6.2. Формальное доказательство и формальный вывод

Определение. Формальным доказательством (в теории L) называется конечная последовательность формул В₁, В₂,.... ,B_k, причем каждая формула этой последовательности либо аксиома, либо получена по правилу МР из каких-либо двух предшествующих формул этой последовательности. Формальное доказательство является доказательством своей последней формулы B_k. Формула В называется формально доказуемой, или формальной теоремой (теории L), если она имеет формальное доказательство.

Утверждение «Формула В формально доказуема в теории L» будем обозначать ├ B, (условимся опускать индекс L и говорить вместо «формальное доказательство», «формально доказуема», «формальная теорема» — «доказательство», «доказуема», «теорема»).

Пример. Установить, что ├ АА, т.е. формула (АА) – теорема.

► Чтобы установить доказуемость формулы АА, надо, согласно определению, выписать конечную последовательность формул, заканчивающуюся формулой АА, причем в этой последовательности могут быть либо аксиомы, либо формулы, полученные из некоторых двух предшествующих формул этой последовательности по правилу МР. Понятно, что первые две формулы этой последовательности могут быть только аксиомами, причем одна из этих аксиом должна заканчиваться формулой АА. Можно АС2 закончить такой формулой, взяв в качестве формулы С формулу А.

1	(АВ)  ((А (ВС))  (АC))	AC2
2	(А(ВА))((А ((ВА) А))(АА))	AC2, заменим C на А, В на ВА
3	(А(ВА))	AC1
4	((А((ВА)А))  (АА))	MP(2,3)
5	(А((ВА)А))	AC1, заменим В на ВА
6	АА	MP(4,5)

Обобщим теперь понятие формального доказательства на случай вывода некоторой формулы В из других формул А₁, А₂,...., А_n называемых посылками (гипотезами).

Определение. Формальным выводом формулы В из посылок А₁, А₂,...., А_n называется конечная последовательность формул В₁, В₂,.... ,B_k, заканчивающаяся формулой В (B_k=В), причем каждая формула этой последовательности или одна из посылок А₁, А₂,...., А_n или аксиома, или формула, полученная из некоторых двух предшествующих формул этой последовательности по правилу МР. Если существует формальный вывод формулы В из формул А₁, А₂,...., А_n, то формула В называется формально выводимой из формул А₁, А₂,...., А_n и это обозначается так:

А1, а2,...., Аn ├ в.

Очевидно, что доказательство — частный случай формального вывода из пустого множества посылок. В дальнейшем вместо «формальный вывод», «формально выводима» будем говорить просто «вывод», «выводима».

Рассмотрим пример формального вывода

Пример. Установить, что ├C