
- •Часть 2
- •2009 Оглавление
- •Предисловие
- •Введение в теорию случайных процессов
- •2. Дискретные марковские цепи.
- •3. Корреляционная теория случайных процессов
- •4. Условные математические ожидания
- •5. Винеровский процесс и интегралы Ито
- •Решения.
- •2. Дискретные марковские цепи.
- •4. Условные математические ожидания
- •5. Винеровский процесс и интеграл Ито
- •Ответы (Дискретные марковские цепи)
4. Условные математические ожидания
1) Так как случайные величины IA и IВ – дискретные, то
Другое решение.
Определяемая
случайной величиной IB
-алгебра
FВ
состоит из 4 множеств: ,
,
В
и
.
Тогда
.
Так же
.
Очевидно, что
вообще для любой случайной величины
и
.
Наконец,
.
Таким образом,
если положить
,
то
F
.
12) Так как
– дискретная случайная величина с
распределением Р(
= а)=1,
то рассмотрим
,
где. Еслиb
= a,
то
,
и так какР(А)
= 1, то
.
Действительно,
вероятностные меры Р
и РА
совпадают,
потому что
для любого события С, так как
.
Другое решение:
Определяемую
случайной величиной
-алгебру
F
можно считать состоящей из двух множеств:
и .
Так как
и
,
то
F
.
13) Определяемая
случайной величиной
-алгебра
F
порождается событиями
и всеми борелевскими множествами,
принадлежащими [1/2;1], т.е.F
= {[0;1/2]
B;
B},
где B
(1/2; 1] – борелевское.
Если А
[0;1/2] =,
А
F
то
|
(1) |
Если А [0;1/2] = , А F, то
|
(2) |
Рассмотрим теперь
искомое условное математическое ожидание
.
Эта случайная величина должна бытьF
-измерима.
Докажем, что она
почти наверно постоянна на [0;1/2].
В самом деле, если a
и b
– два значения
на [0;1/2], то
должно пересекаться с [0;1/2]. Но ни одно
собственное подмножество [0;1/2] не
включается вF.
Следовательно,
.
Точно так же
.
Отсюда следует, чтоа
= =b,
т.е.
на [0;1/2] постоянна почти наверно.
Поэтому из (1) и (2) следует, что в качестве можно взять
|
(3) |
14) Рассмотрим
сначала структуру
-алгебры
F,
определяемой случайной величиной .
По определению эта
-алгебра
порождается множествами
,
гдеВ
– любое борелевское множество на
числовой прямой R.
Пусть у
В.
Тогда оба решения уравнения
принадлежат
,
т.е. это подмножество отрезка [0;1] должно
быть симметричным относительно центра
1/2. Но это значит что любое подмножество,
являющееся элементомF
будет симметричным относительно 1/2.
(См. рис.)
Возьмем теперь
любое А
F
. Пусть
.
Тогда
.
|
Сделаем в интеграле по А2 замену 1– и учтем, что при этом направление интегрирования меняется на противоположное. Тогда
.
Так как постоянная
функция
очевидно измерима относительноF,
то
.
Интуитивно этот
результат очевиден: он дает среднее
значение случайной величины
в двух симметричных относительно 1/2
точках:
и
.
15) Найдем последовательно маргинальную плотность р (y) и условную плотность р( | ) (y):
;
.
Отсюда получаем
.
5. Винеровский процесс и интеграл Ито
6.ж) Применим формулу Ито
|
(4) |
к функции
:
.
Отсюда получаем
.
6. е) По формуле Ито
(4)
.
Следовательно,
.
9) Решение аналогичного
обыкновенного дифференциального
уравнения подсказывает, что решение
стоит искать в виде:
.
Формула Ито (4), примененная к функции
,
дает:
.
Поставим полученное выражение в данное уравнение:
.
Остается решить обыкновенное дифференциальное уравнение
и получаем.
Ответы (Дискретные марковские цепи)
3)
;
.
8)
3/7 |
4/7 |
1/11 |
10/11 |
9)
.
11) Да. Да. Да, если
.
12)
,
.
14) да.
15) Да. Да.
16) Нет.
17)
|
Ø |
А |
В |
С |
АВ |
АС |
ВС |
АВС |
Ø |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
А |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
С |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
АВ |
1/3 |
1/3 |
1/6 |
0 |
1/6 |
0 |
0 |
0 |
АС |
2/9 |
4/9 |
0 |
1/9 |
0 |
2/9 |
0 |
0 |
ВС |
1/6 |
0 |
1/3 |
1/6 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
АВС |
0 |
0 |
0 |
4/9 |
0 |
2/9 |
2/9 |
1/9 |
18)
|
Ø |
А |
В |
С |
АВ |
АС |
ВС |
АВС |
Ø |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
А |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
В |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
С |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
АВ |
0 |
2/3 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
0 |
0 |
АС |
0 |
0 |
0 |
1/3 |
0 |
2/3 |
0 |
0 |
ВС |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
0 |
АВС |
1/9 |
2/9 |
1/18 |
1/9 |
1/9 |
2/9 |
1/18 |
1/9 |
20)
|
(0,0) |
(0,1) |
(1,0) |
(1,1) |
(0,0) |
q |
p |
0 |
0 |
(0,1) |
0 |
0 |
q |
p |
(1,0) |
q |
p |
0 |
0 |
(1,1) |
0 |
0 |
q |
p |
21)
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
p3 |
C32p2q |
C31pq2 |
q3 |
0 |
4 |
p4 |
C43p3q |
C41p2q2 |
C41pq3 |
q4 |
22) 2/9.
23)
,
,
.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
N |
N+1 |
N+2 |
… |
0 |
0 |
1/N |
1/N |
1/N |
… |
1/N |
0 |
0 |
… |
1 |
0 |
0 |
1/N |
1/N |
… |
1/N |
1/N |
0 |
… |
2 |
0 |
0 |
0 |
1/N |
… |
1/N |
1/N |
1/N |
… |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
1/N |
1/N |
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33) Да.
38)
а) (6/17,7/17,2/17,2/17)
б) (0,3;0,4;0,3)
в) (4/41,17/41,16/41,4/41)
е) (2/13,3/13,3/13,5/13)
ж) (3/22,16/33,1/22,1/3)
к) (2/13,3/13,3/13,5/13)
л) (3/11,2/11,4/11,2/11)
м) (9/71,8/71,12/71,18/71,24/71)
п) (3/11,2/11,4/11,2/11)
40) 0,5.
41) Вопрос В.
42) (0,42;0,52;0,06). Нет.
43) (1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6).
44) При второй.
45)
,
.
47) 1/6.
48) Нет.
49) Нет.
50)
,
.
52) Если случайные
величины
,
,
одинаково распределены, то цепь однородна.