ИКТСС_2у_2 / Теория электрических цепей-Лк7-ИКТиСС-2у-1-Панин

Расчет фильтров по характеристическим параметрам Задачей расчета электрического фильтра по характеристическим параметрам состоит в

построении фильтра, составленного путем каскадного соединения минимального числа согласованных звеньев (полузвеньев) и удовлетворяющего заданным техническим требованиям.

Поскольку полное согласование генератора с входом фильтра и нагрузки с выходом фильтра невозможно, то рабочее затухание:

Ap Ac Aотр,

где Aотр – ослабление отражения, обусловленное несогласованностью.

В частотной характеристике рабочего затухания различают три полосы:

1.ПЭП – полоса эффективного пропускания.

2.ПО – переходная область.

3.ПЭЗ – полоса эффективного задерживания.

Представим график частотной зависимости рабочего ослабления для ФНЧ «к».

A

Сопротивление генератора и нагрузки выбирают как среднее геометрическое:

Классы фильтров по сопротивлению и ослаблению

Особую роль отводят определению класса фильтра. Различают класс по сопротивлению (NZ)

и класс по ослаблению (NA).

NA – определяется количеством звеньев и полузвеньев. К фильтрам 1 класса по ослаблению

(NA = 1) относятся звенья ФНЧ и ФВЧ типа «к» и типа «m», а также звенья ЗФ типа «к».

Полузвеньям перечисленных фильтров присвоен класс по ослаблению 0.5 (NA = 0.5).

Звено полосового фильтра типа «к» имеет класс NA = 2, а его полузвено NA = 1.

NZ – определяется количеством частот согласования. К фильтрам 1 класса по сопротивлению

(NZ = 1) относят все звенья и полузвенья ФНЧ и ФВЧ типа «k». К фильтрам 2 класса по сопротивлению (NZ = 2) относят звенья ФНЧ и ФВЧ типа «m», ПФ и ЗФ типа «k».

Определим класс следующего фильтра: NZ = 2, NA = 1,5.

График частотной зависимости характеристического ослабления данного фильтра:

Ac

Здесь f 1,f 2 – резонансные частоты параллельного и последовательного колебательных контуров, располагающихся на входе и выходе фильтра.

Расчет электрических фильтров по рабочим параметрам. Основные понятия и определения

Основные преимущества:

1.Электрический фильтр с меньшим числом элементов

2.Точность вычислений

3.Разработана общая методика расчета

Рассмотрим реактивный двусторонне нагруженный электрический фильтр:

Рабочая мера передачи данного фильтра определяется соотношением:

W j

T T j V j – комплексная рабочая передаточная функция.

P

Установим связь между рабочей передаточной функцией, модулем коэффициентом отражения и функцией фильтрации.

Этапы синтеза электрических фильтров. Технические требования к фильтрам

Синтез электрического фильтра по рабочему ослаблению состоит из следующих этапов:

аппроксимации, реализации, проверочного расчета и исследования.

На этапе аппроксимации необходимо получить аналитическое выражение для рабочей передаточной функции, удовлетворяющей УФР.

При расчетах используют два вида аппроксимации:

1.Аппроксимация по Тейлору: аппроксимирующая функция совпадает с исходной в одной точке,

востальных монотонно отклоняется не более чем на заданную величину∆.

∆

исходная функция

∆

аппроксимирующая функция

2. Аппроксимация по Чебышеву: аппроксимирующая функция колеблется относительно исходной, отклоняясь на заданную величину ∆.

∆

исходная функция

∆

аппроксимирующая функция

При проектировании фильтров по рабочему ослаблению на этапе аппроксимации задают функцию фильтрации. В зависимости от вида функции фильтрации получают различные типы фильтров.

Если в качестве функции фильтрации используются полиномы, то фильтры называются полиномиальными. Среди полиномиальных фильтров широко используются:

фильтры Баттерворта (в качестве функции фильтрации полиномы Баттерворта)

фильтры Чебышева (в качестве функции фильтрации полиномы Чебышева)

Если в качестве функции фильтрации используется дробно-рациональная функция,

например, дробь Золотарева-Кауэра, то имеем фильтр Золотарева-Кауэра.

На этапе реализации по найденной рабочей передаточной функции определяется схема фильтра и величины ее элементов.

Технические требования, предъявляемые к фильтрам: 1. граничные частоты ПП и ПЗ

2. максимальное допустимое ослабление в ПП (или коэффициент отражения)

Вывод: синтез электрического фильтра производится в следующем порядке:

1.Переход к ФНЧП и нормирование частот;

2.Аппроксимация рабочей передаточной функции и характеристики рабочего ослабления;

3.Реализация схемы ФНЧ (ФНЧП);

4.Переход от схемы ФНЧП к схеме заданного фильтра и денормирование ее элементов;

5.Расчет и построение денормированных частотных характеристик рабочего ослабления и фазы.

