- •Теми практичних занять
- •Теми лабораторних занять
- •7. Самостійна робота
- •Тест «трикутник»
- •Варіант 1
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.
- •Варіант 2
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равенr.
- •Варіант 5.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равенr.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •Варіант 7.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.
- •Варіант 9
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равноl. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. Варіант 10
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •Варіант 11
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •Варіант 12
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенr.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом. Найдите объем конуса.
- •Варіант 13
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •Варіант 14
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •Варіант 15
- •Варіант 16
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенR.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара. Варіант 18
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •Варіант 19
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •Варіант 20.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •23. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если радиус описанного около нее шара равен r. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.
25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
26. Радиусы оснований усеченного конуса равны 24 см и 15 см, высота его равна 27 см. Найдите радиус описанного шара.
Варіант 11
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Прямая, не лежащая в плоскости, параллельна двум прямым этой плоскости, расстояние между которыми равно 14 см. Найдите расстояние от этой прямой до плоскости, если она удалена от одной из прямых на расстояние 13 см, а от другой - на 15 см.
2. Меньшая сторона параллелограмма 16 см, а один из углов 30°. Из точки, которая делит его большую диагональ в отношении 3:1, восставлен перпендикуляр длиной 8 см. к плоскости параллелограмма. Найдите расстояние от второго конца перпендикуляра до больших сторон параллелограмма.
3. Отрезок длиной 6см лежит на ребре двугранного угла, величина которого 120°. Из его концовв каждой грани проведены перпендикуляры к ребру, длины которых 3 см и 5 см. Найдите длину отрезка, соединяющего вторые концы этих перпендикуляров.
4. Площадь ромба равна 120 см, а его сторона 12 см. Точка пространства равноудалена от сторон этого ромба на 13 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости ромба.
5. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезке 9 см и 18 см. Точка пространства удалена от каждой стороны треугольника на 13 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.
6. Ортогональной проекцией трапеции, площадь которой равна 80 см2 является равнобокая трапеция с основаниями 7 см и 13 см и боковой стороной 5 см. Вычислите угол между плоскостями трапеции и ее проекции.
7. Постройте и определите вид сечения прямой четырехугольной призмы плоскостью, проходящей через точки В, С и Aесли AD и ВС не параллельны.
8. Дан параллелепипед.Укажите вектор, равный сумме.
9. Вычислите угол между векторами и, гдеm, n, p - единичные взаимно перпендикулярные векторы.
10. Концы отрезка А(7; - 3; 4) и В(6; 7; 8).. Найдите точку, симметричную середине, отрезка относительно плоскости ху.
11. Даны точки А (2; - 4; 6) и В (4; 4; 2). Под каким углом виден отрезок MB из начала координат, если М - середина отрезка АВ ?
12. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Диагональ боковой грани, что содержит противоположный этому углу катет, наклонена к плоскости основания под углом. Диагональ боковой грани, что содержит гипотенузу данного треугольника, равнаd. Определить объем призмы.
13. Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда относятся как 2:5. Диагонали этих граней 10 см и 17 см. Найти площадь полной поверхности параллелепипеда.
14. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, если плоскость, проходящая через сторону основания а и середину ее высоты, наклонена к основанию под углом .
15. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция с боковой стороной с и острым углом . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом. Найти объем пирамиды.
16. Основания усеченной пирамиды квадраты со сторонами 8 см и 4 см; одна из боковых граней является равнобедренной трапецией, перпендикулярна к плоскостям оснований, а противолежащая ей грань образует с плоскостью оснований угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.
17. Стороны основания правильной шестиугольной усеченной пирамиды оси и 11 см. Расстояние между параллельными сторонами оснований, не лежащими в одной грани 19 см. Найдите площадь поверхности усеченной пирамиды.
18. Образующая усеченного конуса равна 8 см и наклонена к плоскости основания под углом 60°. Диагональ осевого сечения делит этот угол пополам. Найдите площадь полной поверхности усеченного конуса.
19. В цилиндре параллельно его оси, проведена плоскость, которая пересекает нижнее основание по хорде, которая стягивает дугу . Эту хорду видно из центра верхнего основания под углом.Найти площадь сечения, если радиус цилиндра равен R.
20. Ромб со стороной b и тупым углом вращается вокруг оси, которая проходит через вершину острого угла перпендикулярно к его стороне. Найдите объем тела вращения.
21. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна b, а угол при основании равен , вращается около прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину угла, перпендикулярно к его основанию. Найдите объем тела вращения.