ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.5. Диффузия носителей заряда в полупроводниках.

Таким образом, средняя скорость направленного движения свободных носителей заряда в кристалле, или скорость дрейфа, пропорциональна напряженности электрического поля. Коэффициент пропорциональности

носит название подвижности.

Подвижность свободных носителей является одной из самых важных характеристик полупроводника (см. табл. 2.1). Из формул ( 3.10) и (3.11) следует, что

Из формулы (3.11) следует, что единица измерения подвижности µ квадратный метр на вольт-секунду, м2/(В·с). Размерность указывает на физический смысл этой величины.

На основании определения дрейфа и формулы (3.11) можно записать для плотности дрейфового тока электронов, что

где n – концентрация свободных электронов.

Поскольку электроны и дырки несут разноименные заряды и дрейфуют под действием поля в разных направлениях, суммарная плотность дрейфового тока

3.5. Диффузияносителейзарядавполупроводниках.

Явление диффузии – от латинского diffusio (разлитие) – характерно не только для жидкостей и газов, но и для твердых тел.

Например, если на поверхность тщательно очищенной полупроводниковой пластины нанести слой вещества, содержащего примесь, то через некоторое время эту примесь можно обнаружить в глубине пластины. Примесь попадает в объем благодаря процессу диффузии. Диффузионное введение примесей в полупроводник широко используется при изготовлении полупроводниковых приборов.

Процесс диффузии есть прямое следствие хаотического теплового движения частиц. Понять, почему хаотическое тепловое движение приводит к направленному перемещению частиц из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией, очень важно.

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.5. Диффузия носителей заряда в полупроводниках.

Рассмотрим пример с каплей пролитого одеколона. Молекулы одеколона (рис. 3.2) хаотически двигаются во всех направлениях под ударами молекул воздуха. Мысленно выделим вокруг капли полусферу, через которую молекулы одеколона проходят беспрепятственно. Если бы концентрация молекул была одинакова по обе стороны мысленной перегородки, то поток молекул, направленный изнутри наружу, был бы в точности равен потоку снаружи внутрь.

В рассматриваемом примере дело обстоит не так: концентрация молекул одеколона над каплей велика и спадает по мере удаления от нее. Под влияием хаотического движения молекулы пересекают мысленную перегородку изнутри наружу и снаружи внутрь. Но внутри перегородки концентрация молекул выше, чем снаружи. Поэтому больше молекул пересечет перегородку изнутри, чем снаружи.

Рис. 3.2. Распределение молекул одеколона над каплей

Из примера ясно, что поток, вызванный диффузией, будет тем больше, чем резче меняется концентрация вблизи мысленно выделенной границы. Скорость изменения концентрации n с координатой x представляет собой частную производную от концентрации по координате ∂n / ∂x . Следовательно, диффузионный поток будет пропорционален ∂n / ∂x .

Рис. 3.2 поясняет знак минус перед правой частью выражения (3.14). Там, где производная ∂n / ∂x положительна, поток направлен против положительного направления оси х и наоборот.

Коэффициент пропорциональности D носит название коэффициента диффузии.

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.5. Диффузия носителей заряда в полупроводниках.

Определим его размерность. Поток носителей П численно равен числу носителей, пересекающих в единицу времени единичную площадь, |П| = 1/(м2·с). Размерность концентрации носителей |n| = м–3, а градиента концентраций |dn/dx| = м–4. Из этого следует, что коэффициент диффузии имеет размерность |D| = м2/с.

От чего зависит коэффициент диффузии?

Естественно, что коэффициент диффузии будет зависеть от длины свободного пробега молекул. Чем меньше длина свободного пробега l, тем медленнее будут диффундировать молекулы, тем меньше будет коэффициент диффузии D.

Естественно также, что коэффициент диффузии будет увеличиваться с ростом тепловой скорости движения молекул υT .

