ИКТСС_2у_2 / Теория электрических цепей-Лк7-ИКТиСС-2у-1-Панин

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

П-образным входом.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

641.44 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Решая уравнение cos narccos jp , определим корни полинома Гурвица:

cos narccos jp

cosnarccos jp

, narccos jp arccos

, p jcos

arccos

, получаем:

С учетом того, что arccosx jln x

p jcos

, p jcos

ln j ln

ln e

j k

p jcos

, pk

jcos

, т.к.

ln x

arshx, то получим:

k j

, далее введем обозначение

arsh

, отсюда:

pk jcos

arsh

, т.к.

cos cos cos sin sin и cos jx chx, sin jx jshx.

pk jcos

cos

ch jsin

sh sin

jch cos

Аналитически рабочую передаточную функцию можно представить как:

T p						.
T p	n	n	n p p p p	p p	k	.
		p pk			k
		k

Аналитическое выражение для частотной зависимости рабочей передаточной функции получаем заменой переменной p jΩ.

T jΩ			, далее определим модуль: T Ω	T jΩ	и A Ω lg		[дБ].

	n	n				T Ω

		jΩ pk

Пример. Провести аппроксимацию рабочего ослабления по Чебышеву для ФНЧ удовлетворяющего следующим техническим требованиям:

1.граничная частота полосы пропускания (ПП) f2 7,0кГц 7000Гц;

2.граничная частота полосы задерживания (ПЗ) f3 9,8кГц 9800Гц;

3.максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП A 0,501дБ;

4.минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПЗ Amin 25дБ;

5.сопротивление нагрузки R2 850Ом;

Решение:

1. Осуществляем нормирование относительно граничной частоты ПП f2 :


2	f2		7,0		1 – нормированная граничная частота ПП;
	f2		7,0

3		f3		9,8	1,4 – нормированная граничная частота ПЗ;
		f2	7,0

2.Определим коэффициент неравномерности рабочего ослабления в ПП 100.1 A 1 0,35.

3.Определим порядок фильтра по формуле:

		1		100,1 Amin			1	100,1 25
	arch				1	arch			1
	arch				1	arch			1
n						0,35				5,329.
n			arch( 3)				arch(1,4)			5,329.
			arch( 3)				arch(1,4)

Полученное выражение округляем до большего целого значения, т.к. число элементов фильтра равно целому числу. Следовательно, порядок фильтра n 6.

4. Получим выражение для квадрата модуля функции фильтрации для ФНЧ.

j 2 2 P62 , где P6 32 6 48 4 16 2 1 – полином Чебышева.

5. Определим квадрат модуля передаточной функции для ФНЧ.

T j

, где

T jΩ

T jΩ T jΩ T p T p , тогда

1 2

T p T p

p n

V p V p

6. Необходимо определить

корни

полинома Гурвица V(p), лежащие в левой части

комплексной полуплоскости. Операторную передаточную функцию можно представить в следующем виде:

T p

2n 1 V p

2n 1 p pk

k 1

где pk

sh sin

jch cos

arsh

Поскольку n = 6, то корни полинома Гурвица определяются в виде:

p1 0,078 j1,008, p2 0,212 j0,738, p3 0,29 j0,27,

p4 0,29 j0,27, p5 0,212 j0,738, p6 0,078 j1,008.

7.Формируем рабочую операторную передаточную функцию T(p):

T p		1		.
	6	12,9769 p5 24,29 p4 17,7829 p3 13,0976 p2
11,187 p			4,8329 p 1,0584

8.	Подставляя p j , определим рабочее ослабление как: A Ω lg			.
		T jΩ


9.	Выполним проверку функции A( ) на частотах: 1 0, 2 1, 3		2,2.
	A( 1) 0,501дБ , A( 2) 0,501дБ A 0,501дБ, A( 1) 30,042		дБ Amin 25дБ.

Вывод: аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим требованиям.

Приведём программу расчета на MathCad 7.0:

Контрольные вопросы

1.Что такое полином Баттерворта?

2.Получить формулу для определения порядка ФНЧ Баттерворта.

3.Что такое полином Чебышёва?

4.Записать рекуррентную формулу для определения полинома Чебышева порядка n.

5.Получить формулу для определения порядка ФНЧ Чебышева.

6.Изобразить частотную характеристику рабочего ослабления ФНЧ Чебышева 4 порядка в полосе пропускания.

Реализация фильтров по Дарлингтону Метод основан на формировании операторной функции входного сопротивления:

Zвх p p , где p – коэффициент отражения (несогласования).

При реализации фильтров по Дарлингтону нормированное сопротивление источника напряжения r . Определим коэффициент отражения из соотношений:

p , откуда p p T p .

p T p

p T

При аппроксимации по Баттерворту имеем:

p B

Bn p

, где B

p pn – полином Баттерворта.

