22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.

23. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом . Все боковые грани пирамиды образуют с плоскостью основания угол. В эту пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равноm. Найдите объем пирамиды.

24. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Определите полную поверхность конуса, вписанного в пирамиду, если ее высота равнаh.

25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.

26. Треугольник со сторонами 20 см, 37 см и 51 см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Варіант 9

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Концы отрезка длиной 10 см лежат на двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Этот отрезок составляет с плоскостями углы 30° и 45°. Определите расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из концов данного отрезка на линию пересечения плоскостей.

2. Площади двух равнобедренных треугольников соответственно равны 15 см2 и 40 см. Треугольники имеют общее основание, длина которого 10 см. Угол между плоскостями этих треугольников 60°. Найдите расстояние между прямой, содержащей общее основание и прямой, проходящей через вершины треугольников.

3. Дан параллелограмм ABCD и точка S вне плоскости параллелограмма. АВ=20 см, АС=32 см, SB=9 см, причем плоскости SAB и SBC перпендикулярны плоскости ABCD. Найдите расстояние от точки Sдо АС, если известно, что BAC=CAD.

4. Две прямые принадлежат двум перпендикулярным плоскостям, параллельны прямой пересечения плоскостей и удалены от нее на 5 см и 12 см. Докажите, что через данные прямые можно провести плоскость и вычислите расстояние до нее от линии пересечения данных плоскостей.

5. Ортогональной проекцией прямоугольника, стороны которого 8 см и 9 см, является четырехугольник, площадь которого равна 36 см. Вычислите угол между плоскостями этих четырех­угольников. Может ли эта проекция быть квадратом?

6. Диагональ квадрата равна см. Некоторая точка пространства равноудалена от каждойстороны этого квадрата на 13 см. Вычислите расстояние от данной точки до плоскости этого квадрата.

7. В кубе постройте общий перпендикуляр между диагональю боковой грани AB и отрезком MN, где М - середина AD, N - середина AD.

8. Вычислите угол между векторами и, где-единичные взаимно перпендикулярные векторы.

9. Точки А(3; 1; 8), В(4; 7; 1), С(3; 5; - 8) - вершины параллелограмма ABCD. Найдите координаты вершины D.

10. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если А (6; 7; 8), В (8; 2; 6), С (4; 3; 2), D (2; 8; 4).

11. Найдите угол между стороной АС и медианой ВВтреугольника ABC, если

А (3; 5; 0), B (0; - 6; 0) и С (3; 1; 0).

12. Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы равна Q. Найти площадь сечения призмы плоскостью, которая перпендикулярна к большей диагонали основания и делит ее в отношении 1:1.

13. В наклонной треугольной призме две боковые грани взаимно перпендикулярны, а их общее ребро имеет длину 24 м и удалено от двух других ребер на расстояние 12 м и 35м. Вычислить площадь боковой поверхности призмы.

14. Основанием пирамиды служит правильный шестиугольник со стороной а; одни из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник. Две боковые грани, содержащие гипотенузу и катет этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания. Наимень­шее боковое ребро образует с двумя другими боковыми ребрами углы и(>). Вычислите объем пирамиды, если наибольшее боковое ребро равно d.

16. Основание пирамиды - трапеция, у которой одна из боковых сторон 13 см, а параллельные стороны равны 5 см 45 см. Двугранные углы при основании равны между собой. Высота пирамиды 8 см. Найдите площадь поверхности пирамиды.

17. В основании пирамиды лежит правильный треугольник. Одна из боковых граней - равнобедренный треугольник, перпендикулярный к плоскости основания. При какой длине сторон основания площадь каждой из двух других боковых граней будет наибольшей, если наибольшее боковое ребро м?

18. В равностороннем цилиндре, радиус основания которого равен R, через точку окружности верхнего основания и точку окружности нижнего основания проведена прямая, которая наклонена к плоскости основания под углом . Найдите расстояние от этой прямой до оси цилиндра.

19. В цилиндре параллельно его оси и на расстоянии dот нее проведена плоскость, пересекающая его нижнее основание по хорде, которую видно из центра верхнего основания под углом . Отрезок,который соединяет центр верхнего основания с точкой окружности нижнего основания, образует с плоскостью основания угол . Найдите площадь сечения.

20. Прямоугольный треугольник с острым углом и противолежащим катетом а вращается около прямой, которая лежит в плоскости треугольника и проходит через вершину данного угла перпендикулярно гипотенузе. Найдите объем тела вращения.

21. Параллелограмм, стороны которого 17 см и 28 см, а сумма диагоналей 64 см вращается вокруг большей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения.

22. Ромб с диагоналями см исм вращается вокруг большей диагонали. Найдите объем тела вращения.

23. Равнобедренный треугольник, боковая сторона которого равна b и угол при основании , вращается вокруг оси, которая лежит в плоскости треугольника, проходит через вершину угла при основании и перпендикулярна к боковой стороне, проходящей через эту вершину. Найдите поверхность тела вращения.