Также коэффициент диффузии зависит от времени между столкновениями τ0 . Но и сама величина τ0 выражается через l и υT , а

именно: τ0 = l /υT .

Вот, пожалуй, и все переменные, от которых зависит коэффицент диффузии.

Для того чтобы получить из них величину с размерностью |D| = м2/с, нужно перемножить l и υT :

Точный расчет дает следующее соотношение:

Применим наши рассуждения к рассмотрению процесса диффузии свободных носителей заряда в полупроводниках.

Представим себе, что в какой-то части полупроводника (для определенности – электронного) концентрация носителей оказалась больше, чем в соседних областях. Такая ситуация может возникнуть, например, если эта часть полупроводника нагрета или освещена. Благодаря процессу диффузии возникает направленный поток электронов из области с высокой концентрацией в область с низкой концентрацией. Но направленный поток заряженных носителей по определению представляет собой электрический ток. Плотность такого тока, называемого диффузионным, легко определить. Она равна плотности потока носителей, определяемой уравнением (3.14), умноженной на заряд электрона:

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.5. Диффузия носителей заряда в полупроводниках.

При вычислении плотности диффузионного тока следует помнить о заряде носителей, образующих ток. Если заряд отрицательный (электроны), то, хотя поток электронов будет направлен в сторону убывания концентрации, диффузионный ток будет направлен в противоположную сторону – в сторону возрастания концентрации. Для дырок диффузионный ток направлен в ту же сторону, что и поток дырок.

Чтобы вычислить диффузионный ток, необходимо знать коэффициенты диффузии электронов и дырок Dn и Dp.

Перепишем выражение (3.16) в виде

Вычислим значение тепловой скорости. Оно легко вычисляется из средней энергии теплового движения, равной 32 kT , и кинетической энергии

частицы, равной mυ2 / 2 . Приравняв эти величины, получим

T m

Подставив значение квадрата тепловой скорости в выражение (3.18), получим

Используя выражение для подвижности носителей заряда (3.10), получаем

Связь между коэффициентом диффузии и подвижностью наглядно отражает то обстоятельство, что процессу диффузии носителей заряда и направленному движению частиц под действием электрического поля мешает одно и то же: столкновения частиц, происходящие через среднее время τ0 , при средней тепловой скорости частиц υT .

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.5. Диффузия носителей заряда в полупроводниках.

Связь между коеффициентом диффузии и подвижностью установлена Альбертом Эйнштейном, и соотношение (3.21) носит его имя.

Для полупроводника, содержащего свободные электроны и дырки, плотность суммарного диффузионного тока

3.6.Плотностьполноготока.

Вбольшинстве полупроводниковых приборов величины токов обусловлены как дрейфовым, так и диффузионным перемещением свободных носителей заряда – электронов и дырок. Поэтому плотность полного тока с учетом (3.13) и (3.22) равна

3.7.Уравнениенепрерывности.

Вобщем случае движение носителей заряда в полупроводнике определяется не только процессами дрейфа и диффузии, но и изменением во времени концентрации неравновесных носителей заряда, обусловленной процессами генерации и рекомбинации. В любом случае все эти процессы во всем кристалле или в какой-то его части должны подчиняться фундаментальному закону физики – закону сохранения количества заряда:

где ρ – объемная плотность заряда.

Иначе говоря, изменение плотности объемного заряда в любом объеме

вединицу времени должно быть равно числу вытекающих из этого объема (или втекающих в этот объем) элементарных электрических зарядов.

Закон сохранения количества электричества для дырочного и электронного полупроводников с учетом указанных процессов записывается

ввиде следующих уравнений, называемых уравнениями непрерывности:

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.7. Уравнение непрерывности.

