- •Теми практичних занять
- •Теми лабораторних занять
- •7. Самостійна робота
- •Тест «трикутник»
- •Варіант 1
- •20. В прямую призму, основанием которой является прямоугольный треугольник с углом и гипотенузой с, вписана сфера. Найдите объем призмы.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.
- •Варіант 2
- •23. В шар радиуса r вписана правильная треугольная пирамида, боковые грани которой наклонены под углом к основанию. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •24. В конус вписана правильная четырехугольная пирамида, высота которой равна см, а плоский угол при вершине. Найдите объем конуса.
- •Варіант 3
- •Варіант 4
- •24. Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна d. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •25. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного в нее шара равенr.
- •Варіант 5.
- •25. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус вписанного шара равенr.
- •22. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, боковые грани которой образуют угол, равный с основанием. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.
- •Варіант 7.
- •22. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна b. Угол наклона бокового ребра к основанию равен . Найдите объем вписанного шара.
- •25. В основании конуса проведена хорда длиной а, которую видно из центра основания под углом . Образующая конуса наклонена к основанию под углом. Найдите объем описанного шара.
- •Варіант 9
- •24. Угол между образующей конуса и его высотой равен . Расстояние от центра описанного около конуса шара до основания высоты равноl. Вычислите полную поверхность конуса.
- •26. Треугольник со сторонами 12 см, 17 см и 15 см вращается вокруг меньшей стороны. Найдите площадь поверхности тела вращения. Варіант 10
- •25. В шар, площадь поверхности которого s, вписан конус. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен . Определите площадь полной поверхности конуса.
- •Варіант 11
- •22. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из центра основания под углом . Угол при вершине осевого сечения конуса равен. Найдите объем описанного шара.
- •24. Основание пирамиды прямоугольная трапеция с основаниями а и b; двугранные углы при основании . Найдите объем вписанного шара.
- •25. Полная поверхность конуса равна s. Образующая его наклонена к плоскости основания под углом . Вычислите объем правильной шестиугольной пирамиды, вписанной в этот конус.
- •Варіант 12
- •20. В правильной треугольной пирамиде боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенr.
- •21. Апофема правильной треугольной пирамиды равна h. Боковое ребро образует с высотой угол . Найдите объем описанного шара.
- •24. В конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под утлом. Найдите объем конуса.
- •Варіант 13
- •21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
- •23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
- •24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
- •Варіант 14
- •22. В конус, объем которого равен V, вписана правильная пятиугольная пирамида. Найти объем пирамиды.
- •23. В цилиндр, вписанный в шар, вписан шар. Найдите отношение площадей поверхностей и объемов этих шаров.
- •Варіант 15
- •Варіант 16
- •21. В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен . Найдите полную поверхность пирамиды, если радиус шара, вписанного в нее, равенR.
- •20. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, описанного около пирамиды.
- •22. Около шара описан усеченный конус, площадь осевого сечения которого s, острый угол сечения . Найдите объем шара.
- •26. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а. Боковое ребро наклонено к основанию под углом . Найдите объем вписанного шара. Варіант 18
- •22. Вокруг шара радиуса 6 см описан усеченный конус, радиусы оснований которого относятся как 4:9. Найдите боковую поверхность усеченного конуса.
- •23. В шар радиуса r вписана правильная четырехугольная пирамида, с плоским углом при вершине, равным . Найдите объем пирамиды.
- •Варіант 19
- •21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?
- •23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.
- •Варіант 20.
- •22. В прямой круговой конус вписан шар, радиус которого равен 1 м. Найдите угол между образующей конуса и его основанием, при котором объем этого конуса наименьший.
- •23. Найдите объем правильной четырехугольной призмы, если радиус описанного около нее шара равен r. Этот радиус, проведенный в вершину призмы, образует угол с боковой гранью, содержащей эту вершину.
21. В основании конуса проведена хорда длиной b, которую видно из вершины под углом . Угол при вершине осевого сечения равен. Найдите площадь поверхности вписанной в конус сферы.
22. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две равные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а третья боковая грань образует с нею угол. Найдите объем пирамиды, если радиус описанного около нее шара равен R.
23. В шар радиуса 6 см вписана правильная четырехугольная пирамида. Какова должна быть величина высоты пирамиды, чтобы ее объем был наибольшим?
24. В правильную треугольную пирамиду вписан конус. Найдите объем конуса, если ребро пирамиды равно l и плоский угол при вершине пирамиды равен .
