка есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

Решение задачи 14

Рассмотрим векторы (направляющий вектор прямой ) и(нормальный вектор плоскости):

Ясно, что — угол междуи. Так как, где— угол между векторамии, то

.

Следовательно, .

Решение задачи 15

Найдем точку , являющуюся проекцией точки на плоскость.

1. 

   Запишем уравнение прямой , проходящей через точкуA перпендикулярно плоскости . Так как в качестве направляющего векторапрямойможно взять нормальный вектор плоскости, который в силу теоремы 19 из лекции 11 равен

, то параметрические уравнения имеют вид:.

2) Найдем точку пересечения прямойи плоскости. Так же, как и в доказательстве теоремы 20 из лекции 11, решим систему уравнений:

.

Таким образом, То есть,— проекция точкина плоскость.