2.Динаміка матеріальної точки

2.3.4.Орбітальна швидкість

Орбітальна швидкість — це швидкість, яку повинен мати штучний супутник Землі на орбіті висотою h над поверхнею Землі.

Модуль орбітальної швидкості:

де h — висота над Землею; RЗ — радіус Землі; MЗ — маса Землі; G — гравітаційна стала.

Орбітальна швидкість напрямлена по дотичній до даної точки траєкторії, тобто перпендикулярно до радіуса орбіти

(рис. 45).

Рис. 45

2.4. Алгоритм розв’язання кількісних задач із фізики

1.Вивчити умову задачі і записати її згідно з прийнятою символікою.

2.Перевести всі дані задачі в СІ.

3.Зробити в разі необхідності рисунок до розв’язку­ задачі.

4.Використовуючи відомі закономірності та формули, розв’язати задачу в загальному вигляді, якщо це не ускладнює розв’язання.

55

Механіка

5. Установити чи перевірити одиниці певних величин:

наприклад, [m] = кг.

6.Розрахувати числові значення певної величини:

наприклад, {m} = 2000.

7.Записати відповідь і проаналізувати її реальність, відповідність умові задачі.

8.Відповідь записується згідно з умовами Держстан­ дарту: фізична величина виражається числом у межах­ від 0,1 до 1000, для чого використовуються часткові і кратні приставки:

наприклад, відповідь: m = 2 т.

2.5. Методичні рекомендації щодо розв’язання задач з динаміки

1.Зробити рисунок до задачі, вказавши всі діючі на тіло сили та вісь, уздовж якої рухається тіло. Вісь раціонально орієнтувати у напрямку прискорення тіла, що рухається.

2.Якщо при проектуванні фізичних величин на вибрану вісь виходить рівняння з двома невідомими, необхідно ввести другу вісь (перпендикулярно до першої) і проектувати величини також на неї.

2.6. Приклади розв’язання задач

Задача 1.

Автомобіль масою 5 т рушає з місця з прискоренням 0,6 м/c2. Знайти силу тяги, якщо коефіцієнт тертя стано-

вить 0,04.

56

2. Динаміка матеріальної точки

Згідно з другим законом Ньютона:

Розпишемо рівнодійну силу як геометричну суму сил,

які діють на тіло:

Fрів = Fтяги + Fтер + N +mg .

Виберемо вісь для проектування, яка збігатиметься з напрямом прискорення, і спроектуємо на вісь Ox ліву і праву частини виразу (2):

Розпишемо проекції на вісь Ox:

Fтяги x = Fтяги cos0°= Fтяги1= Fтяги ,

оскільки cos0° =1.

Fтер x = Fтер cos180°= Fтер (−1) = −Fтер ,

оскільки cos180° = −1.

mgx =mgcos90°=mg 0 =0, Nx = Ncos90°= N 0 =0 ,

оскільки cos90° =0.

axm = amcos0°= am.

57

Механіка

Підставимо значення проекцій у вираз (2):

Fтяги − Fтер =ma . Тобто Fтяги =ma + Fтер , де Fтер =µN .

При горизонтальному русі можна вважати, що N = mg, тобто Fтер =µmg .

Звідси

Fтяги =ma +µmg =m(a +µg) .

{Fтяги} =5 103 0,6+0,04 5 103 9,8 =5 103.

Відповідь: Fтяги =5 кН .

Задача 2.

Автомобіль масою 2 т проходить по випуклому мосту з радіусом кривини 40 м зі швидкістю 36 км/год. З якою силою автомобіль тисне на міст в його середині?

Розв’язання:

Вивчивши умову задачі, побудуємо рис. 47.

Рис. 47

58

2. Динаміка матеріальної точки

Оскільки міст випуклий, то траєкторія руху автомобіля криволінійна. Автомобіль рухається зі сталою швидкістю. Тому в задачі присутнє тільки доцентрове прискорення, напрямлене до центра кривини, тобто у верхній точці моста вертикально вниз. Зобразимо сили, що діють на автомобіль у верхній точці моста, ураховуючи, що прискорення співнапрямлено з рівнодійною силою. Отже, модуль сили тяжіння більший за модуль сили реакції опори.

Згідно з II законом Ньютона:

Розпишемо рівнодійну силу як геометричну суму сил, що діють на тіло:

Fрів = Fтяги + Fтер + N +mg .

Підставимо значення рівнодійної сили у вираз (1):

Виберемо вісь для проектування, що збігається з напрямом прискорення, і спроектуємо на вісь Ox ліву і праву частини виразу (2):

Розпишемо проекції на вісь Ox:

Fтяги x = Fтяги cos90°= Fтяги 0 =0 ,

оскільки cos90° =0.

Fтер x = Fтер cos90°= Fтер 0 =0,

Nx = Ncos180°= N(−1) = −N,

оскільки cos180° = −1.

mgx =mgcos0°=mg ,

оскільки cos0° =1.

aдоцm = aдоцmcos0°= aдоцm.

Підставимо значення проекцій у вираз (3): mg − N = aдоцm .

59

Механіка

Згідно із третім законом Ньютона P = N, отже,

= 2 103 7,3 = 15 103.

Відповідь: P = 15 кН.

Задача 3.

Хлопчик масою 50 кг гойдається на гойдалці з довжиною підвісу 4 м. З якою силою він тисне на сидіння при проходженні стану рівноваги зі швидкістю 6 м/с?

