FTF 1 semestr.MAVRODI / 65
.pdf
Условия существования:
Теорема необходимое условие существования определенного интеграла
Если функция интегрируема (по Риману) на отрезке, то она ограничена на нем.
Доказательство. Пусть |
интегрируема на |
, т.е. существует |
|
. Покажем ограниченность |
||||
функции |
на |
, т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
Предположим, что |
не ограничена на |
. Тогда |
|
|
|
|
||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
При |
, |
можно построить последовательность |
: |
и |
. Поэтому можно |
|||
указать такое |
|
|
|
|
|
|
|
|
разбиение |
отрезка |
и провести выбор чисел |
так, что интегральная сумма |
примет значение |
||||
больше любого наперед заданного числа, т.е. определение определенного интеграла не выполнится. |
|
|||||||
Итак, только для ограниченной на |
функции |
существует интеграл |
. |
|
||||
Заметим, однако, что не для всякой ограниченной на 
функции 
существует интеграл, т.е. требование ограниченности функции является НЕОБХОДИМЫМ, но не является ДОСТАТОЧНЫМ условием интегрируемости функции.
Контрпример. Пусть
Тогда для всякого разбиения 
на 
можно указать систему точек 
такую, что 
и
поэтому |
, а также |
, т.е. |
. При |
не существует единого |
|
|
предела для интегральной суммы, не зависящего от |
|
|
|
|
|
|
и , т.е. функция |
, будучи ограниченной на |
, не является интегрируемой (по Риману) на |
. |
|
||
Аналогичные соображения имеют место и для |
в общем случае: |
|
|
|
|
|
если интеграл |
, построенный соответственно рассмотренной выше процедуре (по Риману), существует, то |
– |
||||
ограниченная на 
функция, т.е. только для ограниченных на 
функций 
, 
, можно рассматривать указанный интеграл.
Необходимые и достаточные условия существования интеграла Римана подробно изложены, например, в [1].
Сформулируем некоторые ДОСТАТОЧНЫЕ условия существования определенного интеграла, т.е. укажем классы функций 
, 
, интегрируемых по Риману: если
либо 1) 
– непрерывна на 
,
либо 2) 
– кусочно-непрерывна и ограничена на 
;
либо 3) 
– монотонная или кусочно-монотонная и ограничена на 
, то определенный
интеграл |
существует (имеет конечное значение). |
Впредь будем предполагать, что все рассматриваемые функции 
и множества 
, 
, обладают ("хорошими")
свойствами, нужными для существования интеграла |
. |
Классы интегрируемых функций
Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.
Теорема 28.5: Если функция |
определена и ограничена на отрезке |
|
, и если |
можно указать |
|||
конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на |
. Причём общая длина этих |
||||||
интервалов меньше |
. То |
- интегрируема на |
. |
|
|
|
|
Замечание: Очевидно, что если |
- интегрируема на |
, а |
отличается от |
только в конечном |
|||
числе точек, то |
- интегрируема на |
и |
|
. |
|
|
|
Определение 28.8: Определённым интегралом функции 
на 
называется число 
, равное пределу интегральных сумм 
на 
. Условие интегрируемости эквивалентносуществованию определённого интеграла.