FTF 1 semestr.MAVRODI / 60

Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где P(x) и Q(x) - многочлены.

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена P(x) ниже степени многочлена Q(x); в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:

I. ;

II., где m - целое число, большее единицы;

III. , где , т.е квадратный трехчлен не имеет действительных корней

Во всех четырех случаях предполагается, что A, B, p, q, a - действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III, IV типов.

Расмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем

I. ;

II.

III.

Действительно, для этого частного случая простейшей дроби типа III получаем

, или ,

Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения на простейшие дроби

О : Рациональной дробью называется функция

где i A, B j -заданные коэффициенты, i=0, m , j=0, n .

Рациональная дробь называется правильной, если m<n, неправильной, если

m > n .

Перед интегрированием рациональной дроби надо сделать следующиепреобразованияалгебраическ вычисления:

1)если дробь неправильная, то выделить целую часть и представить ее в виде дроби;

2)разложить знаменатель дроби на множители и представить ее в виде суммы пр дробей с неопределенными коэффициентами;

3)Вычислить неопределенные коэффициенты используя или подстановку корней зн неопределенных коэффициентов;

4)проинтегрировать полученное выражение.

Для упрощения решения примеров в дальнейшем рассмотыпростейшихиминтегралрациональных д