1.Кінематика матеріальної точки

1.5.Криволінійний рух. Рівномірний рух по колу

Миттєва швидкість при криволінійному русі напрямлена по дотичній до траєкторії в кожній її точці (рис. 15, а).

Якщо тілу надати прискорення a , напрямленого під

кутом до його швидкості, то вектор прискорення буде мати дві складові: дотичне, або тангенціальне, прискорен-

ня aτ , напрямлене по дотичній до траєкторії (колінеарно вектору швидкості), і нормальне прискорення an , напрям-

лене перпендикулярно (нормально) до вектора швидкості

(рис. 15, б).

Рис. 15

Якщо розбити криволінійну траєкторію на достатньо маленькі відрізки, то кожний відрізок можна розглядати як дугу кола відповідного радіуса. Тоді нормальне прискорення an напрямлено до центра кола і тому називається доцентровим aд (рис. 16).

Рис. 16

25

Механіка

Тангенціальне прискорення aτ визначає зміну­ швидко-

сті за величиною.

Нормальне прискорення an визначає зміну швидкості

за напрямом.

Рух по колу є прикладом криволінійного руху. Рівномірний рух по колу характеризується кутовою

швидкістю ω,лінійноюшвидкістюv,періодомT,частотоюn.

Швидкість v напрямлена дотично до кола.

Лінійна швидкість дорівнює модулю миттєвої швид­ кості.

Під час руху матеріальної точки по колу модуль її миттєвої швидкості з часом не змінюється: v = const (vA = vB )

(рис. 17).

Лінійна швидкість дорівнює довжині дуги l, пройденої точкою за одиницю часу t:

Тангенціальне прискорення при рівномірному русі точки по колу дорівнює нулю:

ar = 0.

У кожній точці траєкторії доцентрове прискорення напрямлене вздовж радіуса до центра кола, а його модуль дорівнює (рис. 18):

26

1. Кінематика матеріальної точки

Кутова швидкість ω рівномірного руху по колу дорівнює­ куту повороту ∆ϕ радіуса R за одиницю часу:

1 радіан дорівнює центральному куту, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу (рис. 19):

ϕ =1 рад.

R

R

R

Рис. 19

Повний центральний кут:

ϕ0 = 2πRR =2πрад ,

2πрад =360°, 1 рад = 3602π° ≈57°32′ .

Період обертання T — це час, за який точка здійснює

один повний оберт по колу.

Частота обертання n — кількість повних обертів, здійснюваних точкою при рівномірному русі по колу за одиницю часу.

Зв’язок між періодом і частотою — зворотний:

27

Механіка

Секунда мінус першого ступеня (с−1 ) — це частота обер-

тання, при якій за одну секунду здійснюється один оберт. Лінійна швидкість визначається так:

v = 2TπR =2πRn.

Кутова швидкість ω визначається так:

ω= 2Tπ =2πn.

Зв’язок між лінійною та кутовою швидкостями­ :

v = ωR .

Кутове прискорення ε визначається відношенням зміни кутової швидкості за проміжок часу до тривалості цього проміжку:

При зростанні кутової швидкості обертальний рух називається прискореним, а при зменшенні — уповільненим.

1.6.Приклади розв’язання задач

Вдалий вибір системи відліку (СВ) спрощує розв’язання задач з кінематики.

Задача 1.

Ескалатор метро піднімає пасажира, що стоїть нерухомо на ньому, протягом 1 хв. По нерухомому ескалатору пасажир піднімається пішки протягом 3 хв. Скільки часу витратить пасажир на підйом пішки по ескалатору, який рухається?

28

Відповідь: t = 45 с.

Задача 2.

Рибалка плив за течією річки і, пропливаючи під мостом, згубив запасне весло. Через 1 год він помітив утрату і, повернувшись назад, знайшов весло на 6 км нижче від моста. Яка швидкість течії річки, якщо рибалка, рухаючись за і проти течії, докладав однакових зусиль?

Для того щоб визначити швидкість течії, переходимо в СВ «Земля». У цій СВ весло переміщується на 6 км за

29

Механіка

Відповідь: vтеч =3 км/год .

Задачі на сумісний рух тіл зручно розв’язувати в СВ, пов’я­за­ній­ з одним із рухомих тіл.

Задача 3.

Два брати вийшли в школу з певним часовим проміжком, причому другий вийшов пізніше, у той час як перший віддалився на 100 м по прямій дорозі. Швидкість першого брата 1 м/с, другого — 2 м/с. Разом із другим братом вискочив собака, який бігав від другого брата до першого і назад із швидкістю 5 м/с. Через який час другий брат дожене першого, і який шлях пробіг собака?

Шлях, пройдений за цей час собакою, дорівнює:

30

Відповідь: t = 100 с, l3 = 500 м.

Задача 4.

Поїзд їхав 2 год зі швидкістю 50 км/год, потім 0,5 год не рухався, потім їхав 1 год зі швидкістю 100 км/год. Побудуйте графіки залежності пройденого шляху та швидкості від часу.

Розв’язання:

Графік залежності шляху від часу — ламана, оскільки на кожному з етапів руху швидкість поїзда стала. Кожний відрізок ламаної можна побудувати за двома точками. Наприклад, за перші 2 год поїзд проїхав 100 км, тому, якщо вимірювати час у годинах, а відстань в кіломе-

трах, координати кінців відповідно-

Графіки l(t) і v(t) — ? го відрізка (0; 0) і (2; 100) (рис. 20).

Увесь час руху розіб’ємо на проміжки, протягом яких поїзд рухався рівномірно. На кожному такому проміжку графік залежності швидкості від часу є відрізком, паралельним осі t (рис. 21).

31

Механіка

Задача 5.

Автомобіль першу половину шляху рухався зі швидкістю 40 км/год, а другу — зі швидкістю 60 км/год. Яка середня швидкість на всьому шляху?

Оскільки рух є нерівномірним, застосуємо формулу середньої швидкості для двох ділянок шляху відповідно до

32

1. Кінематика матеріальної точки

Скорочуючи на l чисельник і знаменник, отримаємо:

Обчислення:

vсер = 2 40 60 км/год = 48 км/год . 60+ 40

Відповідь: vсер =48 км/год .

Задача 6.

Одне тіло вільно падає з висоти h1 =80  м. Одночасно з ним друге тіло кинуто вертикально вгору з висоти 20 м над Землею. Якою має бути початкова швидкість другого ті-

Для визначення початкової швидкості другого тіла­ зручно вибрати СВ, зв’язану з першим тілом. У цій СВ перше тіло нерухоме, а друге наближається з постійною

швидкістю v =v02, оскільки v01 =0 і прискорення обох тіл

однакове (g). За час (tпад ) переміщення другого тіла відносно першого складатиме:

S = h1 −h2 .

Тоді

S = vtпад = v02 tпад .

33

Механіка

Такі міркування правомірні, оскільки в класичній механіці час інваріантний у відношенні до вибору системи відліку, і якщо обидва тіла рухаються з однаковим прискоренням, то в СВ одного з тіл друге рухається без прискорення.

Задача 7.

З балкона, який розташований на висоті 25 м над поверхнею Землі, кинуто вгору м’яч зі швидкістю 20 м/с. Написати формулу залежності координати x від часу, вибравши за початок відліку Землю. Через який час м’яч упаде на Землю?

34

1. Кінематика матеріальної точки

Рис. 22

Під час приземлення x =0 , t =tрух ;

Підставивши значення, розв’яжемо рівняння:

5tрух2 −20tрух −25 =0, tрух2 −4tрух −5 =0 .

Корені рівняння можна знайти за теоремою Вієта: t1 =5, t2 = −1 (не підходить).

Відповідь: tрух =5 с .

Задача 8.

За графіком швидкості рівноприскореного прямолінійного руху побудувати графік прискорення ax = ax (t) і графік руху x = x(t), якщо x0 =0 (рис. 23, а):

Побудуємо графік прискорення (рис. 23, б).

Рівняння руху при рівноприскореному русі має вигляд:

35

оскільки x01 = 0 , v01x = 1м/с , a1x =2 м/с2 .

Кінцева координата на відрізку I є початковою на відрізку II:

x1 (1) =1+12 =2 м , x02 =2 м .

36