4. Условные математические ожидания

Задачи

Выразить через условные вероятности событияА.

Показать, что для полной системы событий?

Если полная система событий состоит из 3 событий, то сколько событий в–алгебре, порожденной этой системой?

Если полная система событий состоит изп событий, то сколько событий в –алгебре, порожденной этой системой?

Опишите все события –алгебры F.

Пусть – случайный вектор. Опишите все события–алгебры F .

Пусть – случайная величина, принимающая только значения 1, 2 и 3. Опишите все события–алгебры F .

Пусть – полная система событий. Доказать, что если, то случайная величина постоянна на каждом событии этой системы.

Доказать, что как функцияА F при В F, Р(В)  0 будет вероятностной мерой на F.

Доказать, что .

Пусть случайная величина равномерно распределена на [-1; 1]. Тогда (по определению условного математического ожидания)является некоторой борелевской функциейот случайной величины. Нарисуйте график этой функции.

Если  = а = const п.н., то п.н..Доказать.

Найти , если = [0;1], Р – лебегова мера, ,.

Найти , если = [0;1], Р – лебегова мера, ,.

Найти , если известна плотность случайного вектора:ив противном случае.

5. Винеровский процесс и интегралы Ито

Задачи

Докажите, что, если винеровский процесс, тотакже винеровский процесс.

Докажите, что, если винеровский процесс, тотакже винеровский процесс.

Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса .

Вычислить стохастический дифференциал Ито для процесса.

Вычислить ; ; ; ; ; ; ;

Вычислить .

Составить дифференциальное стохастическое уравнение для .

Решить дифференциальное стохастическое уравнение.

Решить дифференциальное стохастическое уравнение ,.

Решить дифференциальное стохастическое уравнение, ,.

Решения.

2. Дискретные марковские цепи.

1. а)

;

б)

; с другой стороны,

;

в)

в силу равенства б).

2. . Покажем, что:

и .

3. P(;

аналогично для .

Рассмотрим два оставшихся выражения:

и

в силу задачи 1.

4. Пусть , , подпоследовательность последовательности , . Тогда

, где сумма берется по всем попущенным индексам от 0 до и используется задача 1.

5). Положим . Тогда

если использовать задачу №1.

6).

Повторяя этот прием, приходим к выражению

.

7). Положим . Тогда=

=

=, где сумма берется по всем пропущенным номерам от нуля до (n-1)m и используется задача №1.

8). Введем событие , состоящее в том, что случайные величинымогут принимать значения из множествав зависимости от значений случайных величин. Тогда

в силу того, что исходная цепь марковская.

Аналогично

,

, так же вычисляется

Следовательно, последовательность является цепью Маркова. Найдем матрицувероятностей перехода за 1 шаг:, тогда;

, а тогда .

Замечание. Запись , означает, что - либо, либо.

9). По аналогии с задачей №8 доказывается, что последовательность , образует марковскую цепь. Найдем условие однородности этой цепи:

, для однородной цепи это выражение не зависит от , поэтому,.

10.

в силу независимости случайной величины от случайных величин.

11. а) Да, ибо

в силу независимости случайных величин , . С другой стороны

по той же причине.

б) Да, ибо

в силу независимости случайных величин , . С другой стороны .

в) Да, если , нет – при. Действительно, при:

, но

где и аналогично, т.е..

С другой стороны,

в силу независимости случайных величин ,.

Если , то положим, например, .

Тогда

, но

.

12)

.

С другой стороны

, в силу независимости случайных величин , таким образом последовательность, образует марковскую цепь. Найдем матрицу P переходных вероятностей за 1 шаг:

,

и так далее.

13) Если , то.

Тогда

.

Так как по условию, то

и поэтому цепь марковская.

14) Если , то в моментдлина очереди равна, где

, то есть , где.

Тогда

в силу независимости случайных величин . Аналогично вычисляем.

15) а) , где либо, либои случайные величины, независимы. Тогдаи

в силу независимости случайных величин . Аналогично вычисляем.

б) , гдеравно либо 1, либо -1, и случайные величинынезависимы. Тогда

. Аналогично вычисляется

.

