МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«РОСТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Утверждено на заседании кафедры высшей математики 11.06.2011 г.

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Раздел 3. Кривые и поверхности 2-го порядка

Курс лекций

и образец решения индивидуального задания

по высшей математике для бакалавров 1-го курса

очной формы обучения

Ростов-на-Дону

2011

УДК 517(07)

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Раздел 3. Кривые и поверхности 2-го порядка. Курс лекций и образец решения индивидуального задания по высшей математике для бакалавров 1-го курса очной формы обучения. – Ростов н/Д: Рост. гос. строит. ун-т, 2011. – 18 с.

Изложен курс лекций по кривым и поверхностям 2-го порядка. Приведен образец индивидуального задания, снабженный подробным решением входящих в него задач.

Предназначены для бакалавров 1-го курса очной формы, проходящих обучение на кафедре высшей математики РГСУ, а также на математических кафедрах других вузов.

Электронная версия находится в библиотеке, ауд. 224.

УДК 517(07)

Составитель:	д-р физ.-мат.наук, проф. И.В. Павлов
Рецензенты:	канд. физ.-мат.наук, доц. А.М. Можаев канд. физ.-мат.наук, доц. Г.А. Власков

Редактор Т.М. Климчук

Доп. план 2011 г., поз. 178

Подписано в печать 12.07.11. Формат 6084/16. Бумага писчая. Ризограф.

Уч.-изд.л. 1,3. Тираж 50 экз. Заказ 380

Редакционно-издательский центр

Ростовского государственного строительного университета

344022, Ростов-на-Дону, ул. Социалистическая, 162

© Ростовский государственный

строительный университет, 2011

Часть 4: кривые и поверхности второго порядка Лекция 13

Кривые второго порядка

Определение 30. Кривой второго порядка называется кривая, задающаяся в некоторой прямоугольной системе координат уравнением

,

(53)

где А, В, С, D, E, F — действительные числа, причём А, В, С одновременно не равны нулю. ٱ

В случае, когда не существует точек с действительными координатами, удовлетворяющих уравнению (53), говорят, что уравнение (53) определяет мнимую кривую второго порядка. Примером такого уравнения может служить уравнение . Мы не будем рассматривать ни мнимые кривые, ни другие «вырожденные» случаи уравнения (53), как например:

а) уравнение пары пересекающихся прямых: ;

б) уравнение пары параллельных или совпадающих прямых: ;

в) уравнение, определяющее точку: .

Выделяют три основных нетривиальных случая общего уравнения (53).

1) Уравнение эллипса

(54)

с полуосями длины а и b. В частности, при получаем уравнение окружностис центром в начале координат и радиусома.

2) Уравнение гиперболы

(55)

с полуосями а и b.

3) Уравнение параболы

.

(56)

Уравнения (54)–(56) называются каноническими. Остановимся подробнее на перечисленных кривых.

Эллипс

Определение 31. Пусть на плоскости заданы точки . Эллипсом с фокусамииназывается геометрическое место точекданной плоскости, отличных от точекии таких, что сумма расстояний отдои отдопостоянна и равна2а.

ٱ

Имея в виду определение 31, зададим прямоугольную систему координат следующим образом. В качестве оси абсцисс выберем прямую, проходящую через точки и; начало координатпоместим в середину отрезка, соединяющегои; осьюназначим прямую, проходящую через точку, перпендикулярно к оси. Ясно, что, где— некоторое число. Тогда точкииудовлетворяют определению 31 (т.е. принадлежат эллипсу), причем(докажите это!). Обозначим. Покажем, что уравнение (54) действительно является уравнением

эллипса в смысле определения 31.

Пусть — произвольная точка эллипса. Имеем:

, . По определению эллипса должно выполняться условие . Проведём выкладки, приводящие это уравнение к виду (54). Действительно,

=

(54).

Проследив эти выкладки в обратном порядке, можно показать, что для произвольной точки , удовлетворяющей уравнению (54), сумма расстояний от неё доиравна(докажите это!).

Точки пересечения эллипса с координатными осями называются вершинами эллипса, а отрезки, заключённые между вершинами, называются осями эллипса: большая (фокальная) ось длиной 2а и малая ось длиной 2b. Оси координат являются осями симметрии эллипса, а начало координат — его центром симметрии. Легко понять, что окружность является частным случаем эллипса (фокусы при этом совпадают и служат центром окружности).

Для построения эллипса нарисуем две концентрические окружности радиусовb и а с центром в точкеО. Затем из точки О проведем луч под углом к осиОх и обозначим его точки пересечения с окружностями радиусов b и а, соответственно, Т и N. Из точки N проведём прямую, параллельную оси Оу, а из точки Т — прямую, параллельную оси Ох. Точка пересечения М этих прямых имеет координаты

, ,

(57)

Так как , то точка М принадлежит эллипсу. Легко понять, что точки, задающиеся уравнениями (57), покрывают весь эллипс (докажите это!).

Гипербола

Определение 32. Пусть на плоскости заданы точки . Гиперболой с фокусамииназывается геометрическое место точекданной плоскости, отличных от точекии таких, чтоٱ

Введем декартову систему координат точно так же, как это делалось при рассмотрении эллипса. Таким образом, , где— некоторое число, и точкииудовлетворяют определению 32 (т.е. принадлежат гиперболе), причем(докажите это!). Обозначим. Покажем, что уравнение (55) действительно является уравнением гиперболы в смысле определения 32.

Пусть — произвольная точка гиперболы. Имеем:

,.

Из определения 32 следует:

(55).

Проследив эти выкладки в обратном порядке, можно показать, что для произвольной точки , удовлетворяющей уравнению (55), модуль разности расстояний от неё доиравен(докажите это!).

Точки пересечения игиперболы с осьюОх называются вершинами гиперболы, а величина а — действительной полуосью. Точки иназываются мнимыми вершинами гиперболы, а величинаb — мнимой полуосью. Прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными координатным осям и проходящими через вершины параболы, называется основным прямоугольником гиперболы. Его диагонали являются асимптотами гиперболы. Оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат — её центром симметрии. Если, то гипербола называется равносторонней.

Парабола

Определение 33. Пусть на плоскости задана прямая и точка, не лежащая на этой прямой. Параболой называется геометрическое место точекплоскости, равноудалённых от данной точки(фокуса) и от данной прямой(директрисы).ٱ

Если за ось абсцисс принять прямую, проходящую через фокус и перпендикулярную директрисе, а начало координат поместить посередине между фокусом и директрисой, то уравнение параболы примет вид (56).

Действительно, введемтакое, что; обозначим черезN проекцию точки на директрису. Тогда

По определению 33:

(56).

Парабола имеет одну ось симметрии, которая при указанном выше выборе системы координат совпадает с осью Ох. Точка является вершиной параболы.

В конкретных примерах часто встречаются параболы вида: (а) , (б)и (в). Представленные уравнения описывают различные положения параболы в системе координат, характеризующиеся направлением ветвей параболы. Так ветви параболы, заданной уравнением (а) симметричны относительно осиОх, но направлены в отрицательную сторону этой оси. Уравнения (б) и (в) задают параболы, ветви которых симметричны относительно оси Oy и имеют в случае (б) положительное, а в случае (в) отрицательное направления. При этом уравнения директрис и координаты фокусов для каждого представленного варианта легко находятся. Вершины парабол во всех перечисленных случаях совпадают с началом координат.