Экономическая_информатика

41

спрос на краску I никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 2000 д.е. для краски I и 3000 д.е. для краски II.

Какое количество краски каждого вида должна производить фабрика, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

Для решения данной задачи необходимо построить ее математическую модель, которая состоит из следующих этапов:

I. Определение переменных;

II. Нахождение целевой функции; III. Построение ограничений.

Фабрике необходимо спланировать объем производства красок так, чтобы максимизировать прибыль. Поэтому переменными являются:

x1 – суточный объем производства краски I; x2 – cуточный объем производства краски II.

Целью фабрики является определение среди всех допустимых значений x1 и x2 таких, которых максимизируют суммарную прибыль, т.е. целевую функцию z.

z= 2000 x1 + 3000 x2

Перейдем к построению ограничений. Объем производства красок не может быть отрицательным, следовательно:

x1 0, x2 0.

Расход исходного продукта для производства обоих видов красок не может превосходить максимально возможный запас данного исходного продукта, т.о.:

2 x1 + x2 ≤ 6, x1 + 2 x2 ≤ 8.

Кроме того, ограничения на величину спроса на краски имеет вид: x1 - x2 ≤ 1, x1 ≤2.

Таким образом, математическая модель данной задачи имеет следующий вид:

42

Данная модель является линейной. Найдем решение оставленной задачи средствами MS Excel.

1. Заполним рабочий лист MS Excel согласно рис.10.3.

Рис. 10.3.

2. Перейдем к решению данной задачи.

2.1. Выполним команду Поиск решения. В появившемся диалоговом окне заполним поля согласно рис. 10.4. При добавлении ограничений воспользуемся кнопкой Добавить.

Рис. 10.4

2.2. После занесения данных нажать на кнопку Выполнить.

Если все сделано правильно, Excel сообщит о том, что решение найдено и удовлетворяет ограничениям. Оптимальный план производства красок, дающий максимальную прибыль составляет 3 13 т в сутки краски II и 1 13

краски I. Этот объем производства принесет 12 2 3 тыс. д.е. прибыли.

43

Задача 2 (Транспортная задача). Пусть имеется некоторый однородный продукт, сосредоточенный в m пунктах отправления в количествах a1 ,a2 ,...,am соответственно. Требуется доставить весь этот груз в n пунктов

назначения в количествах b1 , b2 ,...,bn . Стоимость cij доставки одной единицы

продукта из пункта i в пункт j известна для всех пар (i,j). Задача состоит в том, чтобы определить количество продукта xij , которое нужно отправить по каждому пути так, чтобы минимизировать общую стоимость доставки. Такова постановка транспортной задачи в ее классическом варианте. Если при этом общее наличное количество продукта равно требуемому

или недостатком) – открытой транспортной задачей. Транспортная задача формулируется следующим образом: минимизировать функцию

У данной модели есть широкий круг приложений, в которых пункты отправления и назначения получают весьма разнообразную интерпретацию (например, склады, магазины, порты, узлы линий связи), а коэффициенты стоимости представляют собой расстояния, время, цена перевозок и т.д. Нетрудно заметить, что в том случае, когда коэффициенты стоимости, например, есть полученная прибыль, ставится задача на максимум.

Итак, рассмотрим следующую задачу. Задано четыре поставщика некоторого продукта и четыре потребителя с соответствующими параметрами ai и bj. Заданы соответствующие значения cij матрицы стоимостей перевозок единицы продукта. Все эти значения Вы можете увидеть на рис. 29. В интервале B3:E3 помещены значения b1, b2, b3 , b4 (потребности), а в интервале A4:A7 помещены значения a1, a2 , a3 , a4 (предложения поставщиков). Так как суммы значений из первой строки и из первого столбца равны (160), ясно, что задача закрытая. Интервал H4:K7 содержит значения стоимостей перевозки cij .

1. Вставьте новый лист в свою рабочую книгу и занесите данные так, как это показано на рис. 10.5.

45

Если все сделано правильно, Excel сообщит о том, что решение найдено и удовлетворяет ограничениям. В целевой ячейке теперь результатом формулы является значение 308р. В интервал B4:E7 занесены значения перевозок от поставщиков к потребителям.

Задача 3(Задача о назначениях). Имеются 4 рабочих и четыре вида работ. Стоимости cij выполнения i - м рабочим j -ой работы представлены в

таблице, где под номером строки понимается номер рабочего, а под номером столбца – номер работы:

Стоимость выполнения работ

Необходимо составить план выполнения работ так, чтобы все работы оказались выполненными, каждый рабочий был загружен только на одной работе, а суммарная стоимость всех выполненных работ была минимальной.

Данная задача является сбалансированной, так как число работ совпадает с числом рабочих. Если задача не сбалансирована, то перед началом ее решения необходимо ввести недостающее число фиктивных строчек или столбцов с достаточно большими штрафными стоимостями работ.

Для решения данной задачи построим ее математическую модель. Пусть xij – выполнение i – м рабочим j – й работы. При этом xij будет иметь всего два значения:

46

1. Занесите данные на рабочий лист документа MS Excel (см. рис.10.7):

Рис. 10.7.

2. Выполните команду Поиск решения. В появившемся диалоговом окне заполним поля согласно рис. 10.8:

Рис. 10.8.

Оптимальный план назначений работ найден (см. рис. 10.9). Первым рабочим будет выполняться работа №1, вторым — работа №3, третьим — работа №2, четвертым — работа №4. При этом достигается цель — минимизация стоимости работ.

47

Рис. 10.9.

48

Типовой расчет (часть 1)

Вариант 0

(1) Построить в разных системах координат при x [-1,4,1,4] графики следующих функций

(2) Построить в одной системе координат при x [0,2] графики следующих двух функций:

y=2sin(2 x)cos( x)+sin(3 x),z=cos(2 x)sin 2 ( x)-cos(4 x),

(3)Найти все корни уравнения x 3 +2,28x 2 -1,9347x-3,907574=0.

(4)Найти значение следующего выражения:

2x 3y 5z 7

(5) Решить систему уравнений: 6x 4 y 3z 9

7x 2 y 6z 1

а) методом Крамера; б) матричным методом.

(6) В сплав может входить не менее 4% никеля и не более 80% железа. Для составления сплава используются три вида сырья, содержащего никель, железо и прочие вещества. Стоимость различных видов сырья и процентное содержание в нем соответствующих компонентов сплава представлены в таблице.