Здесь первые члены в правых частях характеризуют процесс рекомбинации частиц (p и n – неравновесные концентрации, p0 и n0 – равновесные концентрации (концентрации акцепторов и доноров), а τp и τn – времена жизни неравновесных носителей заряда); члены Gp и Gn характеризуют процессы генерации дырок и электронов под воздействием внешних факторов. Вторые слагаемые в правых частях запишем, использовав

(3.23):

Подставляя эти соотношения в (3.25) и ( 3.26), получаем уравнения непрерывности в общем виде:

Первый и последний члены в правых частях, как уже было сказано, характеризуют процесс рекомбинации и генерации частиц. Второй и третий члены – дрейфовое движение, а четвертый – диффузионное движение частиц.

Если левая часть уравнений отлична от нуля, то уравнения описывают динамические, зависящие от времени концентрации неравновесных носителей заряда. Эти выражения используются для анализа частотных и переходных характеристик полупроводниковых приборов.

Если левая часть уравнений равна нулю, то уравнения непрерывности описывают стационарные значения неравновесных носителей заряда. Эти выражения используются для расчета статических ВАХ полупроводниковых приборов.

Следует отметить, что дифференциальные уравнения второго порядка в частных производных, как правило, не имеют точного аналитического решения за исключением некоторых частных случаев и их решение

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.7. Уравнение непрерывности.

возможно только численными методами на ЭВМ. Например, если в полупроводнике отсутствует электрическое поле или его влиянием можно пренебречь, а также не происходит процесс генерации, то уравнения непрерывности преобразуются в уравнения диффузии:

Уравнения диффузии, как будет показано далее, играют важную роль в анализе работы полупроводниковых приборов.

3.8.Явлениявсильныхэлектрическихполях.

Вслабых электрических полях, когда скорость направленного движения мала по сравнению с тепловой, наличие или отсутствие электрического поля не сказывается на характере столкновений носителей

заряда с кристаллической решеткой. При этом подвижность µ является величиной постоянной, не зависящей от напряженности электрического поля Е. В формуле ( 3.12) произведение enµ представляет собой удельную

электропроводность σ и, соответственно, можно записать соотношение, известное как закон Ома в дифференциальной форме:

Плотность тока в любой точке пропорциональна напряженности электрического поля, что соответствует выполнению закона Ома.

В сильных электрических полях кинетическая энергия носителей, приобретаемая ими в электрическом поле, может сравниться и даже стать больше, чем энергия хаотического теплового движения. Частота и характер столкновений, испытываемых носителями, зависят от их энергии. Поэтому в сильных электрических полях коэффициент диффузии и подвижность зависят от напряженности поля.

3.9. Дрейфносителейзарядавсильныхэлектрическихполях.

Во всех практически используемых полупроводниках при комнатной температуре подвижность в сильных полях падает с ростом напряженности электрического поля Е. В очень сильных полях величина подвижности становится обратно пропорциональной напряженности поля:

ЛЕКЦИЯ 3. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ВЕРДЫХ ТЕЛ

3.9. Дрейф носителей заряда в сильных электрических полях.

μ~1/Е. В соо тветствии с выражением (3.11) это означает, что дрейфовая скорость носителей остается постоянной υ = const.

Зависимость дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля для основных полупроводников приведена на рис. 3.3.

Из рис. 3.3 следует, что для всех полупроводников существует величина напряженности электрического поля, называемого пороговым (Епор), когда скорость дрейфа электронов перестает зависеть от поля и характеристика υ = f (E) насыщается. Соответствующая пороговому полю

величина дрейфовой скорости называется скоростью насыщения υ s.

υ,

Рис. 3.3. Зависимость скорости дрейфа носителей заряда от напряженности электрического поля в

Ge (1), Si (2) и GaAs (3)

Для арсенида галлия зависимость дрейфовой скорости электронов от напряженности электрического поля носит сложный степенной характер и при напряженности электрического поля Епор ≈ 3,5 кВ/см дрейфовая скорость начинает резко спадать с ростом поля, а затем насыщается. Эта особенность арсенида галлия приводит к ряду таких важных эффектов, как, например, эффект Ганна.