4. Некоторые вспомогательные правила вывода

МТ5. Для любого конечного множества Г и для любых формул А, В, С справедливы правила введения и удаления (В –введения, У – удаления, К – конъюнкция, Д – дизъюнкция, И – импликация, О – отрицание, Э – эквиваленция):

	Введение	Обозна чение	Удаление	Обозна чение
	Если Г, А |– В, то Г |– АВ	ТД ВИ	А, АВ |– В	МР УИ
	А, В |– АВ	ВК	АВ |– А АВ |– В	УК1 УК2
	А |– АВ В |– АВ	ВД1 ВД2	Если Г, А |– С и Г, В |– С, то Г, АВ |– С	УД
	Если Г, А|– В и Г, А |– ¬В, то Г |– ¬А	ВО	¬¬А|– А	УДО
	АВ, ВА |– АВ	ВЭ	АВ |– АВ, АВ |– ВА	УЭ1 УЭ2

Эти правила вывода описывают широко используемые способы рассуждений. (Ранее рассмотрены аналогичные правила следования А₁, А₂,…, А_n |= В). Чтобы доказать предложение конъюнктивной структуры АВ, обычно доказывают по отдельности предложения А и В, а затем говорят «теорема доказана», тем самым получают переход от А и В к АВ, т.е. применяют правило ВК.

Предложения, имеющие структуру эквиваленции АВ, обычно выражают оборотами «А тогда и только тогда, когда В», «для того, чтобы А, необходимо и достаточно В», «если А, то В, и если В, то А». Доказательство таких предложений распадается на 2 части:

1. доказательство импликации АВ и

2. доказательство импликации ВА.

После чего заключают, что предложение доказано, т.е. доказана эквиваленция АВ.

6.5 Полнота, непротиворечивость и независимость аксиом исчисления высказываний

Для обоснования исчисления высказываний, как для любой аксиоматической теории, необходимо рассмотреть проблемы разрешимости и непротиворечивости.

Проблема разрешимости исчисления выказываний заключена в доказательстве существования алгоритма, который позволил бы для любой формулы исчисления высказываний определить ее доказуемость. Любая формула исчисления высказываний может быть представлена формулой алгебры высказываний. Эффективность процедуры разрешения показана таблицами истинности для различных наборов значений пропозициональных переменных.

Проблема непротиворечивости исчисления высказываний заключена в доказательстве невыводимости формулы и ее отрицания.

Следствие из МТ 4. Теория L непротиворечива.

Исчисление высказываний непротиворечиво, т. к. каждая формула, доказуемая в исчислении высказываний, является тождественно истинной формулой в алгебре высказываний и легко проверяется на таблицах истинности. Тогда отрицание формулы не является тождественно истинной формулой, что проверяется на таблицах истинности и при доказательстве в исчислении высказываний ведет к противоречию.

Аксиомы исчисления высказываний называются независимыми, если ни одну аксиому нельзя вывести из остальных аксиом в качестве теоремы.

Утверждение 1. Для каждой строки истинностной таблицы каждого из пяти логических операторов , , , ,  имеет место соответствующая выводимость.

Пример.

А	¬А	Выводимость
И	Л	А |– ¬¬А
Л	И	¬А |– ¬А

А	В	АВ	Выводимость		АВ	Выводимость
И	И	И	А, В |– АВ		И	А, В |– АВ
И	Л	Л	А,¬В |– ¬(АВ)		И	А, ¬В |– АВ
Л	И	Л	¬А, В |– ¬(АВ)		И	¬А, В |– АВ

Докажем, например, выводимость ¬А, В |– АВ:

1	¬А, В |– В	МТ1а
2	В |– АВ	ВД2
3	¬А, В |– АВ	МТ1б(1,2)

Утверждение 2. Для любой формулы, содержащей атомы Р₁, Р₂,…, Р_n , для каждой из 2ⁿ строк ее истинностной таблицы имеет место соответствующая выводимость.

Например, для формулы Р(QR) рассмотрим строку истинностной таблицы (P,Q,R)=(И,Л,Л).

Найдем значение формулы при данных значениях атомов: И(ЛЛ)=Л.

Можно доказать выводимость:

Р, ¬Q, ¬R |– ¬(Р(QR))

(в правой части стоит отрицание, т.к. формула принимает значение Л).

Определение. Логическое непротиворечивое исчисление называется полным относительно общезначимости, если в нем доказуема всякая общезначимая формула.

МТ6. Если = Е, то |– Е (если формула общезначима, то она доказуема).

Следствие. Теория L полна относительно общезначимости.

Из МТ4 и МТ6 следует:

|– Е тогда и только тогда, когда = Е для любой формулы Е.

Поэтому класс общезначимых формул алгебры высказываний совпадает с классом доказуемых формул теории L, т.е. теория L адекватна алгебре высказываний.

Определение. Формальная аксиоматическая теория называется разрешимой, если существует алгоритм, позволяющий за конечное число шагов относительно любой формулы языка этой теории установить, доказуема ли эта формула или нет.

Следствие из МТ4 и МТ6. Теория L разрешима.

Разрешающий алгоритм (был найден Постом в 1921г.) для теории L состоит в следующем.

1. Строим истинностную таблицу данной формулы Е (это всегда можно сделать за конечное число шагов).

2. Если столбец значений формулы Е состоит из одних И, то формула Е общезначима, и по МТ6 доказуема.

3. Если же указанный столбец содержит не только И, то формула Е необщезначима, а значит и недоказуема, так как если бы Е была доказуемой, то по МТ4 она была бы и общезначимой.