ИКТСС_2у_2 / Теория электрических цепей-Лк5-ИКТиСС-2у-1-Панин

Лекция № 5

Основы теории двухполюсников. Классификация двухполюсников.

Понятие входной функции реактивных двухполюсников Любая электрическая цепь, рассматриваемая относительно каких-либо двух её зажимов, назы-

вается двухполюсником.

Классификация двухполюсников

1.Линейные и нелинейные двухполюсники;

2.Одноэлементные, двухэлементные и многоэлементные двухполюсники;

3.Реактивные двухполюсники (РД) и двухполюсники с потерями;

4.Активные и пассивные двухполюсники.

Введем понятие эквивалентности двухполюсников. Два двухполюсника, имеющие разную структуру, эквивалентны в электрическом смысле, если их сопротивления или соответственно проводимости равны друг другу во всём спектре частот. Замена в электрической цепи какого-либо двухполюсника эквивалентным ему двухполюсником не влияет на токи или напряжения в осталь-

ной части электрической цепи. Это положение справедливо как для установившегося, так и для переходного процесса.

В дальнейшем мы будем рассматривать только реактивные двухполюсники (РД) – двухполюс-

ники, содержащие только реактивные элементы.

Зависимости сопротивлений или проводимостей двухполюсников от частоты называются час-

тотными характеристиками. Частотные характеристики двухполюсников, образующих электриче-

скую цепь, предопределяют частотные свойства данной цепи, т.е. зависимости амплитуд и фаз то-

ков или напряжений от частоты.

Термином, обобщающим входные сопротивления Z(p) и проводимость Y(p) реактивных двухполюсников, является входная функция F(p). Входную функцию F(p) можно реализовать в виде электрической цепи с сосредоточенными параметрами при условии, что она является дробно-

рациональной.

где ak,bk – const, H an bm – множитель уровня,

p ,p , ,p n – нули, p 1,p 2, ,p m – полюсы входной функции.

Не всякой функции F(p) можно поставить в соответствие линейный пассивный двухполюсник,

составленный из элементов с положительными вещественными параметрами. Необходимое и дос-

таточное условие физической реализуемости рациональной функции F(p) в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы F(p) являлась положитель-

ной вещественной функцией комплексной частоты p.

Введем понятие положительной вещественной функции. Это такая функция F(p), которая

удовлетворяет двум условиям:

её вещественная часть положительна при положительных значениях вещественной части p:

её мнимая часть равна нулю при мнимой части p, равной нулю:

Im[F(p)] 0, при Im(p) 0 (условие вещественности)

Непосредственно по последним двум выражениям трудно определить является ли заданная функция F(p) положительной вещественной функцией частоты p, поэтому обычно проверяют выполнение следующих условий, которые полностью вытекают из этих выражений:

1.Все коэффициенты ak и bk полиномов N(p) и M(p) должны быть вещественны и неотрицательны;

2.Наибольшие и соответственно наименьшие степени полиномов N(p) и M(p) не могут отличаться более чем на единицу;

3.Нули p0k и полюсы p k функции F(p) не могут располагаться в правой части комплексной полуплоскости, в противном случае не выполняются условия устойчивости цепи.

4.Нули p0k и полюсы p k функции F(p), расположенные на мнимой оси, должны быть только простыми (некратными), причём производные функции F(p) в нулях и вычеты в полюсах должны быть вещественны и положительны.

5.Вещественная часть функции F(p) должна быть неотрицательной на мнимой оси, т.е.

положительными вещественными функциями комплексного переменного p.

Непосредственно по виду функции устанавливаем, что функция F1(p) не удовлетворяет первому условию (коэффициент a0 0), а функции F2(p) и F3(p) не удовлетворяют второму условию (разности наивысших степеней числителя и знаменателя функции F2(p) и наименьших степеней числителя и знаменателя функции F3(p) превышают единицу). Следовательно, данные функции не являются положительными вещественными функциями.

Пример № 2. Определим, являются ли функция

p2 4 F4(p) p3 9p

положительной вещественной функцией комплексного переменного p, либо является ли она физически реализуемой в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи.

