23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.

25. Квадрат со стороной см вращается вокруг диагонали. Найдите объем тела.

26. Равнобедренный треугольник, основание которого а и острый угол при вершине , вращается вокруг оси, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через его вершину и перпендикулярна к боковой стороне. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Варіант 3

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Средняя линия равностороннего треугольника равна см. Расстояние от точки пространства до вершин треугольника равно 10 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

2. Ортогональной проекцией данного треугольника является прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 15 см и катет 9 см. Угол между плоскостями этих треугольников равен 30°. Вычислите площадь данного треугольника. Выясните, может ли он быть правильным?

3. Из некоторой точки пространства к плоскости правильного треугольника, площадь которого см², проведен перпендикуляр, основание которого лежит на одной из сторон треугольника. Расстояние от этой точки до двух других сторон этого треугольника равно 13 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

4. Из точки пространства к плоскости прямоугольной трапеции, меньшее основание которой 20 см, а боковая сторона 25 см, проведен перпендикуляр. Основание перпендикуляра - вершина острого угла трапеции, меньшая диагональ которой является биссектрисой прямого угла. Расстояние от данной точки до вершины другого прямого угла равно 45 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости трапеции.

5. В грани двугранного угла проведена прямая, образующая с другой его гранью угол 30°, а с ребром двугранного угла угол 45° Какова величина двугранного угла?

6. В прямоугольном треугольнике с катетами 15 см и 20 см из вершины прямого угла восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника длиной 5 см. Найдите расстояние от концов этого перпендикуляра до прямой, содержащей гипотенузу.

7. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, которая проходит через середины М и N ребер АВ и ВС основания ABCD и середину Р ребра SD.

8. Даны: =13;=19;=24. Вычислите.

9. Точки А(4; 2; - 1), С(- 4; 2; 1), D(7; - 3; 4) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины В.

10. Докажите, что треугольник с вершинами А (7; 1; - 5), В (4; - 3; - 4), С (1; 3; - 2) равнобедренный.

11. В тетраэдре ABCD точка М - середина ребра ВС. Выразить через векторы

= ,=,=вектор.

12. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Диагональ боковой грани, содержащей основание этого треугольника, наклонена к его плоскости под углом. Диагонали двух других боковых граней равныеl. Определите объем призмы.

13. Основанием правильной призмы служит шестиугольник со стороной 3 дм; высота призмы равна 13 дм. Найти площадь сечения, проведенного через две противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований призмы.

14. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен . Найдите объем пирамиды, если высота пирамиды равна h.

15. В правильной треугольной пирамиде апофема равна h, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найти объем пирамиды.

16. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Радиус описанной около него окружности равен R. Две равные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом. Найдите боковую поверхность пирамиды,

17. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Две боковые грани, которые содержат стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом. Определите полную поверхность пирамиды, если наименьшее боковое ребро равноl.

18. Хорда основания цилиндра стягивает дугу окружности основания, равную . Площадьбоковой поверхности цилиндра равна Q. Найти площадь сечения, проведенного через данную хорду параллельно оси цилиндра.

19. Найти диагональ осевого сечения цилиндра, зная что объем цилиндра равен 240см³, а боковая поверхность 120см².

20. В основании призмы лежит прямоугольный треугольник с катетом b и противолежащим углом . Диагональ грани, содержащей этот катет, наклонена подуглом к основанию. Найдите площадь поверхности описанной сферы.

21. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с меньшей боковой гранью угол . Диагональ основания параллелепипеда образует с большей стороной основания угол. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.

22. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через две равные диагонали двух боковых граней, угол между которыми равен, проведено сечение, площадь сечения равна S. Найдите объем цилиндра, описанного около данной призмы.

23. В основании прямой призмы лежит треугольник со стороной с и прилежащими угламии. Диагональ грани, которая содержит данную сторону, наклонена к плоскости основания под углом. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

24. В основании четырехугольной пирамиды лежит ромб с тупым углом . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом. Найдите объем пирамиды, если расстояние от центра вписанного шара до вершины пирамиды равно d.

25. Радиус основания конуса равен r, а образующая наклонена к плоскости основания под углом . Около этого конуса описана пирамида, в основании которой прямоугольный треугольник с острым углом. Определите объем и боковую поверхность пирамиды.

26. В нижнем основании цилиндра проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с серединой этой хорды, образует с основанием угол. Найдите площадь поверхности описанной около цилиндра сферы.