Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

МАТ_ ЛОГИКА / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА_ЛК7+ЛК8_27_02_2012+05_03_2012_Теория предикатов первого порядка

.pdf
Скачиваний:
82
Добавлен:
06.06.2015
Размер:
1.13 Mб
Скачать

12.1. Понятие предиката

Существуют такие логические схемы рассуждений, которые не могут быть обоснованы в логике высказываний. Рассмотрим умозаключение: «Все люди

смертны (А). Сократ — человек (В). Следовательно, Сократ

смертен (С)».

Очевидно, что С следует из

А и , Воднако, логическое

следование

А, В╞ С

недоказуемо в логике высказываний. Причина заключается

во

внутренней

структуре высказываний.

 

 

 

 

Внутреннюю структуру

высказывания можно

разделить

на субъект и

предикат, где субъект есть подлежащее, а предикат определяет свойство субъекта

(рис. 12.1).

Рис. 12.1. Структура высказывания

Например, Сократ — это субъект, который обладает свойством быть человеком. Это свойство представляет собой одноместный , преди определенный на множестве людей: «__ есть человек». Обозначим его Р(х), где х

переменная, обозначающая так называемое«свободное место предиката». Подставляя на место переменнойх объекты из области определения предиката, получаем высказывания. Таким образом, одноместный предикат, определенный на некотором множестве объектов, задает свойство, которым эти объекты могут обладать или не обладать. При подстановке на свободное место предиката какоголибо объекта из его области определения предикат обращается в высказывание, истинное или ложное. Таким образом, предикат разбивает это множество на две области: области истинности и ложности.

ØОпределение 12.1. Одноместным предикатом Р),(х определенным на

множестве М, называется выражение, которое после подстановки в него вместо х предмета из области определенияМ обращается в высказывание.

Область

определения

предиката

называетсяпредметной

областью.

Элементы из области определения называются предметными постоянными

(предметами). Переменная,

от которой зависит предикат, называется

предметной переменной

 

Одноместные предикаты традиционно служат для формализации понятий.

Понятие представляет собой

единицу мышления. Абстрактное мышление

основывается на понятиях, отображающих действительность, поэтому абстрактное мышление называют понятийным. Понятия возникают как результат обобщения множества предметов по системе признаков, общей только для этих

выделенных предметов. Признак - это наличие

или отсутствие

свойства у

предмета, а также наличие или отсутствие

отношения между

предметами.

Понятие характеризуется своим содержанием и объемом. Содержание понятия -

это система признаков, на основе которой множество предметов обобщается в

 

понятии. Объем понятия - это множество предметов, обобщаемых и выделяемых

 

в понятии, т.е. множество предметов, которые характеризуются системой призна-

 

ков, составляющих

содержание

понятия. Например, понятие «рыба» можно

 

охарактеризовать как множество всех живых существ(объем понятия), которые

 

обладают признаками: живут в воде, плавают, имеют

жабры, плавники и хвост

 

(содержание

 

понятия).

Каждое

 

из

перечисленных

свойств

можно задат

одноместным предикатом, определенным на множествевсех живых существ:

 

V(x) — х живет в воде, Р(х) — х плавает, G(x) — х имеет жабры, L(x) — х имеет

 

плавники, R(x) — х

имеет

хвост. Таким

образом,

понятие

рыба

может

быть

 

описано выражением: V(x) Ù Р(х) Ù G(x) Ù L(x) Ù R(x). Область истинности этого

 

выражения

составляет объем понятия -

это все существующие рыбы. Между

 

объемом и содержанием понятия существует обратная зависимость: чем больше

 

объем, тем меньше содержание. Например, понятие «обитатели водных глубин»

 

можно определить как «множество всех существ, живущих в воде». Содержание

 

этого понятия описывается предикатом V(x) — х живет в воде. Добавив свойство

 

Р(х) — х плавает, мы увеличим содержание понятия, но уменьшим объем: будут

 

исключены моллюски, ракообразные и прочие обитатели водных глубин, которые

 

не плавают. Добавив новые свойства, мы еще более уменьшим объем понятия.

