21. В шар вписана правильная треугольная пирамида. Какова должна быть длина высоты пирамиды, чтобы объем пирамиды был наибольшим, если радиус шара равен 3 см?

22. В усеченный конус вписан шар радиуса r. Образующая конуса наклонена к основанию под углом . Найдите боковую поверхность усеченного конуса.

23. В конус вписан шар. Отношение объемов конуса и шара равно 2. Найдите отношение площадей полных поверхностей конуса и шара.

24. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с углом . Через диагонали двух боковых граней, которые содержат стороны угла, проведено сечение, площадь которого Q. Угол между этими диагоналями равен. Найдите боковую поверхность цилиндра, вписанного в данную призму.

25. В правильной треугольной призме через две диагонали двух боковых граней, которые пересекаются, проведено сечение, которое образует с плоскостью основания угол . Площадь сечения равна Q. Найдите объем цилиндра, вписанного в данную призму.

26. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с острым углом . Все боковые ребра равны. Около пирамиды описан шар. Центр щара принадлежит высоте пирамиды. Расстояние от центра шара до основания высоты пирамиды равноl. Найдите объем пирамиды, если угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды равен .

Варіант 20.

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Точка, лежащая вне плоскости прямого угла, удалена на расстояние 10 см от его вершины и от каждой из сторон этого угла на расстояние 8 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости данного угла.

2. Докажите, что расстояние от центра правильного треугольника до данной плоскости равно среднему арифметическому расстояний от вершин этого треугольника до этой плоскости, если вершины треугольника не принадлежат ей.

3. Прямоугольник MNPF со сторонами 80 см и 60 см перегнули по диагонали так, что плоскости MNP и MPF перпендикулярны, Найдите расстояние между точками N и F.

4. В прямоугольном треугольнике перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла, равен 24 см и делит гипотенузу на отрезки, разность между которыми 14 см. Некоторая точка пространства находится на расстоянии 60 см от плоскости треугольника и на одинаковом расстоянии от его вершин. Вычислите это расстояние.

5. В равнобедренном треугольнике основание равно 48 см, а боковая сторона 40 см. Отрезки, которые соединяют точку пространства с вершинами этого треугольника, равны по 65 см. Вычислите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

6. В ромбе со стороной см и углом 120° через вершину тупого угла проведена плоскость на расстояниисм от всех точек его большей диагонали. Найдите проекции диагоналей ромба на эту плоскость.

7. Дан куб . На ребрах AD и DC даны точки К и Р, которые делят эти ребра пополам. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точки К и Р параллельно диагонали ВСграни BBCC.

8. В треугольнике ABC, точка N(1; 3; 4) - середина ВС, Р (2; 7; - 1) - середина АС. Найдите координаты вектора .

9. На какие части плоскость хОу делит отрезок с концами А(1; 2; 6) и

B (7; 11; -12)?

10. На какие части плоскость xOz делит отрезок с концами А(4; -12; 5) и

В(13; 8; - 7)?

11. При каких значениях m и n векторы (- 1; 4; - 2) и(- 3;m; n) коллинеарны?

12. Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник, основание которого равно () см, а угол при нем 45°. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна сумме площадей оснований.

13. В основании прямой призмы лежит прямоугольная трапеция с тупым углом и большим основаниемb. Диагональ трапеции является биссектрисой тупого угла, меньшая диагональ призмы образует с плоскостью основания угол . Найдите объем призмы.

14. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна l, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Найти объем пирамиды.

15. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с углом . Две боковые грани, которые содержат катеты этого треугольника, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом. Определите полную поверхность пирамиды, если наименьшее боковое ребро равно d.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами и(>). Определите боковую поверхность пирамиды, если высота пирамиды равна h.

17. Через вершину правильной n-угольной пирамиды и через две вершины многоугольника, лежащего в основании, к плоскости основания проведена плоскость, под углом к плоскости основания, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие соответственно (r + 2) вершины и (r -2) вершины вершин . Найдите объем пирамиды, если общая сторона этих двух много угольников равнаb.

18. Хорда основания цилиндра стягивает дугу окружности основания, равную . Площадьбоковой поверхности цилиндра равна Q. Найти площадь сечения, проведенного через данную хорду параллельно оси цилиндра.

19. Найти диагональ осевого сечения цилиндра, зная что объем цилиндра равен 240см³, а боковая поверхность 120см².

20. В правильной треугольной пирамиде апофема равна m, а плоский угол при вершине . Найдите объем конуса, вписанного в пирамиду.

21. Около шара описан усеченный конус, у которого образующая наклонена к основанию под углом . Определите полную поверхность усеченного конуса, если радиус шара равенr.