1. Правило вычисления обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.

2. Теорема о ранге матрицы.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий

Кафедра математических методов в экономике

Экзаменационный билет № 19

По дисциплине «Линейная алгебра и математическое программирование»

1. Решение системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

2. Признак совместности системы линейных уравнений: теорема Кронекера-Капелли.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий

Кафедра математических методов в экономике

Экзаменационный билет № 20

По дисциплине «Линейная алгебра и математическое программирование»

1. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

2. Ранг матрицы и его вычисление.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий

Кафедра математических методов в экономике

Экзаменационный билет № 21

По дисциплине «Линейная алгебра и математическое программирование»

1. Схема метода Гаусса.

2. Векторное пространство и его базис.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий

Кафедра математических методов в экономике

Экзаменационный билет № 22

По дисциплине «Линейная алгебра и математическое программирование»

1. Приведение матрицы к ступенчатому виду.

2. Экономическая интерпретация множества решений системы линейных уравнений.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

Московский государственный индустриальный университет

(ГОУ МГИУ)

Факультет экономики, менеджмента и информационных технологий

Кафедра математических методов в экономике

Экзаменационный билет № 23

По дисциплине «Линейная алгебра и математическое программирование»

1. Решение системы линейных уравнений методом Жордано-Гаусса.

2. Общий вид оптимизационной задачи.

3. Задача.

Билет рассмотрен и утвержден на заседании кафедры. Протокол № 5 от 15 декабря 2009.

Заведующий кафедрой Казаков О.Л.

Задачи.

1. Фабрика выпускает продукцию двух видов П 1 и П 2. Для производства этой продукции используется два исходных продукта – А и В. Суточные запасы этих продуктов составляют 6 и 8 т соответственно. Расход сырья А и В на 1 тыс. изделий П 1 и П 2 приведены в таблице.

Исходный продукт	Расход на 1 тыс. изделий(т)		Запас (т)
	П1	П2
А	1	2	6
В	2	1	8

Какое количество изделий (в тыс. шт.) каждого вида может производить фабрика?

2. Для матриц А и В определить 0,5 А * 2В , если

1 2 -3 4 8 9

А 3 4 -1 В 5 0 1

0 5 -2 1 2 3

3. Для матриц А и В определить ( А + В )* А , если

4 -3 2 1 0 1

А 1 -1 1 В 2 7 1

2 -2 1 9 0 2

4.Вычислить определитель матрицы А , если

5 3 1

А 5 2 9

6 0 4

5. Вычислить определитель матрицы А , если

1 -3 4 -5

2 -6 8 -10

А 0 2 3 59

8 12 4 9

6. Решить систему уравнений, заданную расширенной матрицей, по правилу Крамера.

1 2 3 5

А -2 4 4 4

-3 1 1 -4

7. Решить систему уравнений по правилу Крамера.

X + 2 Х +3Х = 2

-2 Х + 4 Х +4Х = 2

3 Х - Х - Х = 2

8. Найти матрицу, обратную данной.

-1 2 2

А 2 -5 -3

-1 2 -2

9. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы.

Х + Х +2Х = -1

2Х - Х + 2Х = -4

4Х + Х +4Х = -2

10. Решить систему уравнений, представленную расширенной матрицей, методом Жордана-Гаусса.

-1 2 2 1

2 -1 2 3

-4 3 0 5

11. Решить с помощью обратной матрицы.

1 -1 1 5 4

2 3 1 *Х = 2 10

3 3 2 6 15

12. Найти ранг матрицы.

1. 5 4 3

2 -1 2 -1

5 3 8 1

13. Построить область решений задачи линейного программирования.

2Х + Х ≤ 8,

Х -3Х ≥6,

3Х +2Х ≥3,

-Х + 3Х ≤-5,

Х ≥0,j =1,2.

14. Найти оптимальное значение целевой функции

Z = 5Х -2Х → maх.

При ограничениях

Х - Х ≤ 1,

10 Х +Х ≤ 20,

Х +Х ≤8,

Х ≥0,j =1,2.

15. В суточный рацион включают два продукта питания П1 и П2, причем продукта П1 должно войти в дневной рацион не более 200 единиц. Стоимость единицы продукта П1 составляет 2 рубля, продукта П2 – 4 рубля. Содержание питательных веществ единице продукта и минимальные нормы потребления указанны в таблице.

Питательные вещества	Минимальная норма потребления	Содержание питательных веществ в единице продукта
А	120	0,2 │ 0,2
В	160	0,4 │ 0,2

Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

16. Используя графическое решение задачи линейного программирования, найти: дефицитные ограничения и номер дефицитного ограничения, увеличение которого приводит к наибольшему увеличению целевой функции.

Z = 5Х -2Х → maх.

При ограничениях

Х - Х ≤ 6,

4 Х +3Х ≤ 60,

Х + Х ≤18,

Х ≥0 , j =1,2.

17. Найти оптимальное значение целевой функции.

Z= 2Х +3Х –Х →max.

При ограничениях:

4Х – Х + 2Х ≤ 8,

- Х + Х + Х ≤ 1,

-2Х +3Х + Х ≤ 7,

Х ≥0, Х ≥0, Х ≥0.

18. Найти оптимальное решение задачи, двойственной данной.

Z= 2Х +3Х –Х →min.

При ограничениях:

Х + Х + 4Х + Х ≥ 2,

Х - Х + 3 Х ≥ -1,

Х ≥0 , j =1,4.

19. Выпуск продукции на трех заводах составляет 500, 700 и 600, причем затраты на производство единицы продукции составляют 9, 8 и 2 соответственно. Потребности четырех потребителей на эту продукцию составляют 350, 200, 450 и 100. Матрица С транспортных расходов на доставку единицы продукции с i-го завода j-ому потребителю:

2. 4 6 1

С 5 1 2 3

4 5 8 1

Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам при условии минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку.

20. Найти оптимальное значение целевой функции, при условии целочисленности переменных.

Max(3Х +3Х ).

4Х +5Х ≤ 20,

Х +6Х ≤ 12,

0≤ Х ≤5, 0≤ Х ≤4, Х –целые, j =1,2.

21. В таблице указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя заводами области в миллионах руб., при осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискретностью 50 миллионов руб., причем на один завод можно осуществить только одну инвестицию.

Инвестиции	Прирост выпуска продукции
	заводы
	1		2	3		4
50	25	30		36	28
100	60	70		64	56
150	100	90		95	110
200	140	122		130	142

Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.

22. Исследовать на выпуклость функцию

F(х , х )= 4х³ +10х² , х ≥0, х ≥0.

23.Найти экстремум функции

F(х , х )= х² +х х + х² -2х -3х .