ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

П л а н л е к ц и и

2.1. Введение.

2.2. Зонная теория твердого тела и статистика носителей заряда. 2.3. Обратная решетка.

2.4. Волновая механика свободных электронов.

2.5. Движение в пространстве с периодическим потенциалом. 2.6. Зоны Бриллюэна.

2.7. Плотность заполнения энергетических уровней в состоянии термодинамического равновесия.

2.8. Статистика носителей заряда в полупроводниках.

2.9. Зонная структура собственных и примесных полупроводников. 2.10. Зонная структура металлов и диэлектриков.

2.11. Генерация и рекомбинация носителей заряда в полупроводниках.

2.1. Введение.

Приведенный далее пример призван продемонстрировать принципиальную невозможность с позиций классической физики объяснить фундаментальные факты.

Размеры атома сегодня хорошо известны. Радиус среднего атома r ≈ 3 10–8 см. Положительно заряженое ядро держит отрицательно заряженный электрон с помощью силы кулоновского притяжения:

где е – заряд электрона и протона. Чтобы атом был устойчив, силы притяжения недостаточно (электрон упал бы на ядро). Нужны уравновешивающие силы отталкивания. Такой силой является центробежная:

где m – масса электрона, V – его скорость. Равенство сил позволяет определить скорость электрона на круговой орбите:

ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

2.1. Введение.

космическим масштабам скорость. Полная энергия электрона на орбите равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Знак минус означает, что за нуль энергии выбрана энергия электрона на бесконечном удалении от ядра.

Движущийся по орбите с ускорением электрон излучает энергию, при этом интенсивность излучения (эрг/с)

он растеряет всю свою энергию и упадет на ядро. Здесь τ – классическое время жизни электрона на орбите. Хотя оно значительно больше периода обращения электрона на орбите r/υ (так как C/υ значительно больше единицы), но все же чудовищно мало τ ≈ 10–10 c.

Это – лучшая демонстрация бессилия классической физики. Использование очевидных предпосылок, что невозможно существование стационарной структуры из заряженных частиц без движения и что частица, двигаясь с ускорением, излучает, приводит к тому, что атом существовать не может.

Чтобы ликвидировать это противоречие и была создана новая механика– квантовая. Квантовая механика (в отличие от классической – ньютоновской и релятивистской – эйнштейновской) создана не одним человеком, а целой плеядой замечательных физиков: Максом Планком, Нильсом Бором, Луи де Бройлем, Вернером Гейзенбергом, Эрвином Шредингером, Вольфгангом Паули, Полем Дираком, Энрико Ферми, Максом Борном. Именно квантовая механика позволяет объяснить закономерности поведения заряженных частиц внутри твердого тела.

2.2. Зоннаятеориятвердоготелаистатистиканосителейзаряда.

Одна из задач зонной теории твердого тела состоит в том, чтобы математически описать поведение заряженной частицы (например, электрона) в кристалле. Математическая модель при этом должна учитывать большинство эффектов, обусловленных влиянием кристаллической решетки.

ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

2.3.Обратная решетка.

2.3.Обратнаярешетка.

Важную роль для описания электронных свойств твердых тел играет понятие обратной решетки. На его основе можно решать задачи о распространении волн в кристаллах, а также дать определение энергетической зоны.

Обратная решетка – это упорядоченная совокупность точек, представляющая собой безразмерные значения волнового вектора,

Иногда ее называют решеткой в k пространстве или решеткой в пространстве волновых векторов.

Если некоторая плоская волна может быть описана выражением вида

то в общем случае при любом значении волнового вектора k период этой волны отличается от периода кристаллической решетки. Исключение составляют некоторые частные случаи, когда период волны совпадает с периодом кристаллической решетки. В таком случае говорят, что возникает обратная решетка с тем же законом периодичности, что и прямая решетка Бравэ.

2.4.Волноваямеханикасвободныхэлектронов.

В1924 г. по аналогии со световыми квантами Луи де Бройль высказал предположение, что любая частица (например электрон) должна обладать волновыми свойствами, и предложил формулу для определения длины волны, связанной с любой частицей (такую волну стали называть волной де Бройля):

где p – импульс частицы, h – постоянная Планка.

