МАТ_ ЛОГИКА / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА_ЛК9_12_03_2012_Исчисление предикатов(основы_)

Исчисление предикатов

(только основные понятия)

Построение таблиц истинности для любой формулы не представляется возможным для проверки общезначимости формул в теории предикатов. Для исследования формул, содержащих кванторы, необходим аксиоматический метод. Рассмотрим формальную теорию – исчисление предикатов (ИП) первого порядка. Символами ИП служат символы логики предикатов: , ,, , , , (, ), x₁, x₂, ..., a₁, a₂, ..., Р, Q, ....

Аксиомами ИП являются аксиомы (1)-(13) исчисления высказываний

и аксиомы:

(14) хА(х)А(t) (закон универсальной конкретизации УК)

(15) А(t) хА(х) (закон экзистенционального обобщения ЭО)

Аксиомы (14), (15) называют аксиомами Бернайса. В них A(x) – произвольная формула, содержащая свободную переменную x, и t – терм, свободный для x в A(x), т.е. при подстановке этого терма вместо переменной х не произойдет связывания свободных переменных терма t.

Правилами вывода ИП являются:

1. Правило заключения (ПЗ) (или MP – modus ponens).

2. Правило навешивания квантора общности ("-правило или правило обобщения или генерализации Gen:)

(здесь А и В(х) - произвольные формулы, причем А не содержит переменной х свободно).

3. Правило навешивания квантора существования ($-правило).

(здесь А(х) и В - произвольные формулы, причем В не содержит переменной х свободно).

4. Правило удаления квантора существования (правило выбора или экзистенциональной конкретизации):

хА(х)А(t)

Формальные символы, формулы, система аксиом и правила вывода составляют исчисление предикатов.

Доказательство в ИП есть конечная последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома, либо получена из предыдущих членов последовательности по одному из правил вывода.

Формула А доказуема в ИП, если в нем существует доказательство, последней формулой которого является А.

Всякая аксиома есть доказуемая в ИП формула, длина доказательства которой равна 1.

Пусть Г и  - произвольные конечные совокупности формул ИП (возможно пустые) и А,В,С - произвольные формулы исчисления высказываний (ИВ).

Конечная последовательность формул ИП есть вывод из совокупности формул Г, если всякая формула последовательности либо принадлежит Г, либо доказуема, либо получена из предыдущих формул последовательности по одному из правил вывода.

Формула А выводима в ИП из совокупности формул Г, если в ИП существует вывод из совокупности Г, последней формулой которого является А. Заметим, что доказуемая формула выводима из любой (в том числе из пустой) совокупности формул.

Теоремы ИП – это все формулы, которые выводятся из аксиом, включая сами аксиомы, с помощью правил вывода.

Метатеорема о дедукции. Если существует вывод формулы В из множества гипотез Г и формулы А: Г, А |— В, и в этом выводе ни при каком применении правила Gen к формулам, зависящим от A, не связывается квантором никакая свободная переменная формулы А, то Г |— А  В.

Следствие 1. Если существует вывод Г,А|—В, и в этом выводе ни разу не применялось правило Gen к формулам, зависящим от А, то Г |— А  В.

Следствие 2. Если существует вывод Г, А |— В, где А — замкнутая формула, то Г |— А  В.

При исчислении предикатов возникают вопросы о непротиворечивости, разрешимости, о полноте.

Разрешимость: существует ли алгоритм, с помощью которого можно было бы определить, является ли заданная формула общезначимой? Черч доказал, что нет такого алгоритма. Если ограничиваться рассмотрением одноместных предикатных символов, то тогда задача разрешимости решается положительно (найден алгоритм).

Полнота ИП относительно класса общезначимых формул: является ли любая общезначимая формула теоремой? Гедель доказал, что исчисление предикатов есть полным.

Непротиворечивость: существует ли такая формула £, что├ £ и ├  £ есть теоремы? Если есть, то исчисление предикатов называют противоречивым, в противном случае оно называется непротиворечивым. ИП непротиворечиво, если ни для какой его формулы недоказуемы одновременно ни она сама, ни ее отрицание. Из непротиворечивости ИП следует, что любая теорема ИП является общезначимой формулой.

Правила вывода исчисления высказываний (введения и удаления операторов , ,, ) справедливы в ИП.

Пример формального вывода.

На области определения «люди» заданы высказывания:

1. Все старые члены конгресса — юристы.

2. Все женщины-юристы восхищаются каким-нибудь судьей.

3. Только судьи восхищаются судьями.

4. Все судьи восхищаются всеми судьями.

Что думает судья Джонс по поводу своей старой тещи, которая является членом конгресса? Ответ. Джонс восхищается своей тещей. Проверить, что это заключение логически следует из заданных посылок.

Пусть х — предметная переменная, которая принимает значения из области определения «люди», D - Джонс, Т – теща. Введем предикаты:

J(х)={х — судья};

L(x)={х — юрист};

С(х)={х — член конгресса};

W(x)={ x — женщина};

А(х, у)={х восхищается у}.

Формализуем посылки.

П1. х(О(х) С(х)  L(x)) Все старые члены конгресса — юристы.

П2. x(W(x)  L(x)  y(J(y)  А(х,у))) Все женщины-юристы восхищаются каким-нибудь судьей.

П3. xy(J(y)  A(x,y)  J(x)) Только судьи восхищаются судьями.

П4. x(J(x)  y(J(y)  А(х,у))) Все судьи восхищаются всеми судьями.

П5. J(D) Джонс – судья.

П6. W(T)  О(Т)  С(Т) старая теща, член конгресса.

Формализуем заключение.

A(D, Т) Джонс восхищается тещей

Формальный вывод.

1. x(O(x)  С(х)  L(x)) П1

2. x(W(x)  L(x)  y(J(y)  А(х, у))) П2

3. xy(J(y)  А(х, у)  J(х)) ПЗ

4. x(J(x)  y(J(y)  A(x, у))) П4

5. W(T)  O(T)  C(T) П5

6. J(D) П6

7. J(D)  y(J(y)  A(D,у)) УК (4) хB(х)B(D)

8. y(J(y)  A(D, y)) MP(6,7)

9. J(T)  A(D, T) УК (8) хB(х)B(T)

10. O(T)  C(T)  L(T) УК(1) хB(х)B(T)

11. O(T) С(T) удаление  (5) по АС5

12. L(T) МР (11,10)

13. W(T)  L(T)  у(J(у)  А(Т, у)) УК (2)

14. W(T) удаление  (5) по АС4

15. W(T)  L(T) введение  (12,14)

16. y(J(y) A(T,y)) МР(13,15)

17. J(a)  A(T, a) ЭК (16) хB(х)B(a)

18. J(a)  A(T, а)  J(T) УК(3)

19. J(T) MP(18, 17)

20. A(D, T) МР(9, 19)