V p

1 p

Bn p

V p Bn p

Zвх p

V p

, где V(p) – полином Гурвица.

Bn p

V p Bn p

1 p

V p

При аппроксимации по Чебышеву имеем:

p P p

Pn p

n V p

Pn p определяется по рекуррентной формуле Pn Ω ΩPn Ω Pn Ω

заменой Ω p , при

этом все слагаемые берутся со знаком «+».

Например: P Ω Ω

то P p p .

1 p

Pn p

V p 2n 1 Pn p

V p

Pn p

V p Sn p

2n 1 V p

Zвх p

2n 1

1 p

Pn p

V p 2n 1 Pn p

V p Sn p

V p

Pn p

1 2n 1 V p

2n 1

Zвх p раскладываем в цепную дробь по Кауэру и строим нормированную схему фильтра.

Пример. Провести этап реализации по Дарлингтону ФНЧ Баттерворта пятого порядка (этап аппроксимации был рассмотрен ранее).

1. Сформируем функцию входного сопротивления фильтра по формуле:

Zвх p V p B5 p , где B5 p p5 – полином Баттерворта пятого порядка. V p B5 p

Корни полинома Гурвица ранее мы определили в виде:

p1 0,374 j1,151, p2 0,979 j0,711, p3 1,210, p4 0,979 j0,711, p5 0,374 j1,151.

Сформируем полином Гурвица:

V(p) (p p1) (p p2) (p p3) (p p4) (p p5)

Осуществляя подстановку в явном виде, получим:

V(p) p5 3,916 p4 7,6675 p3 9,2787 p2 6,9393 p 2,5945.

Таким образом, входное сопротивление фильтра можно записать в двух видах:

Zвх p	V p B	5	p	2 p5 3,916 p4 7,6675 p3 9,2787 p2				6,9393 p 2,5945
									– вид № 1,
	V p B5		p	3,916 p4	7,6675 p3	9,2787 p2
							6,9393 p 2,5945
Zвх p	V p B	5	p	3,916 p4	7,6675 p3	9,2787 p2	6,9393 p 2,5945
									– вид № 2.
	V p B5		p	2 p5 3,916 p4 7,6675 p3 9,2787 p2
								6,9393 p 2,5945

Раскладываем в цепную дробь (по Кауэру) вид входного сопротивления № 1:

Полином числителя принимаем за делимое 1, полином знаменателя за делитель 1.

2p5	3,9160р4	7,6675р3	9,2787р2	6,9393р 2,5945	3,9160р4 7,6675р3 9,2787р2 6,9393р 2,5945
2p5	3,9160р4	4,7389р3	3,5441р2	1,3251р	0,511p z1(p) 1 p
		2,9286p3 5,7346p2		5,6142p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 2, за делимое 2 принимаем делитель 1.

3,9160р4	7,6675р3	9,2787р2	6,9393р 2,5945	2,9286p3 5,7346p2 5,6142p 2,5945
3,9160р4	7,6675р3	7,5071р2	3,4693р	1,337p y2(p) c1 p
		1,7716p2 3,4700p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 3, за делимое 3 принимаем делитель 2

2,9286p3 5,7346p2	5,6142p 2,5945	1,7716p2 3,4700p 2,5945
2,9286p3 5,7346p2	4,2889p	1,653p z3(p) 3 p
	1,3253p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 4, за делимое 4 принимаем делитель 3.

1,7716p2	3,4700p 2,5945	1,3253p 2,5945
1,7716p2	3,4700p	1,337p y4(p) c3 p
	2,5945

Остаток принимаем за делитель 5, за делимое 5 принимаем делитель 4.

1,3253p 2,5945

2,5945

1,3253p 2,5945 0,511p 1 z5(p) r2 5 p r2

Нормированное значение входного сопротивления в этом случае выражено в виде цепной дроби:

Zвх p 0,511 p		1					.
Zвх p 0,511 p	1,337 p	1					.
	1,337 p			1
	1,653 p			1
	1,653 p				1
		1,337 p			1
		1,337 p			0,511 p 1
					0,511 p 1
Нормированные значения ёмкостей ci	и индуктивностей i будут равны:
1 0,511, c2 1,337 , 3 1,653,		c4 1,337 ,	5	0,511, r2		1.

Схема фильтра начинается с последовательно включенного элемента. Такая схема называется схемой с Т-образным входом.

r	1	1		3	5
1
Eист			с2	с4	r2 1

Раскладываем в цепную дробь (по Кауэру) вид входного сопротивления № 2: Полином знаменателя принимаем за делимое 1, полином числителя за делитель 1.

2p5	3,9160р4	7,6675р3	9,2787р2	6,9393р 2,5945	3,9160р4 7,6675р3 9,2787р2 6,9393р 2,5945
2p5	3,9160р4	4,7389р3	3,5441р2	1,3251р	0,511p y1(p) c1 p

2,9286p3 5,7346p2 5,6142p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 2, за делимое 2 принимаем делитель 1.

