Варіант 4

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Дан треугольник ABC, в котором АВ = 16 см, АС =12 см, ВС = 20 см. На стороне АВ взята точка М так, что ВМ : МА = 3:1. Через точку М проведена плоскость, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите площадь треугольника АМК, если известно, что данная плоскость параллель­на ВС.

2. Средняя линия равностороннего треугольника равна см. Расстояния от точки пространствадо вершин треугольника равны по 5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Некоторая точка, расположенная вне ромба, удалёна от всех сторон ромба на 8 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости ромба.

4. Две прямые, расстояние между которыми 17 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям и параллельны прямой пересечения этих плоскостей. Расстояние от одной из данных прямых допрямойпересечения плоскостей равно 8 см. Докажите, что через данные прямые можно провести плоскость и вычислите расстояние до нее от линии пересечения данных плоскостей.

5. Ортогональная проекция прямоугольника, стороны которого 8 см и 6 см, наклонена к плоскости прямоугольника под углом 60°. Вычислите площадь проекции. Может ли эта проекция быть квадратом?

6. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Расстояние от некоторой точки пространства до плоскости треугольника равно 24 см. Расстояния от этой точки до каждой стороны треугольника равны. Вычистите их.

7. Две пересекающиеся прямые АС и АВ пересекают боковую поверхность цилиндра в точках В и С. ТoчкaA является ортогональной проекцией точки А на плоскость основания цилиндра. Постройте линию пересечения плоскости основания цилиндра с плоскостью сечения ABC.

8. Точка М - середина стороны АВ параллелограмма ABCD. Выразите вектор -через вектор, где S - произвольная точка пространства.

9. Вычислите длину вектора , если(1; 1; - 1),(2; 0; 0).

10. Найдите координаты концов отрезка, который точками С(3; 4; 3) и D(2; 5; 4) разделен на три равные части.

11. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах (3; 0; -4) и(0; 5; 0)

12. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 10см, 10 см и 12 см. Боковое ребро имеет длину 15 см, длина его проекции на плоскость основания - 9 см. Вычислить площадь полной поверхности призмы.

13. В прямой треугольной усеченной призме боковые ребра: 17 см, 25 см и 30 см, а расстояние между ними соответственно: 18 см, 20 см и 34 см. Определить объем и площадь боковой поверхности этой усеченной призмы.

14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, ее боковая поверхность равна S. Найдите угол между смежными боковыми гранями.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две боковые грани, что содержат стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом. Определить полную поверхность пирамиды, если меньшее боковое ребро равноl.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами и(>). Определите боковую поверхность пирамиды, если высота пирамиды равна h.

17. Через вершину правильной n-угольной пирамиды и через две вершины многоугольника, лежащего в основании, к плоскости основания проведена плоскость, под углом к плоскости основания, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие соответственно (r + 2) вершины и (r -2) вершины вершин . Найдите объем пирамиды, если общая сторона этих двух много угольников равнаb.

18.В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает его нижнее основание по хорде, которую видно из центра этого основания под углом . Отрезок, которыйсоединяет центр верхнего основания цилиндра с серединой хорды нижнего основания, наклонен к плоскости нижнего основания под углом. Найдите площадь сечения, диагональ которого равнаd.

19. Высота и образующая конуса относятся как 4:5, а объем конуса 96см. Найти его полную поверхность.

20. В шар вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с большей боковой гранью угол , угол между диагоналями основания параллелепипеда равен. Найдите поверхность шара, если высота параллелепипеда равна Н.

21. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через основание треугольника нижней грани и противолежащую вершину верхней грани проведено сечение, которое образует с плоскостью основания призмы угол. Перпендикуляр, проведенный из вершины нижнего основания, которая не принадлежит данному сечению, к этому сечению, равенb, Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

22. Основанием прямой призмы есть прямоугольник с углом между диагоналями. Диагональ одной из боковых граней образует с плоскостью основания угол, а диагональ смежной с ней боковой грани равнаm. Вычислите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

23. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.