В 1926 г. Эрвин Шредингер вывел уравнение для описания волн де Бройля:

ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

2.4. Волновая механика свободных электронов.

где Ψ(x)– волновая функция электрона; E – кинетическая энергия

электрона; V(x) – потенциальная энергия электрона; m – масса электрона. Максом Борном был показан вероятностный характер волновой

функции Ψ (обычно ее называют амплитудой вероятности). Величина Ψ 2 dυ называется функцией плотности вероятности, физический смысл

которой заключается в том, что она определяет вероятность существования частицы, описываемой волновой функцией Ψ в объеме dυ. Другими словами, вероятность существования электрона в объеме dυ определяется квадратом амплитуды его волновой функции. Соответствующая плотность

заряда −е Ψ 2 , где е – заряд электрона.

Согласно волновой механике между импульсом частицы и волновым

Здесь – постоянная Планка, деленная на 2π.

Кинетическая энергия свободного электрона определяется выражением

где m – масса электрона в свободном пространстве.

2.5. Движениевпространствеспериодическимпотенциалом.

Первым применением квантовой механики к рассмотрению движения электронов в твердых телах стала теория электропроводности металлов Зоммерфельда. В модели, названной моделью потенциального ящика (рис.

всех остальных электронов, кроме данного, взаимно компенсируются везде, за исключением поверхности. У поверхности металла предполагалось существование поля, удерживающего электроны в объеме и затрудняющего выход электронов за его пределы.

ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

2.5. Движение в пространстве с периодическим потенциалом.

Ясно, что использованное в теории Зоммерфельда предположение, что электроны двигаются по металлу, не испытывая столкновений с атомами, является весьма грубым. Поэтому теория не дала объяснения существенному различию свойств металлов, диэлектриков и полупроводников.

Более правильный подход к рассмотрению движения электронов в твердом теле использован в модели Кронига – Пенни. В данной модели рассматривается движение электрона в пространстве периодически меняющегося потенциала, обусловленного положительными зарядами ядер, расположенными в узлах кристаллической решетки, и отрицательными зарядами электронов, окружающих эти положительные заряды.

Определим зависимость между энергией электрона и волновым вектором (или импульсом) в прямоугольном одномерном периодическом потенциале (рис. 2.2).

V(x)

V0

б

а

Рис. 2.2. Модель Кронига – Пенни

Уравнение Шредингера для этого случая запишем в виде

электрона.

Решения уравнения (2.13) являются функциями Блоха и имеют четкий физический смысл: это плоская волна с некоторым волновым числом k, промодулированная по амплитуде некоторой функцией U(x), также обладающая периодичностью решетки.

Подставляя уравнение (2.14) в ( 2.15) и решая его с учетом формы функции V(x), представленной на рис. 2.2, получаем зависимость между энергией Е и волновым вектором k, показанную на рис. 2.3.

ЛЕКЦИЯ 2. ЗОННАЯ ТЕОРИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА И СТАТИСТИКА НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

2.5. Движение в пространстве с периодическим потенциалом.

На графике рис. 2.3 в точках π/(a + b), где (a + b) соответствует

периоду потенциала Кронига – Пенни, появляются разрывы функции Е(k), т. е. возникают разрешенные и запрещенные энергетические зоны,

удовлетворяют условию брэгговского отражения для электронной волны, падающей перпендикулярно на дифракционную решетку с периодом (a +b) .

(k)

Рис. 2.3. Зависимость энергии E(k) электрона от волнового вектора k в потенциале Кронига – Пенни (сплошная линия). Пунктирной линией показана зависимость E(k)

для свободного электрона: 1 – разрешенная зона; 2 – запрещенная зона

Для сравнения на рис. 2.3 пунктирной линией показана функция Е(k) для свободного электрона в соответствии с выражением (2.12). Видно, что функция Е(k) для свободного электрона и электрона в периодическом потенциале подобны. Поведение свободного электрона соответствует частному случаю, если в функции Блоха (2.14) U(x) = const. Поэтому можно принять, что по аналогии с моментом импульса свободного электрона для электрона в периодическом потенциале (или в кристаллической решетке) существует некоторый момент, называемый моментом кристалла.