 

 

Двуместный предикат задает отношение между двумя объектами. Объекты

 

могут принадлежать одной и той, либоже разным областям

определения.

 

Например, предикат Р(х,

у): х > у, где х, у Î R, задает отношение «больше» на

 

множестве

действительных

чисел; подставив

в

него

значения, получим

 

высказывания, например:

 

 

 

5 > 2 = Т,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6,8 > 10 = F.

 

 

 

 

 

 

 

 

Если

в

предикат

Р(х, у): х > у подставить

значение у = 0, получим

 

одноместный предикат: х >

0, который

задает свойство действительных чисел

 

быть (или не быть) больше нуля и определяет понятие«положительные

 

действительные числа».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

На

место

переменной

в

 

предикат

можно

подставить,

фу

определенную на предметной области предиката и принимающую

значения

в

этой области. Например,

если в предикат Р(х, у) подставить на место х функцию

 

f(u, v) = и + v,

получим новый предикат: R(f(u, v), у): и + v > у, определяющий

 

отношение между суммой двух чисел и третьим числом.

 

 

 

 

 

 

Другой пример двуместного предиката: S(x, у): «х родился в у году»,

 

 

 

где х Î {люди}, у Î N. Предикат S(x, у) задает отношение на множестве людей и

 

множестве

целых

чисел. При

замене у

на

объект

из

области

определения,

 

например, у = 1814, получим одноместный предикат S(x, 1814), определяющий

 

свойство: «человек

х

родился

1814в

году». При

 

замене

обеих

переменных

 

получим высказывание, например, «Лермонтов родился в 1814 году».

 

 

 

 

Таким

 

образом,

двуместный

предикат

 

задает

 

некоторое

бинарное

отношение

на

заданных

множествах, причем

при

замене

одной

переменной

 

местность предиката понижается(двуместный предикат становится одноместным), а при замене обеих переменных на предметные постоянные он обращается в высказывание.

В общем случае n-местный предикат определяет n-местное отношение.

ØОпределение 12.2. N-местным предикатом, определенным на множествах M1, M2,..., Мп, называется выражение, которое обращается в высказывание

при замене каждой предметной переменной на элемент из ее области определения. Если все предметные переменные определены на одном и том же множестве, то предикат называется однородным.

vПримеры.

R(x, у, z, t): «x родился в у году в городеz, имеет образование t», хÎ {люди}, у Î N, z Î {города}, t Î {начальное, среднее, высшее}. R(x, у, z, t) — неоднородный четырехместный предикат. Однородный предикат: Q(x, у, z): «параллелепипед имеет высоту х, ширину у, длину z, где х,у, z Î R.

12.2. Формулы логики предикатов

12.2.1. Операции над предикатами

Предикат можно рассматривать как функцию, определенную на некотором множестве объектов и принимающую два значения, T или F. Поэтому над предикатами определены все булевы операции: Ø (отрицание), Ù (конъюнкция), Ú (дизъюнкция), Þ (импликация), º (эквивалентность), а также две новые операции

– операции навешивания кванторов: " - всеобщности и $ — существования.

Если Р(х) определяет некоторое свойство на множествеМ, то формула "хР(х) обозначает высказывание: «для всякого предметах Î М свойство Р(х) выполнено», или «все х обладают свойством Р(х)». Значение формулы |"xP(x)| = T

(истинно), если

свойство Р выполнено для

всех объектов изМ, и |"xP(x)| = F

(ложно), если

существует хотя бы один

элементх = a, а Î М, для которого

свойство Р не

выполнено, т.е. |Р(а)| = F. Например: если Р(х): х смертен, х Î

{люди}, то "хР(х) –

«все люди смертны» (значение формулы |"xP(x)| = Т); если

Р(х): х > 0, х Î R,

то "xP(x) - «все действительные числа положительны»

(|"хР(х)| = F).