16) Если торавно либо, если в моментn рабочий продолжает проверку дефектного изделия, пришедшего ранее, либо , если в моментn или ранее он закончил проверку дефектного изделия. Тогда равно 0 или 1 соответственно, то есть зависит от предыстории процесса.

17) Состояния марковской цепи: Ø, А, В, С, АВ, АС, ВС, АВС. Найдем, например, вероятности этих состояний при условии АС. Тогда Р(Ø/АС)=2/3·1/3=2/9, ибо танки А и С уничтожили друг друга; Р(А/АС)=2/3·2/3=4/9, т.е. танк А попал, а танк С промахнулся; Р(С/АС)=1/3·1/3=1/9, т.е. А промахнулся, а С попал; Р(АС/АС)=1/3·2/3=2/9, т.е. оба промахнулись; Р(АВ/АС)=Р(В/АС)=Р(ВС/АС)=Р(АВС/АС)=0 очевидно. Цепь марковская, ибо переход из одного состояния в другое зависит только от того, какие танки остались на поле боя после предыдущего залпа.

18) Состояние марковской цепи те же, что и предыдущей задаче. Найдем, например, вероятности этих состояний при условии АС. Тогда Р(С/АС)=1/3, т.е. С попал в А, а А не стреляет в С; Р(АС/АС)=2/3, т.е. С не попал в А, и А не стреляет в С; все остальные вероятности при условии АС очевидно равны нулю.

19) Если случайные величины независимы, то, т.е. строки одинаковы. Пусть строки одинаковы, т.е.,. Тогда

и ,и далее по аналогии.

Следовательно, , т.е. случайные величинынезависимы.

20) в силу независимости случайных величин ; при этом при . С другой стороны

в силу независимости случайных величин ; при этом, еслии, то эта вероятность равна нулю.

21) Обозначим через число самолетов, оставшихся на утроn-го дня, ; очевидно, что,, принимает значения от 0 до 4. Цепь марковская, т.к. число самолетов на сегодняшний день зависит только от числа самолетов, оставшихся со вчерашнего дня. Из состояния 0 можно перейти только в состояние 1, из состояния 1 только в состояние 2, из состояния 2 только в состояние 3, из состояния 3 можно перейти в состояния 0,1,2,3 соответственно с вероятностямир³, С₃²р²q, С₃¹рq², q³. Аналогично определяются вероятности перехода из состояния 4. Так как состояние 4 несущественное, то для доказательства регулярности цепи надо взять матрицу 4×4, образованную первыми четырьмя строками и первыми четырьмя столбцами построенной матрицы. Уже ее четвертая степень дает матрицу, все элементы которой положительны, т.е. цепь регулярная.

22) Если испытуемый в первый раз нажал на кнопку, то на втором табло горела зеленая лампочка, а тогда там все время будет гореть зеленая лампочка. Поэтому искомая вероятность равна произведению вероятности того, что на первом табло зажжется зеленая лампочка, и вероятности того, что в третий раз загорится синяя лампочка, т.е. Р(З/З)·Р(С/З)=1/3·2/3=2/9.

23)

в силу независимости случайных величин ,, и аналогично

, т.е. цепь марковская. В силу того, что случайные величины ,, одинаково распределены, цепь будет однородной.

Так как , тои

. В силу независимости случайных величин имеем

Поэтому при

.

Тогда

.

Матрица Р строится, исходя из равенства: .

24) а) Если i несущественное состояние, то по определению существует состояние j, в которое с положительной вероятностью, но вернуться в состояние i можно только с нулевой вероятностью. Если j существенное, то из него с положительной вероятностью можно перейти в любое существенное состояние, и утверждение доказано. Если j несущественное, то опять найдется состояние k … и т.д. Так как цепь конечна, то обязательно на этом пути встретится существенное состояние, ибо иначе цепь вернется в какое – то несущественное состояние с положительной вероятностью, что противоречит определению.

б) От противного. Если из существенного состояния i перешли в несущественное состояние j с положительной вероятностью, то из j можно перейти в некоторое состояние k с положительной вероятностью, но вернуться назад можно только с нулевой вероятностью. Если k существенное, то k и i сообщаются и поэтому можно вернуться в состояние j с положительной вероятностью, что противоречит определению. Если же k несущественное, то найдется состояние m … и т.д. Так как цепь конечна, то приходим к противоречию.

