Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
101
Добавлен:
09.11.2013
Размер:
420.01 Кб
Скачать

Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно свести интегрирование нерациональных функций к интегрированию рациональных функций (т. е., как говорят, рационализировать интеграл).

Пусть - рациональная функция своих аргументов и , т. е. над и совершаются только арифметические операции, чтобы получить . Например,

 

 

- рациональная функция, а

 

 

 

 

- не является рациональной.

 

I. В ы ч и с л и т ь

 

, где

- постоянные числа, -натуральное

число,

,

- рациональная функция.

 

Функцию вида

 

называют дробно-линейной иррациональностью.

 

Покажем, что замена

рационализирует интеграл. В самом деле,

,

откуда

- рациональная функция от

. Далее,

 

.

Поэтому

,

где - рациональная функция по , интегрировать которую мы умеем.

П р и м е р 1. Вычислить

 

. Здесь

. Полагая

,

получим

,

,

. Таким образом,

 

 

.

П р и м е р 2.

 

 

.

 

II. Вычислить

, где

- постоянные числа.

Функцию

будем называть квадратичной иррациональностью.

Если трехчлен

имеет действительные корни ,

,

то

и

 

 

и дело сводится к случаю 1.

Поэтому будем считать, что не имеет действительных корней и . Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера:

 

.

 

Отсюда

, т. е.

- рациональная функция от . Но тогда

- также рациональная функция от . Поэтому

.

З а м е ч а н и е. Если , а , то можно сделать замену

.

П р и м е р 3. Вычислить . Бином не имеет действительных корней. Поэтому полагаем

и

.

Отсюда

.

В силу этого

.

III. И н т е г р и р о в а н и е в ы р а ж е н и й .

Рационализация достигается с помощью подстановки , которая называется универсальной. В самом деле

,

,

поэтому

.

Если функция обладает свойствами четности или нечетности по переменным или , то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирующие интеграл.

Пусть

,

где и - многочлены от и .

1)Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.

2)Если один из многочленов , четный по , а другой – нечетный по , то подстановка рационализирует интеграл.

3)Если и : а) оба не изменяются при замене соответственно на или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой (или ).

П р и м е р ы:

.

.

.

.

В данном случае , т. е. числитель нечетный относительно , а знаменатель четный по , и мы имеем дело со случаем .

.

Здесь числитель , а знаменатель . Оба не меняются при замене соответственно на , т. е. мы имеем дело со случаем .

Эйлера подстановки подстановки, служащие для приведения интегралов вида

где R (x, y) — рациональная функция от х и у, к интегралам от рациональных. Предложены Л. Эйлером.

применима, если а>0;

применима, если с > 0;

где λ — один из корней трёхчлена ax2 + bx + c, применима, если корни этого трёхчлена действительны. На практике Э. п. требуют громоздких преобразований и потому вместо них обычно пользуются теми или иными искусств. приёмами, упрощающими вычисление.

Аналогичные подстановки делаются в теории чисел при решении неопределённых уравнений 2-й степени в рациональных числах.

Соседние файлы в папке FTF 1 semestr.MAVRODI