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте теорему о мостовых фильтрах.

2.В чём состоит задача расчета электрического фильтра по характеристическим параметрам?

3.Что Вы понимаете под полосой эффективного пропускания?

4.Что Вы понимаете под полосой эффективного задерживания?

5.Как определить класс фильтра по ослаблению?

6.Как определить класс фильтра по сопротивлению?

7.В чем преимущество расчета фильтров по рабочим параметрам по сравнению с расчетом фильтров по характеристическим параметрам?

8.Что Вы понимаете под функцией фильтрации? Как она определяется?

9.Что Вы понимаете под коэффициентом несогласования? Как он определяется?

10.Какова связь между рабочим ослаблением фильтра и функцией фильтрации?

11.Какова связь между рабочим ослаблением фильтра и его передаточной функцией?

12.Какие Вы знаете основные этапы синтеза фильтров по рабочим параметрам?

13.Какие виды аппроксимации используют при синтезе фильтров?

14.Какие фильтры называются фильтрами Баттерворта?

15.Какие фильтры называются фильтрами Чебышева?

16.Какие фильтры называются фильтрами Золотарёва-Кауэра?

17.Какие технические требования предъявляются к фильтрам?

Аппроксимация частотных характеристик по Баттерворту В качестве функции фильтрации используем полиномы Баттерворта, т.е.

Bn n ,

где – коэффициент неравномерности рабочего ослабления в полосе пропускания.

Рабочее ослабление определяем как:

A 10lg 1 2 10lg 1 2 2n .

По техническим требованиям, для ФНЧ (ФНЧП) на граничной частоте ПП Ω , рабочее ослабление должно быть равным максимальному допустимому ослаблению A, т.е.

A 2 1 A 10lg 1 2 , откуда , A .

Получим формулу для определения порядка ФНЧ (ФНЧП).

На граничной частоте ПЗ Ω рабочее ослабление должно быть больше (либо равно)

минимального допустимого рабочего ослабления Amin , т.е.

Представим частотную зависимость рабочего ослабления при аппроксимации полиномом Баттерворта

Amin

Аппроксимация по Баттерворту получила название монотонной, или максимально гладкой.

Определим частоту среза фильтра Баттерворта из условия:

Рабочая передаточная функция аппроксимируется полиномом Баттерворта в виде:

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как:

T Ω T jΩ T jΩ T p T p p jΩ .

Таким образом:

где V p – полином Гурвица.

Корни полинома Гурвица pk , располагающиеся в левой полуплоскости, определим из уравнения:

pjk n , jpk n , jpk n , jpk n ej k ,

Аналитически рабочую передаточную функцию можно представить:

Аналитическое выражение для частотной зависимости рабочей передаточной функции получаем заменой переменной p jΩ.

Пример. Провести аппроксимацию рабочего ослабления по Баттерворту для ФНЧ удовлетворяющего следующим техническим требованиям:

1.граничная частота полосы пропускания (ПП) f2 18,5кГц 18500Гц;

2.граничная частота полосы задерживания (ПЗ) f3 40,7кГц 40700Гц;

3. максимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПП A 0,6дБ;

4.минимально-допустимое значение рабочего ослабления в ПЗ Amin 22дБ;

5.сопротивление нагрузки R2 100Ом;

Решение:

1. Осуществляем нормирование относительно граничной частоты ПП f2 :

2 f2 18,5 1 – нормированная граничная частота ПП; f2 18,5

Построим качественную частотную характеристику рабочего ослабления:

2.Определим коэффициент неравномерности рабочего ослабления в ПП 100.1 A 1 0,385.

3.Определим порядок фильтра по формуле:

комплексной полуплоскости. Операторную передаточную функцию можно представить в следующем виде:

k

Поскольку n = 5, то корни полинома Гурвица определяются в виде:

p1 0,374 j1,151, p2 0,979 j0,711, p3 1,210, p4 0,979 j0,711, p5 0,374 j1,151.

7. Формируем рабочую операторную передаточную функцию T(p):

Вывод: аппроксимированное рабочее ослабление удовлетворяет техническим требованиям.

Приведём программу расчета на MathCad 7.0:

Аппроксимация частотных характеристик по Чебышеву Функцию фильтрации представим в виде полинома Чебышева порядка n:

Рабочее ослабление определяется как: A Ω lg Pn Ω .

P Ω cos , P Ω cos arccos Ω Ω, P Ω cos arccos Ω Ω .

Т.к. P Ω ΩP Ω P Ω , то Pn Ω ΩPn Ω Pn Ω – рекуррентная формула.

Вывод формулы для определения порядка фильтра Чебышева:

A Ω lg ch narch Ω Amin.

После преобразований получим:

Представим частотные характеристики рабочего ослабления

Amin

Amin

С другой стороны модуль рабочей передаточной функции можно представить как: T Ω T jΩ T jΩ T p T p p jΩ .

V p – полином Гурвица.