25) От противного: пусть состояние j несущественное и возвратное. Если вероятность когда-нибудь вернуться в состояниеj, выйдя из него, то -вероятность никогда в него не вернуться, выйдя из него. По определению несущественного состояния существует целоеи состояниеi такое, что и для любого. Тогда, но для возвратного состояния, т.е. получили противоречие.

26) а) Пусть ,,. Тогда существуют,такие, чтои, откуда. Аналогично покажем, что существуеттакое, что. Следовательно,и, т.е.и.

б) От противного. Пусть ,и существуют,такие, что, т.е., и, т.е.. Так как, то существуют,такие, чтои. Тогда. Аналогично покажем, что существует такоеk, что . Следовательно,ипринадлежат одному классу, т.е.исовпадают.

в) Так как , то существуют,,, такие, что; аналогичновлечет существование,,, таких, что. Но,, т.е. существуеттакое, что. Тогда, т.е..

27) Состояние j возвратно, если , гдеи- вероятность первого попадания в состояниеj за n шагов, выйдя из него. Так как цепь состоит из существенных сообщающихся между собой состояний, то для доказательства возвратности можно выбрать любое состояние. Положим j=0. Тогда ,,,…,и т.д. Найдем

. Следовательно, тогда и только тогда, когда произведениесходится к нулю, критерием чего является сходимость рядаи условие,.

28) Так как состояние j невозвратное, то ряд сходящийся, т.е.. Очевидно, что

. Тогда

29) См. решение задач 25 и 28.

30) Так как , то изследует; если бы цепь была периодической с периодомd, то d/n и d/n+1, т.е. d=1, и получили противоречие (означает, что все элементы этой матрицы больше нуля).

Если цепь непериодическая и неразложимая, то имеет место эргодическая теорема Маркова для конечной цепи, т.е. существуют пределы для любых состоянийi и k. В силу конечности цепи найдется такое n, что для любых состоянийi и k.

31) Пусть

где ,, марковская цепь. Тогдаесть число возвращений в состояниеj, выйдя из него. Среднее число возвращений равно

, а эта сумма – в силу критерия возвратности состояния – либо конечна, либо нет для всех состояний неразложимой цепи.

32) Так как , то существует состояние j такое, что не стремится к нулю при. Если бы все состояния были невозвратными, то для любого состоянияi в силу задачи 28 при, т.е. получили противоречие.

33) Применить критерий возвратности, заметив что .

34) Пусть состояние i возвратное, но несущественное. Тогда существуют состояние j и n≥1 такие, что идля любогоk≥1. Обозначим через вероятность события «вернуться в состояниеi когда-нибудь, выйдя из него». Тогда это событие влечет событие А={цепь не попадает в состояние j, выйди из состояния i}, так как для всехk≥1. Тогда , что приводит к противоречию, ибодля возвратного состояния.

Пусть теперь состояние i существенно. Если состояние i не сообщается с другими состояниями, то для всехn≥1, т.е. i возвратное. Если состояние i сообщается с другими состояниями, то в силу задачи 32 одно из них возвратное, а следовательно все возвратные.

35) а) Если i несущественное состояние, то существует такое состояние j, что для любогоn≥1, т.е. .

б) Если i и j не сообщающиеся состояния, то либо , либодля любогоn≥1, т.е. либо , либо.

36) Так как стремится кпри, где, в силу эргодичности, тостремится к величинепри; при этомв силу эргодической теоремы.

37) Пусть вероятность, выйдя из состоянияi, вернуться в него впервые на n-м шаге, тогда вероятность когда-нибудь вернуться в состояниеi, выйдя из него. Если вероятность, выйдя из состоянияi, возвращаться в него, по крайней мере N раз, то по ФПВ

. Тогда - вероятность, выйдя из состоянияi, возвращаться в него бесконечное число раз, равна , т.е. равна 1, если(состояниеi возвратно), или равна 0, если (состояниеi невозвратно).