3,9160р4	7,6675р3	9,2787р2	6,9393р 2,5945	2,9286p3 5,7346p2	5,6142p 2,5945
3,9160р4	7,6675р3	7,5071р2	3,4693р	1,337p z2(p) 2	p
		1,7716p2 3,4700p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 3, за делимое 3 принимаем делитель 2

2,9286p3 5,7346p2	5,6142p 2,5945	1,7716p2 3,4700p 2,5945
2,9286p3 5,7346p2	4,2889p	1,653p y3(p) c3 p
	1,3253p 2,5945

Остаток принимаем за делитель 4, за делимое 4 принимаем делитель 3.

1,7716p2	3,4700p 2,5945	1,3253p 2,5945
1,7716p2	3,4700p	1,337p z4(p) 4 p

2,5945

Остаток принимаем за делитель 5, за делимое 5 принимаем делитель 4.

1,3253p 2,5945	2,5945

1,3253p 2,5945	0,511p 1 y5(p) g2	c5 p g2

Нормированное значение входного сопротивления в этом случае выражено в виде цепной дроби:

Zвх p

0,511 p

1,337 p

1,653 p

1,337 p

0,511 p 1

Нормированные значения ёмкостей ci

и индуктивностей i будут равны:

c1 0,511, 2

1,337,

c3 1,653, 4

1,337, c5

0,511, g2

gн 1.

Схема фильтра начинается с параллельно включенного элемента. Такая схема называется схемой с

В дальнейшем выбираем схему с меньшим числом индуктивностей (в нашем случае это схема с источником тока). Преобразовав эквивалентный источник тока в эквивалентный источник напряжения, получим схему вида:

r1 1	2		4
Eист	с1	с3	с5	gн

Для перехода от нормированной схемы к денормированной схеме с заданными нагрузочным

сопротивлением R2 100Ом и граничной частотой			f2 18,5кГц осуществляем изменение
уровня сопротивления и масштаба частоты с помощью следующих множителей:
а) преобразующий множитель сопротивления: nr	R2	100		100Ом.
	r		1
2

б) преобразующий множитель частоты: n 2 f2 1,162 105 рад сек

Коэффициенты денормирования индуктивности и емкости определяем по формуле:

kL	nr	8,603 10	4	Гн , kC	1	8,603 10	8	Ф .
	n				nr n

Таким образом, истинные значения элементов фильтра можно определить как:

R1 nr r1 100Ом , С1 kC c1 4,396 10 8 Ф, L2 kL 2 1,15 10 3 Гн, R2 100Ом,

С3 kC c3 1,422 10 7 Ф, L4 kL 3 1,15 10 3 Гн , С5 kC c5 4,396 10 8 Ф.

После выполнения синтеза электрического фильтра важно убедиться в его соответствии техническим требованиям. Наиболее полной проверкой правильности расчета спроектированного фильтра является расчет частотных зависимостей Ap(f) и Bp(f) по передаточной функции

Tp(j ), выраженной через элементы фильтра.

Фильтр представляет собой реактивный четырехполюсник лестничной структуры. С учетом источника сигнала с внутренним сопротивлением R1 и сопротивления нагрузки R2 полная схема имеет вид.

R1	Z1	Z3	Zn
E	Y2	Y4	U2	R2
E

Рабочая передаточная функция такой схемы определяется в виде:

	T p	1	2	R1	, где p j j2 f – комплексная частота.
	T p	\| (p)\|	2	R2	, где p j j2 f – комплексная частота.
		\| (p)\|		R2
	R1 Z1(p)		1		0	0	0	0
	R1 Z1(p)		1		0	0	0	0
	1		Y2(p)		1	0	0	0
	0		1		Z3(p)	1	0	0	.
(p)	0		0		1	Y4(p)	1	0	.

	0		0		0	0	Zn (p)	1
	0		0		0	0	1	G2

Рабочее ослабление и рабочая фаза фильтра рассчитываются по формулам:

Ap f 20 lg	1	, Bp(f) arg(Tp(f))	180	.
	Tp f

Приведём программу расчета частотных характеристик фильтра на MathCAD 7.0.

Построим график рабочего ослабления в полосе задерживания и график рабочей фазы в полосе пропускания фильтра:

Вывод: спроектированный фильтр удовлетворяет техническим требованиям, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания, поскольку:

A(f3 40,7кГц) 25,976дБ Amin 22дБ , а A(f2 18,5кГц) 0,601дБ A 0,6дБ.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке ИКТСС_2у_2

#
10.06.2015217.53 Кб28Теория электрических цепей-Лк5-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015194.33 Кб20Теория электрических цепей-Лк6-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015641.44 Кб36Теория электрических цепей-Лк7-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf
#
10.06.2015174.59 Кб18Теория электрических цепей-Лк8-ИКТиСС-2у-1-Панин.pdf