Формула $хР(х) означает: «существует по крайней мере один предметх, обладающий свойством Р(x)», или: «некоторые х обладают свойством Р(х)». Значение формулы |$xР(х)| = T (истинно), если существует хотя бы один элемент х = а, а Î М, для которого свойство Р выполнено: |Р(а)| = Т; значение |$xP(x)| = F (ложно), если свойство Р не выполнено для всех объектов изМ. Например: если

Р(х): х > 0, х Î R, то $хР(х) – это высказывание: «некоторые действительные числа положительны», тогда |$хР(х)| - Т; если Р(х): х смертен, х Î {люди}, то $xØP(x) - «существуют бессмертные люди» (ложное высказывание).

Если М = {a1, а2, …, ап} — конечная область определения предиката Р(х), то формулы с кванторами могут быть выражены через конъюнкцию и дизъюнкцию:

"xP(x) = Р(a1) & Р(а2) &...& P(an), $хР(х) = Р{а1) Ú Р(а2) Ú...Ú Р(ап).

Таким образом, квантор всеобщности является обобщением конъюнкции, а

квантор существования — обобщением

дизъюнкции на

бесконечную область

определения.

 

 

 

 

 

Кванторы " и $ связаны друг с другом по принципу двойственности(по

законам де Моргана):

 

 

 

 

 

Ø"xP(x) º $хØР(x), Ø$xP(x) º "xØP(x).

 

 

 

Например, если Р(х): «х смертен», х

Î {люди}, то

формула Ø"хР(х)

обозначает высказывание: «не

все

люди

смертны», которое

эквивалентно

высказыванию «существуют

бессмертные

люди», т.е. $хØР(х),

а формула

Ø$хР(х) – «не существует смертных людей» эквивалентна

высказыванию «все

люди бессмертны», Т.Е. "x ØP(x).

 

 

 

 

12.2.2. Определение формулы

Основными символами языка логики предикатов являются:

·пропозициональные символы Ø и Þ,

·кванторы всеобщности " и существования $,

·вспомогательные символы: запятая , и скобки (, ),

·предметные переменные х1, х2, ..., хn, ...,

·предметные постоянные а1 , а2, ..., аn, ...,

·функциональные символы f11, f12, ..., fkj, ...,

·предикатные символы P11, P12, ..., Pkj, ....

Нижний индекс предикатного или функционального символа— это номер, который служит для различения одноименных символов с одинаковым числом аргументов, верхний индекс указывает число аргументов.

ØОпределение терма.

1.Каждая предметная переменная есть терм.

2.Каждая предметная постоянная есть терм.

3.Если fkj – функциональный символ и t1,.., tn — термы, то fkj(t1 ,..., tn) есть

терм.

4.Других термов нет.

ØОпределение формулы.

1.Pin(t1, ..., tn), где Pin – предикатный символ, t1, ..., tn — термы, есть

атомарная {элементарная) формула.

2.Если А и В– формулы их – предметная переменная, то формулами

являются (ØА), (А Þ В), ("хА), ($xA).

3.Других формул нет.

4.Выражения А & В, A Ú В, А º В определяются так же, как в исчислении

L.

ØОпределение 12.3. Формула, на которую распространяется действие квантора, называется областью действия квантора. Переменная, по которой навешивается квантор и попадающая в его область действия, называются связанной переменной. Переменная, лежащая вне области действия квантора, называются свободной переменной.

Формула, не содержащая свободных переменных, называется замкнутой. Замкнутые формулы являются высказываниями.

Область действия квантора ограничивается скобками, если она содержит более одного предиката.

vПримеры.

1.На рис. 12.2 приведены примеры формул логики предикатов и указаны свободные и связанные переменные.

Рис. 12.2. Свободные и связанные переменные

2.Пусть Q(x, у): « х родился в у году», х Î {люди}, у Î {годы}, тогда формула "x$yQ(x, у) обозначает высказывание: «Каждый человек родился в какомнибудь году», а формула $y"xQ(x, у) - высказывание: «Существует такой год, в котором родились все люди». Из этого примера видно, что разноименные кванторы в общем случае не перестановочны

Вформулах логики предикатов можно делать замену переменных(в общем случае — термов) при выполнении определенных условий, которые сводятся к тому, чтобы никакое свободное вхождение переменной не стало связанным в результате замены.