40) Ситуация описывается марковской цепью с двумя состояниями: 1 – новость сохраняет смысл, 2 – смысл новости меняется на противоположный, причем . Система уравнений для предельных вероятностей имеет вид:

41) Ситуация описывается марковской цепью с тремя состояниями: А, В, С. Матрица переходов за один шаг имеет вид . Так как Р²>0, то цепь регулярная, т.е. существуют предельные вероятности. Для их описания составляется система уравнений:

42) Предсказать погоду на следующий день можно по матрице P, а на два дня по матрице P(2)=P². Для решения вопроса об использовании монеты надо найти предельное распределение, которое существует, так как P>0, т.е. цепь регулярная, т.е. эргодическая.

43) Система образует цепь Маркова, так как вероятность попадание в данное состояние зависит – по определению – только от предшествующего состояния. Матрица переходных вероятностей P имеет вид:

Предельные вероятности находятся из системы

44) Рассмотрим марковскую цепь с двумя состояниями: (кн.1, кн. 2). Для первой тактики поведения матрица переходных вероятностей имеет вид

	Кн.1	Кн.2
Кн.1	2/3	1/3
Кн.2	1/4	3/4

так как в первой книге неверна треть всех номеров, а во второй – четверть всех номеров. В этом случае стационарное распределение имеет вид (3/7,4/7), т.е. первая книга выбирается с вероятностью 3/7, вторая – 4/7. Тогда средняя доля правильных звонков равна 2/3·3/7+3/4·4/7=5/7≈0,714.

Для второй тактики поведения матрица переходных вероятностей имеет вид

	Кн.1	Кн.2
Кн.1	8/9	1/9
Кн.2	1/16	5/16

так как вероятность перехода от первой книги ко второй равна (1/3)², а от второй к первой (1/4)². В этом случае стационарное распределение имеет вид (9/25,16/25). Тогда средняя доля правильных звонков равна 2/3·9/25+3/4·16/25=18/25=0,72.

45) , , , при , где, и число черных шаров в первой урне равноj. Если - предельное распределение, то

, ,

и т.д. Тогда ,,и т.д. Так как, тои,.

46) Для каждого шахматиста строим марковскую цепь с состояниями: выигрыш, ничья, проигрыш. Для шахматиста А матрица вероятностей перехода за один шаг имеет вид: , для шахматиста В она имеет вид:.

Предельное распределение для шахматиста А имеет вид , для шахматиста В. Таким образом, при большом числе партий доля выигрышей у В больше, чем у А, еслииилии. Если, то все одинаково.

47) Ситуация описывается марковской цепью, состояния которой цифры на той грани, на которой кубик лежит. Матрица переходных вероятностей за 1 шаг имеет вид:

.

Так как Р(2)=Р²>0, то цепь эргодическая и предельное распределение существует и находится как решение системы уравнений ,.

48) Покажем, что . Введем события

,

,

. Очевидно, что и. Тогдаи.

49) .

В силу теоремы Маркова для конечной цепи регулярность эквивалентна эргодичности цепи, а эта последняя эквивалентна для конечной цепи ее неразложимости и непериодичности. Эта цепь неразложима и периодическая с периодом d=2, т.е. не будет регулярной.

50) Марковская цепь представляет собой один класс существенных сообщающихся между собой состояний. Так как , то состояние 1 непериодическое, а поэтому все непериодические. Так как вероятность вернуться в состояние 1 впервые, выйдя из него на 1-м, 2-м, …,n-м шаге, равны соответственно ,,…,ипри, то, т.е. состояние 1 возвратно, а потому все возвратные. Цепь регулярная, так как Р(n)=Рⁿ>0, а следовательно эргодическая, и поэтому предельное распределение существует и находится из системы уравнений

51) Предположим, что все состояния несущественные. Если i несущественное состояние, то найдется состояние k, в которое можно перейти с положительной вероятностью, а назад вернуться нельзя. Так как k несущественное, то найдется состояние m и т.д. Но цепь конечная, а потому обязательно будет возврат в какое-то несущественное состояние с положительной вероятностью, что противоречит определению несущественного состояния.

52)

в силу независимости случайных величин ; аналогично считается.