Непосредственно по виду функции F4(p) устанавливаем, что все коэффициенты полиномов

N(p) и M(p) вещественны и положительны, а наибольшие и наименьшие степени этих полино-

мов отличаются на единицу. Выполним проверку третьего условия:

Все нули функции F4(p), т.е. N(p) 0, p2 4 0, откуда p01 j2, p02 j2.

Все полюсы функции F4(p), т.е. M(p) 0, p3 9p 0, откуда p 0 0, p 1 j3, p 2 j3.

Видно, что нули и полюсы не располагаются в правой части комплексной полуплоскости, однако они располагаются на мнимой оси и являются простыми, т.е.

Im

j3

j2

j2

j3

Требуется выполнить проверку четвёртого условия. Для этого определим производные функ-

ции F4(p) в нулях и вычеты в полюсах.

Производные функции в нулях:

Из теории функции комплексного переменного известно, что вычет функции N(p)M(p) по полюсу первого порядка равен:

Вывод: F4(p) является вещественной положительной функцией.

Одноэлементные и двухэлементные реактивные двухполюсники Индуктивность и ёмкость представляют собой одноэлементные реактивные двухполюсники.

L C

Комплексное сопротивление индуктивного элемента во всем спектре частот имеет положи-

тельный знак, а комплексная проводимость – отрицательный знак:

Комплексное сопротивление ёмкостного элемента во всем спектре частот имеет отрицатель-

ный знак, а комплексная проводимость – положительный знак:

1

ZC jXC j C , YC jBC j C.

Представим частотные характеристики указанных величин.

Из графиков видно, что ZL,ZC соответствуют YC,YL. Следует отметить, что как сопротив-

ления, так и проводимости двухполюсников с ростом частоты возрастают, т.е.

dZ 0, dY 0. jd jd

Последнее выражение определяет одно из общих свойств реактивных двухполюсников.

Данные двухполюсники называются дуальными. Запишем условие дуальности реактивных

Условие дуальности реактивных двухполюсников можно записать в виде:Z1 Z2 R02.

Двухполюсник, состоящий из последовательно или параллельно соединенных однородных эле-

ментов (индуктивностей или емкостей), относится к числу одноэлементных двухполюсников, т.к.

последовательно или параллельно соединённые однородные элементы могут быть заменены од-

ним эквивалентным реактивным элементом того же характера. В результате получается так назы-

ваемый приведенный двухполюсник.

Двухэлементный реактивный двухполюсник получается в результате последовательного или

параллельного соединения индуктивности и ёмкости.

L2

L1 C1

C2

Определим комплексные сопротивления данных двухполюсников.

Определим соответствующие операторные сопротивления, осуществляя замену j p.

Приведённые реактивные двухполюсники представляют собой идеальные колебательные кон-

тура (последовательный и параллельный соответственно). Из курса ОТЦ Часть I известно, что в последовательном колебательном контуре наблюдается резонанс напряжений, а в параллельном

1, 3, 5, , 2n 1, а частоты резонанса токов четными: 2, 4, 6, , 2n 2.

Представим частотные характеристики двухэлементных реактивных двухполюсников.

C2

C1

По первой частотной характеристике видно, что на частоте 0 и реактивное сопро-

тивление равно бесконечности. По второй – на частоте 0 и реактивное сопротивление равно нулю. В связи с этим реактивные двухполюсники удобно подразделять на 4 класса:

(0,0);( ,0);(0, );( , ).

Так, например, идеальный последовательный контур имеет класс ( , ). Параллельный кон-

тур имеет класс (0,0). Как определить класс реактивного двухполюсника другими способами?

Для этого достаточно определить входное операторное сопротивление на двух граничных часто-

тах: p 0 и p . Действительно, сопротивление последовательного колебательного контура:

Можно определить класс реактивного двухполюсника непосредственно по схеме. Для этого составляют схемы замещения на частотах 0 и . Далее определяют, имеется ли путь по-

стоянному току или нет. Если ток проходит через двухполюсник, то его сопротивление равно 0,

если нет, то .