60

2. Динаміка матеріальної точки

Рис. 48

Застосуємо основне рівняння динаміки, щоб знайти N:

N + mg = maдоц , N −mg =maдоц ,

N = m(aдоц + g) , N = P , тоді

{P} = 50 364 + 9,8 = 940 .

Відповідь: P = 940 Н. Сила, з якою хлопчик тисне на сидіння в момент проходження стану рівноваги (вага тіла), дорів-

нює 940 Н.

Задача 4.

Маневровий тепловоз масою m1 тягне два вагони однакової маси (m2 = m3 ) з прискоренням a. Визначити силу тяги тепловоза і силу натягу зчеплень, якщо коефіцієнт опору руху дорівнює .

61

Механіка

Рис. 49

Оскільки N1 =m1g , N2 =m2g , N3 =m3g взаємно компен­ суються, то

Fтяги −µm1g −2µm2g = a(m1 +2m2 ) ,

Fтяги =(m1 +2m2 )(a +µg) .

Для знаходження T1 запишемо основне рівняння для

тепловоза в проекції на вісь Ox. Для нього T1 є зовнішньою силою. Тому:

Fтяги −T1 − Fтер1 = am1 ,

Fтер1 =µm1g , отже, T1 = Fтяги −m1 (a +µg).

Для знаходження T2 (T2 =T2′) запишемо основне рівняння динаміки для другого вагона в проекції на вісь Ox:

T2′− Fтер3 =m3a ,

Fтер3 =µm3g , отже, T2′ =m3a +µm3g,

або

T2′ =m3 (a +µg) .

62

2. Динаміка матеріальної точки

Відповідь:  Fтяги =(m1 +2m2 )(a +µg), T1 =2m2 (a +µg), T2 =m3 (a +µg) .

Задача 5.

На похилій площині завдовжки 5 м, заввишки 3 м розташовано вантаж масою 50 кг. Яку силу, направлену вздовж похилої площини, треба прикласти, щоб утримувати на ній цей вантаж? затягувати рівномірно вгору? затягувати з прискоренням 1 м/с2 ? Коефіцієнт тертя — 0,2.

Fутр + Fтер −mgsinα =0,

N −mgcosα =0,

Ox → Fутр =mgsinα − Fтер ,

Ox → N =mgcosα ,

Fтер =µmgcosα ,

Fутр =mgsinα −µ mgcosα ,

Fутр =mg(sinα −µ cosα) .

Розглянемо другий і третій випадки разом (рис. 50, в):

Fтяги + N +mg + Fтер = am .

63

Механіка

При рівномірному русі: a2 =0 ,

Ox: Fтяги 2 −µ mgcosα −mgsinα =0 , Fтяги 2 =mg(µcosα +sinα) .

При рівноприскореному русі: a3 ≠ 0 ,

Fтяги 3 −µ mgcosα −mgsinα = a3m ,

Fтяги 3 =m(a3 +µgcosα + gsinα) .

в

Рис. 50

Обчислення:

64

2. Динаміка матеріальної точки

Відповідь: для утримання тіла на похилій площині необхідно докласти силу 216 Н. Для рівномірного затягування вантажу вздовж похилої площини необхідно прикласти силу 372 Н. Для затягування з прискоренням — 422 Н.

Задача 6.

З якою максимальною швидкістю може їхати мотоцикл по горизонтальній площині, описуючи дугу радіусом 100 м, якщо коефіцієнт тертя гуми об ґрунт 0,4? Під яким кутом до горизонту нахилиться мотоцикл?

На тіло діють три сили: N, Fтер, mg. Уявімо мотоцикліста у вигляді прямої, що проходить через його центр тя-

жіння (т.  O′ ). Тоді

горизонтальному русі.

65

Механіка

Тоді µmg = v2 m, v = µgR — максимальна швидкість

R

мотоцикліста під час руху по дузі кола.

Мотоцикліст має нахилитись так, щоб напрям реакції

опори Q (Q = N + Fтер ) проходив через його центр ваги (O′) , в іншому випадку він перекидатиметься. Тому

N +mg + Fтер = aдоцm (рис. 51, б),

N + Fтер = Q , тоді Q +mg = aдоцm , або Q +mg = F .

66

Відповідь: vmax =20 мс , α =68° — кут нахилу мотоцикліста до горизонту.

Задача 7.

Брусок масою 400 г під дією вантажу масою 100 г проходить зі стану спокою 8 см за 2 с. Визначити коефіцієнт тертя.

Тіло I:

T1 +m1g + N1 + Fтер1 = am1 , Ox: T1 − Fтер1 = am1 .

Оскільки поверхня горизонтальна, то

Fтер1 =µN1 =µm1g .

Тоді T1 −µm1g =m1a.

Рис. 52

67

Механіка

Виразимо T1 :

T1 =m1a +µm1g .

Тіло II:

T2 =m2g = am2 , Oy: m2g −T2 =m2a .

Виразимо T2 :

T2 =m2g −m2a .

Оскільки T1 =T2, то m1a +µm1g =m2g −m2a ,

µm1g =m2g −m2a −m1a ,

µ = m2g −a(m1 +m2 ) . m1g

Прискорення визначимо з рівняння кінематики:

Відповідь: коефіцієнт тертя дорівнює µ =0,24.

68