FTF 1 semestr.MAVRODI / 68

Интеграл, как функция верхнего предела

До сих пор рассматривали свойства определенного интеграла, считая пределы интегрирования постоянными. Теперь же рассмотрим вопрос о том, как влияет изменение этих пределов на величину интеграла.

Пусть f(x) - непрерывная функция, заданная на промежутке [a, b]. Тогда она будет непрерывной и на всяком частичном промежутке [a, x], и можем рассмотреть интеграл

являющийся функцией аргумента x (как указывалось в конце предыдущего пункта, обозначение переменной интегрирования не существенно. Чтобы не путать эту переменную с пределом интегрирования, обозначаем ее через t).

Имеет место замечательная теорема, которую следует считать основной теоремой математического анализа:

Теорема. Производная определенного интеграла от непрерывной функции, рассматриваемого как функция его верхнего предела, существует и равна значению подинтегральной функции в точке дифференцирования.

В виде формулы высказанное утверждение выглядит так:

Если же положить

то формулированную теорему можно будет записать равенством

(17)

Приведем сначала не строгое, но очень наглядное геометрическое рассуждение, выясняющее суть теоремы.

Предполагая функцию f(t) непрерывной и положительной на [a, b], мы сможем изобразить функцию в виде площадки криволинейной трапеции, ограниченной линиями y = 0, t = a, t = x, y = f(t) (см. Рис. 6.).

Придавая аргументу x приращение x (пусть для простоты x > 0), изобразим

приращение функции в виде площади узкой полоски, заштрихованной на чертеже. Приняв эту полоску за прямоугольник с основанием x и высотой f(x) (где x - точка дифференцирования), получаем приближенное равенство

которое можно записать и так:

Так как точность этого равенства тем выше, чем меньше x, то

а это равносильно формуле (17).

Переходя к точному доказательству основной теоремы, рассмотрим две точки x и x + x из промежутка [a, b], на котором задана непрерывная функция f(t). Тогда

Отсюда, применяя теорему о среднем значении, находим

причем ξ лежит между x и x + x. В таком случае

Если x → 0, то точка ξ стремится к точке x. В силу непрерывности функции f(t) отсюда следует, что f(ξ) стремится к f(x). Поэтому

Теорема доказана. Из нее вытекает, в частности, что есть функция непрерывная.

Примерами, иллюстрирующими доказанную теорему, могут служить следующие равенства: