6.6 Использование правил введения и удаления и мт1

при установлении доказательств и выводов в теории L (на «5» баллов)

Правила введения и удаления логических операций и МТ1 позволяют упрощать построение доказательств и выводов по сравнению с непосредственным построением этих доказательств и выводов.

Пример. Докажем один из законов поглощения (формула (37) из 50-ти общезначимых формул)

|– ААВА

и связанные с этим законом правила вывода:

А |– ААВ

ААВ |– А.

Схема хода решения:

Доказательство в таблице.

1	А |– А	МТ1а
2	АВ |– А	УК1
3	ААВ |– А	УД(1,2)
4	|– ААВА	ВИ(3)
5	А |– ААВ	ВД1
6	|– АААВ	ВИ(5)
7	|– ААВА	ВЭ(4,6)

Другие аксиоматизации исчисления высказываний

Теория L не является единственной аксиоматической теорией исчисления высказываний. Известны многие другие аксиоматические теории, предложенные различными авторами:

а) теория Гильберта, б) Россера, в) Клини и другие (смотри Новиков Ф.А. Дискретная математика для программистов, стр.118). Они отличаются друг от друга, в основном, системой аксиом.

Теория L₁. Основные связки: V, .

Метаопределение: А  В=  А V В.

Схемы аксиом:

А1: А V А  А

А2: А  А V В

А3: А V В  В V А

А4: (В  С)  (А V В  А V С)

Правило вывода: МР.

Теория L₂. Основные связки: Λ, .

Метаопределение: А  В =  (А Λ  В).

Схемы аксиом:

А1: А  (А Λ А)

А2: (А Λ В)  А

А3: (А  В)  (  (В Λ С)   (С Λ А))

Правило вывода: МР.

Теория L₃ Основные связки: Λ, ., V

Схемы аксиом (аксиомы разбиты на четыре группы):

1.1. А(ВА)

1.2. (А (ВС))  ((АВ)  (АС))

2.1. АВА

2.2. АВВ

2.3. (АВ)  ((АС)  (АВС))

3.1. ААВ

3.2. ВАВ

3.3. (АС)  ((ВС)  (АВС))

4.1. (АВ) ( ВА)

4.2. АА

4.3. АА

Правило вывода: МР.