Ø

Определение

12.4.

Говорят,

что терм у

свободен для переменной

х в

 

формуле А(х),

если

никакое

свободное

вхождение в А(х) не лежит

в

 

области действия никакого квантора поz, где z – переменная, входящая в

 

терм у.

 

 

 

 

 

Всякий терм, не содержащий переменных, свободен для любой переменной в любой формуле. Всякий терм свободен длях в формулеА(х), если А(х) не

содержит свободных вхожденийх. Терм у свободен для любой переменной в формуле A, если никакая переменная терма у не является связанной переменной в формуле А.

vПримеры.

$х(х = 2у), x, y Î R. B этой формуле z свободно для у: $х(х = 2z). Терм f(x, z)

свободен для х в

формуле"уА(х, у) Þ В(х),

но

не свободен длях в

формуле

$z"уА(х, у)Þ В(х).

 

 

 

 

 

 

 

12.3. Интерпретация формул логики предикатов

 

 

Формулы

имеют

смысл

только

,

тогдакогда

имеется

какая-либо

интерпретация входящих в нее символов.

 

 

 

 

Ø

Определение 12.5.

Под интерпретацией

будем

понимать

систему,

 

состоящую

из

непустого

множестваD, называемого

областью

 

интерпретации, а также соответствия, ставящего каждой

предикатной

 

букве Pin

некоторое

отношение на областиD, каждой предметной

 

постоянной аi – некоторый элемент из областиD, каждой функциональной

 

букве fin – некоторую «n-местную операцию на области D (т.е. функцию Dn

Þ D).

При заданной интерпретации все предметные переменные пробегают все значения из области D, а логические связки имеют обычный логический смысл.

Для заданной интерпретации всякая замкнутая формула представляет собой

высказывание,

которое

истинно

или ложно, а формула

со

свободными

переменными

выражает

отношение

на областиD, которое может

быть

истинно

(выполнено) при одних значениях переменных и ложно(не выполнено) при других.

vПримеры.

1. В таблице 12.1. приведены три интерпретации одной и той же формулы.

Таблица 12.1.

 

Область

 

 

Интерпретация

 

Высказывание

 

 

 

интерпретации D

 

 

"х(Р(х) Þ Q(x))

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Множество

 

жи

Р(х):

х

-

ры,

Все

рыбы

живут

 

 

существ

 

 

Q(x): х живет в воде.

воде.

 

 

 

 

Множество

 

жи

Р(х):

х

-

челове,

Все люди смертны.

 

 

существ

 

 

Q(x): х смертен.

 

 

 

 

 

 

Множество

 

це

Р(х):

х

делится

на6,

Все

числа,

которые

 

 

 

делятся на 6,

делятся

 

 

чисел

 

 

Q(x): х делится на 3.

на 3.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Пусть дана

формула$x$yP(f(x, у), t). Предикат P(v, u) – двуместный,

переменные х, у

связанные, t

свободная

переменная. Зададим следующую

интерпретацию: область интерпретации D – множество действительных чисел R, t = 1, f(x, у) = х2 + у2, предикат Р(u, t): u = t. Тогда формула имеет вид:

 

$х$у(х2 + у2 = 1).

 

 

Она истинна, так как существуют такие х и у, которые удовлетворяют уравнению

окружности х2 + у2 = 1.

 

 

 

Если положить f(x, у) = х2 + у2, t = r2, то формула $x$у(х2

+ у2 = r2)

одноместный

предикат, область

истинности

которого–

множество

действительных

чисел, удовлетворяющих

уравнению

окружностих2 + у2 = r2 с

радиусом r.

ØОпределение 12.6. Интерпретация называетсямоделью для данного множества формул ,Гесли каждая формула из Г истинна в данной интерпретации.

ØОпределение 12.7. Формула называется выполнимой, если существует хотя бы одна интерпретация, на которой формула истинна.

ØОпределение 12.8. Формула называетсялогически общезначимой (ЛОЗ),

если она истинна на любой интерпретации для любых зна переменных.

Так же, как тавтологии, логически общезначимые формулы обозначаются:

А(х).