Многоэлементные реактивные двухполюсники К многоэлементным реактивным двухполюсникам относят: трехэлементные, четырехэлемент-

ные и т.д. реактивные двухполюсники. В качестве примера рассмотрим схему трехэлементного реактивного двухполюсника и определим его входное операторное сопротивление Za(p).

Преобразуем последнее выражение к так называемомуканоническому виду:

Тогда входное операторное сопротивление запишем как:

2 2

Za(p) Ha p(p2 23) , где Ha L . (p 2)

Построим частотную характеристику данного реактивного двухполюсника.

Za(j )

j

C2

По данному рисунку можно сформулировать основные свойства входной функции РД.

1.Входная функция реактивных двухполюсников возрастает с ростом частоты;

2.Наблюдается чередование частот резонансов тока и напряжения, тем самым образуется так на-

зываемая диаграмма нулей и полюсов;

3.Число элементов двухполюсника превышает число резонансных частот на единицу;

4.Наибольшие и наименьшие степени полиномов числителя и знаменателя входной функции ре-

активного двухполюсника не могут отличаться более чем на единицу;

5.Наибольшая степень полинома числителя или знаменателя определяет количество элементов;

6.Если в выражении для входной функции множитель p располагается в числителе, то первым наступает резонанс тока, если множитель p располагается в знаменателе – резонанс напряже-

ний.

Функция, обладающая такими свойствами, называется реактивной.

Построим эквивалентный реактивный двухполюсник, обладающий такой же частотной зави-

симостью, таким же классом (0, ). Вид такого эквивалентного двухполюсника изображен на ри-

сунке.

L3

Класс: (0, )

L0

C3

Определим операторное входное сопротивление эквивалентного реактивного двухполюсника.

Соответствующую частотную характеристику можно представить в виде:

Zb(j )

j

C3

Необходимо установить связь между L0,L3,C3 и L ,L2,C2. Для этого используем условия эквивалентности реактивных двухполюсников Za(p) Zb(p). Таким образом, получаем эквива-

лентные уравнения:

Задача для самостоятельного решения Определить класс и построить эквивалентный реактивный двухполюсник. Из условия эквива-

лентности установить связь между параметрами двухполюсников. Привести график частотной за-

висимости входного сопротивления двухполюсников.

L2

С0

С2

Контрольные вопросы

1.Что называется двухполюсником?

2.Как классифицируются двухполюсники?

3.Какие двухполюсники являются эквивалентными?

4.Какие двухполюсники являются реактивными?

5.Какова причина проявления частотных свойств двухполюсников?

6.Что собой представляет входная функция реактивных двухполюсников?

7.Что Вы понимаете под условием физической реализуемости?

8.Что такое положительная вещественная функция?

9.Какие основные свойства положительной вещественной функции Вы знаете?

10.Как определить вычет функции по полюсу первого порядка?

11.Какие реактивные двухполюсники являются дуальными?

12.Что собой представляет приведённый двухполюсник?

13.Как определить класс реактивного двухполюсника по схеме?

14.Как определить класс реактивного двухполюсника по виду операторного сопротивления?

15.Как определить класс реактивного двухполюсника по частотной характеристике реактивного сопротивления?

16.Какие основные свойства входной функции реактивных двухполюсников Вы знаете?

17.Какая входная функция называется реактивной?

Канонические схемы реактивных двухполюсников Канонические схемы – схемы, построенные по определенному правилу (канону). Наиболее

распространенными в теории электрических цепей являются схемы, построенные по правилу (ка-

нону) Фостера и Кауэра.

I схема Фостера представляется в виде последовательного соединения параллельных колеба-

тельных контуров:

L C0

Класс данного двухполюсника: ,

Входное операторное сопротивление имеет вид:

Представим график частотной зависимости входного сопротивления:

Z j

j

II схема Фостера представляется в виде параллельного соединения последовательных коле-

бательных контуров:

Класс данного двухполюсника: ,