25. Найдите наибольший объем конуса, вписанного в шар, если радиус шара равен 1 м и осевое сечение конуса - остроугольный треугольник.
26. Параллелограмм, у которого стороны равны 21 см и 89 см, а диагонали относятся как 41:50, вращается вокруг меньшей стороны. Определите объем тела вращения.
Варіант 14
Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.
1. Из некоторой точки пространства до плоскости прямоугольного треугольника, площадь которого 294 см, а один из катетов 28 см, проведен перпендикуляр, длина которого 9 см. Основание перпендикуляра лежит на гипотенузе. Расстояния от данной точки до катетов равны. Вычислите эти расстояния.
2. Отрезок лежит в одной из двух перпендикулярных плоскостей и не пересекает другую. Концы отрезка удалены от прямой, которая лежит в другой плоскости и параллельна прямой пересечения этих плоскостей, на 25 см и 26 см. Один конец отрезка удален от прямой пересечения плоскостей на 7 см. Вычислите расстояния от другого конца и середины отрезка, до прямой пересечения плоскостей.
3. Ортогональной проекцией четырехугольника является прямоугольник.стороны которого равны 16 см. и 18 см. Угол между плоскостями данного четырехугольника и прямоугольника равен 60°. Вычислите площадь данного четырехугольника. Может ли он быть квадратом?
4. Из центра О квадрата ABCD восставлен перпендикуляр ОМ к его плоскости. Плоскость, проведенная через точку М и прямую АВ, образует с плоскостью квадрата угол 60°. Проекция отрезка ОМ на плоскость АВМ равна 6 см. Найдите диагональ квадрата.
5. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 32 см и острым углом 60° вписан в круг. Из центра круга О проведен перпендикуляр ОМ длиной 6 см к плоскости круга. Найдите расстояние от точки М до катетов треугольника.
6. Из центра О квадрата ABCD, диагональ которого равна 16см, проведен отрезокOFперпендикулярно плоскости квадрата. Плоскость, проведенная через прямую DC и точку F, образует с плоскостью квадрата угол 60°. Найдите проекцию отрезка OF на плоскость DFC.
7. Постройте сечение пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точку М, лежащей на боковом ребре AS, и параллельной плоскости грани SBC.
8. Векторы иперпендикулярны, причем,=9,=12. Определите.
9. Параллелен ли вектор , где А(2; 0; - 3) и В(4; - 3; 2) плоскости
х+4у+2z-1=0? Почему?
10. При каком значении n плоскость x - 7у – 3z + 8 = 0 параллельна вектору (- 1; 2;n) ?
11. Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если:
А (0; 2; 0), В (1; 0; 0), С (2; 0; 2), D (1; 2; 2).
12. Боковая грань правильной шестиугольной призмы - квадрат, который имеет периметр 8 см. Найти площадь сечения, проведенного через диагонали параллельных боковых граней призмы.
13. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и острым углом 60°. Pe6po AAтакже равно а и образует с ребрами АВ и AD углы 45°. Определить объем параллелепипеда.
14. Площади оснований усеченной пирамиды относятся как 1:4. Большее основание - ромб с диагоналями 6 дм и 8 дм. Одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания и равняется 7 дм. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
15. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция с боковой стороной с и острым углом . Боковая грань пирамиды, которая содержит большее основание трапеции, перпендикулярна к плоскости основания пирамиды, а три другие грани наклонены к ней под углом. Найти объем пирамиды.
16. Основание пирамиды - ромб с диагоналями 30 см и 40 см. Боковое ребро длиной 18 см перпендикулярно плоскости основания. Найдите площадь поверхности пирамиды.
17. В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 8м и 5м, а высота 3 м. Проведите сечение через сторону нижнего основания и противоположную ей вершину верхнего основания. Определить площадь сечения.
18. В усеченном конусе высота равна 5 см, его образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол в 60°, и перпендикулярна к диагонали осевого сечения, проходящей через верхний конец образующей. Определить боковую поверхность усеченного конуса.
19. Площадь основания конуса равна Q, угол наклона образующей к плоскости основания равен . Найдите площадь сечения, проведенного через две образующие, угол между которыми равен.
20. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом . Расстояние от вершины конуса до центра вписанного в него шара равно d. Вычислите полную поверхность конуса.
21. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при вершине . Все боковые грани наклонены под угломк основанию. Найдите объем вписанного шара.