§4. Давление жидкости на плоские стенки. Центр давления.

Выведем зависимость для определения силы гидростатического давления Р, действующей на плоскую стенку произвольного очертания (рис.4).

Силу давления на элементарную площадку dω, расположенную на глубинеh, можно записать в виде

Рис 4

.

Заменяя , гдеl- расстояние до поверхности жидкости вдоль плоскости стенки, получим:

. (4.1)

Суммарная сила давления определится интегралом, взятым по площади стенки

.

Интеграл - статический момент площади стенки относительно осих, которая представляет собой линию пересечения поверхности жидкости с плоскостью стенки. Этот момент можно представить какS=ωl_c, гдеl_c- координата центра тяжести. Тогда, учитывая, что , гдеh_c- глубина погружения центра тяжести, получим:

, (4.2)

или

, (4.3)

где p_c- давление в центре тяжести стенки.

Из выражения (4-2) видно, что сила избыточного гидростатического давления определяется вторым слагаемым

.

Определим теперь координату центра давления, т.е. точки приложения равнодействующей сил гидростатического давления. Для упрощения вывода примем, что на стенку действуют только силы избыточного давления, т.е., что p₀=0. Используя теорему механики о том, что момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих, можно написать:

. (4.4)

Учитывая (4.1) при p₀=0, преобразуем выражение (4.4):

,

где J_x- момент инерции площадиωотносительно осих. Из последнего уравнения имеем:

.

Подставляя сюда Pиз (4.2) (напомним,p₀=0), получим:

.

Так как , то окончательно имеем:

.

Из этой формулы видно, что l_Dвсегда большеl_C,т.е. центр давления лежит всегда глубже, чем центр тяжести. Второе слагаемое, имеющее размер длины, называется эксцентриситетом давления. Эксцентриситет давления уменьшается с увеличением глубины погружения площадки.

§5. Давление на цилиндрические поверхности. Закон Архимеда

Выделим на цилиндрической поверхности произвольный участок АВи найдем действующую на него силу гидростатического давления (рис.5)

Рис.5

На рассматриваемой поверхности возьмем элемент площади dω, кривизной которого можно пренебречь, и найдем действующую на него силу давления.

.

Разложим эту силу на вертикальную и горизонтальную составляющую.

,

,

но из рис.5 видно, что

,

.

Следовательно,

. (5.1)

Используя эти зависимости, найдем сначала горизонтальную составляющую силы гидростатического давления на цилиндрическую поверхность

.

Интегрирование производится по площади проекции цилиндрической поверхности АВна вертикальную плоскость, т.е. по площади -ω_в.

Второе слагаемое является статическим моментом площади ω_готносительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Его можно представить так:

,

где h_с- глубина погружения центра тяжести площадкиω_в. Тогда

. (5.2)

Определим теперь из (5.1) вертикальную составляющую силы давления

.

Здесь ω_г- проекция цилиндрической поверхности АВ на горизонтальную плоскость. Произведениеhdω_гво втором слагаемом представляет собой заштрихованный на рисунке элементарный объем, а значение интеграла равно всему объему, находящемуся над поверхностьюАВ(на рисунке он показан крупной штриховкой). Таким образом

. (5.3)

Полная сила Ргидростатического давления на цилиндрическую поверхность определяется составляющимиР_г (5.2) иР_в (5.3) по правилу параллелограмма:

.

Направление силы Ропределится угломα, причем

.

Для цилиндрической поверхности сила Рвсегда проходит через центр кривизны, так как все элементарные составляющие нормальны к поверхности стенки и проходят через ее центр тяжести.

При практическом определении вертикальной составляющей силы гидростатического давления необходимо знать общее правило, по которому находится объем тела давления. Объем тела давления ограничивается: цилиндрической поверхностью, двумя вертикальными плоскостями, проведенными из концов цилиндрической поверхности до свободной поверхности жидкости (рис.6-а) или ее продолжения (рис.6-б).

Из рисунка видно, что в первом случае объем тела давления находится внутри жидкости (действительное тело давления), а во втором - вне ее (фиктивное тело давления). Направления вертикальных составляющих оказываются противоположными, а величина их равна весу жидкости, находящейся в объеме тела давления.

Рис.6

Рассмотрим теперь погруженное тело произвольной формы (рис.7) и определим силы давления на него в проекциях на оси координат.

Рис 7

Горизонтальные составляющие силы давления Р_xбудут одинаковы с обеих сторон тела, поскольку проекция его боковой криволинейной поверхности на вертикальную плоскостьω_в, взятая справа и слева, будет одна и та же, Аналогично этому будут одинаковы и горизонтальные составляющиеР_yв направлении осиy. Значит, горизонтальные составляющие сил гидростатического давления взаимно уравновешиваются и не влияют на равновесие погруженного тела. Вертикальные же составляющие будут различны. Действительно, сила давления на нижнюю часть поверхности телаРz₁,т.е. на поверхностьАnВбудет направлена вверх и равна, гдеW₁- объем, ограниченный поверхностьюACDBn. Сила давления на верхнюю часть телаPz₂,т.е. на поверхностьAmBбудет направлена вниз и равна, гдеW₂- объем, ограниченный поверхностьюACDBm.Результирующая вертикальная составляющая силы давления будет равна их разности, т.е.

,

где W- объем тела.

Полученная формула выражает закон Архимеда, согласно которому на тело погруженное в жидкость, действует направленная вверх выталкивающая сила, равная весу жидкости, вытесненной этим телом.

Из закона Архимеда следует условие плавания тел. Если вес тела G>ρgW, то тело тонет; приG<ρgW- тело всплывает; когдаG=W, - тело находится во взвешенном состоянии.