29. Краткая характеристика гноселогической доктрины финитизм.

идущая от Д. Гильберта методологическая установка на сильные требования к осмысленности и к на дежности математических суждений и рассуждений. В соответствии с этой установкой надежные рассуждения удовлетворяют следующим условиям (Ж. Эрбран):

1) всегда рассматривается лишь конечное и определенное число конкретно воспринимаемых предметов и функций;

2) функции эти точно определены, причем определение позволяет произвести однозначное вычисление их значений;

3) никогда не утверждается существование какого-либо объекта без указания способа построения этого объекта;

4)  никогда не рассматривается (как вполне определенное» множество всех предметов х какой-либо бесконечной совокупности; если же говорится, что какое-то рассуждение (или суждение) верно для всех этих х, то это означает, что общее рассуждение можно повторить для каждого конкретного х причем само это общее рассуждение следует при этом рассматривать только как образец для проведения таких конкретных рассуждении.

Ограничения 1) и 4) мотивируют как само название «финитизм», так и соответствующее употребление эпитетов «финитный» (или «финитарный») для рассуждений, суждений, доказательств, высказываний, определений, понятий, методов и т. д. Финитная математика — это совокупность финитных математических рассуждений.

Осмысленные суждения, согласно рассматриваемой установке, это те и только те суждения, которые могут быть доказаны или опровергнуты финитными рассуждениями. Осмыслен ные математические суждения называются «реальными» суждениями (предложениями, высказываниями), остальные -»идеальными».

Это несколько расплывчатое описание финитизма поддается и подвергается должным уточнениям в конкретных контекстах. Финитизм возник в рамках т.н. программы Гильберта — исходного пункта направления в основаниях математики, известного как формализм. Гильберт предназначал свою программ) для «реабилитации» математики в связи с интуиционистской критикой (см. Интуиционизм). Он предпринял попытку обосновать математику на базе эпистемологически прочного фундамента фииитизма. Гильберт соглашался с интуициониста-ми, что не все утверждения абстрактной математики имеютсмысл, более того — его критерии осмысленности математических высказываний еще ограничительнее интуиционистских (интуиционисты считают чрезмерно ограничительным в финитизме условие 1), т. к. допускают рассуждения о некоторых абстрактных предметах вроде «свободно становящихся последователей»).Однако Гильберт не заключает из этого, что следует запретить некоторые укоренившиеся приемы доказательств и тем самым деформировать, как настаивали интуиционисты, математическую практику. Он резонно полагал, что в принципе допустимо (а в целях экономии сил даже и нужно) пользоваться сомнительными, с точки зрения интуи-ционистов, принципами доказательств, если предварительно будет установлено — и установлено уже совершенно несомненными (т.е. финитными) рассуждениями, —-что при использовании этих доказательств не может быть получено среди осмысленных (т.е. реальных) утверждений такого, которое оказалось бы ложным. Что касается идеальных предложений, то им не обязательно приписывать определенные истинностные значения, так как они, строго говоря, финитно неосмыс-ляемы и поэтому выполняют в математике не познавательные, а, так сказать, «административные» функции. Они всего лишь инструменты, предназначенные для удобного манипулирования реальными высказываниями. Короче говоря, замысел программы Гильберта — несомненными рассуждениями доказать, что обычная математика есть консервативное расширение финитной математики. Т.о., есть теснаяаналогия между этим замыслом и неопозитивистскими попытками анализировать физические теории в терминах «наблюдаемых» и «теоретических конструктов»: реальные высказывания суть аналоги «наблюдаемых», идеальные — «теоретических конструктов».

Но как убедиться, что некоторая математическая система S не содержит среди своих реальных теорем ни одной ложной? Оказывается, что при некоторых дополнительных разумных предположениях эта проблема эквивалентна проблеме финитного установления непротиворечивости системы