ØОпределение 12.9. Формула, которая ложна на любой интерпретации при любых значениях переменных, называется противоречием.

Логически общезначимые формулы являются выделенными формулами

логики предикатов.

Так как область определения предиката может быть бесконечной, то, очевидно, что построение таблицы истинности не может служить алгоритмом для определения логической общезначимости формул. Однако существуют другие способы, которые в частных случаях позволяют определить логическу общезначимость, выполнимость или эквивалентность формул. Можно строить таблицы истинности формул логики предикатов для частичных интерпретаций на ограниченных конечных областях. Например, возьмем область интерпретации, состоящую из двух произвольных элементов: D = {а, b}. Построим таблицу истинности формул: Е1 = $хР(х) и Е2 = "хР(х). Одноместный предикат на области определения из двух элементов может принимать одно из четырех значений, которые определяются таблицами истинности (табл. 12.2).

Таблица. 12.2

x

P1(.)

P2(.)

P3(.)

P4(.)

a

F

F

T

T

b

F

T

F

T

Формулы

Е1 и

Е2 будут

принимать

на

этих интерпретациях следующие

значения (табл. 12.3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица. 12.3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(.)

 

 

$xP(x)

 

 

"xP(x)

 

 

 

 

 

P1

 

 

 

F

 

 

F

 

 

 

 

 

P2

 

 

 

T

 

 

F

 

 

 

 

 

P3

 

 

 

T

 

 

F

 

 

 

 

 

P4

 

 

 

T

 

 

T

 

 

 

 

Построим

таблицы

истинности

на

 

области

интерпретации

из д

элементов D = {а, b} для следующих формул:

 

 

 

 

 

 

 

E1 ="yP(y) Þ $xQ(x), Е2 = "y(P(y) Þ $xQ(x)), E3 = "z$х(Р(у) Þ Q(x)).

из

Для

этих

формул существует16 интерпретаций,

так

как каждый

одноместных предикатов Р и

Q принимает

по4 значения в соответствии с

таблицей 12.2. Рассмотрим вычисление значений формул

на

интерпретацииР2,

 

Q1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Истинностные значения Е, Е , Е для восьми интерпретаций приведены в

1 2 3

таблице 12.4

Таблица 12.4

P(.)

 

Q(.)

 

E1

 

E2

 

E3

P1

 

Q1

 

T

 

T

 

T

P1

 

Q1

 

T

 

T

 

T

P1

 

Q1

 

T

 

T

 

T

P1

 

Q1

 

T

 

T

 

T

P2

 

Q2

 

T

 

F

 

F

P2

 

Q2

 

T

 

T

 

T

P2

 

Q2

 

T

 

T

 

T

P2

 

Q2

 

T

 

T

 

T

Из

таблицы видно, что

формула Е1 не

эквивалентна

формуламЕ2 и Е3 а

формулы Е2 и Е3 возможно, эквиваленты, - для окончательного решения нужно рассмотреть оставшиеся интерпретации.

12.4. Логически общезначимые формулы логики предикатов

12.4.1. Основные логически общезначимые формулы логики предикатов

 

 

Основные

логически

общезначимые

формулы

логики

предик

приведены в таблице 12.5.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица12.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общезначимые формулы и комментарий

 

 

 

 

 

п/п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

"хР(х) Þ Р(у)

правило универсальной конкретизации

 

 

 

2

 

Р(а) Þ $х(Р(х))

правило экзистенциального обобщения

 

 

 

3

 

Ø"xP(x) º $xØP(x)

 

 

 

правило де Моргана

 

 

4

 

Ø$хР(х) º "хØР(х)

 

 

 

правило де Моргана

 

 

5

 

"x(P(x) & Q(x)) º "xP(x) & "xQ(x) закон пронесения " через &

 

 

6

 

$х(Р(х) Ú Q(x)) º $хР(х) Ú $xQ(x)

закон пронесения $ через Ú

 

 

7

 

"xP(x) Ú "xQ(x) Þ "x(P(x) Ú Q(x))

закон пронесения " через Ú

 

Если все люди смертны, то смертен любой человек. Если кошка а - серая, то существуют серые кошки.
Не все кошки серые º Существуют не серые кошки.
Не существует серых кошек º Все кошки не серые.
Все кошки с усами и с хвостами º Каждая кошка имеет усы
и каждая кошка имеет хвост.

8

$х(Р(х) & Q(x)) Þ $хР(х) & $xQ(x) закон пронесения $ через &

9

"x(P(x) Þ Q(x)) Þ ("xP(x) Þ "xQ(x))

закон пронесения " через Þ

10

($хР(х) Þ $хQ(x)) Þ $х(Р(х) Þ Q(x))

закон пронесения $ через Þ

11

"x(P(x) º Q(x)) Þ ("xP(x) º "xQ(x))

закон пронесения" через º

12

"x(P(x) & B) º "xP(x) & B

 

B не содержит вхождений x

13

"x(P(x) Ú B) º "xP(x) Ú B

 

B не содержит вхождений x

14

$x(P(x) & B) º $xP(x) & B

 

B не содержит вхождений x

15

$x(P(x) Ú B) º $xP(x) Ú B

 

B не содержит вхождений x

16

"x(P(x) Þ B) º ($xP(x) Þ B)

B не содержит вхождений x

17

$x(P(x) Þ B) º ("xP(x) Þ B)

B не содержит вхождений x

18

"x"yP(x, y) º "y"xP(x, y)

закон перестановки кванторов "

19

"x"yP(x, y) Þ "xP(x, x)

 

 

20

$x$yP(x, y) º $y$xP(x, y)

закон перестановки кванторов $

21

$xP(x, x) Þ $x$yP(x, y)

 

 

22

$y"xP(x, y) Þ "x$yP(x, y)

закон перестановки кванторов $ и "

23

"xP(x) Þ $xP(x)

 

 

24

("xP(x) Þ $xQ(x)) º $x(P(x) Þ Q(x))

 

25

($xP(x) Þ "xQ(x)) Þ "x(P(x) Þ Q(x))

 

26

"xP(x) º "yP(y)

если y свободно для х в P(x)

27

$xP(x) º $yP(y)

если y свободно для х в P(x)

Каждая логически общезначимая формула выражает некоторое истинное

высказывание

относительно

свойств

объектов. Например, логически

общезначимая

формула $х(Р(х) & Q(x)) Þ $хР(х) & $xQ(x) (67) выражает тот

факт, что если некоторые объекты обладают сразу двумя свойствамиР и Q, то

существуют

объекты, обладающие

свойством Р, и

объекты,

обладающие

свойством Q.

Так, если существуют юристы-жулики, то существуют люди,

которые являются юристами, и существуют

жулики.

Очевидно,

что обратная

импликация $хР(х) & $xQ(x) Þ $х(Р(х) & Q(x)) будет истинна далеко не всегда: из того, что существуют юристы и существуют жулики, еще не следует, что существуют юристы-жулики, - эти два множества могут не пересекаться.

Ниже приводятся интерпретации некоторых логически общезначимых формул.

"хР(х) Þ Р(у)

Р(а) Þ $х(Р(х))

Ø"xP(x) º $xØP(x)

Ø$хР(х) º "хØР(х)

"x(P(x) & Q(x)) º º "xP(x) & "xQ(x)

$х(Р(х) Ú Q(x)) º

Некоторые кошки белые или

º $хР(х) Ú $xQ(x)

черные º Существует хотя бы

 

одна белая кошка или существует

"x(P(x) Þ Q(x)) Þ

хотя бы одна черная кошка.

Если все сторожевые собаки злы,

Þ("xP(x) Þ "xQ(x))

то если все собаки – сторожевые,

($хР(х) Þ $хQ(x)) Þ

то все они злы. Обратное не всегда верно

Если из того, что существуют собаки,

Þ$х(Р(х) Þ Q(x))

следует, что существуют лающие существа,

 

то существуют такие собаки, которые

 

лают. Обратное не всегда верно

12.4.2. Проверка общезначимости формул логики предикатов

Проверка логической общезначимости формул может быть осуществлена сведением к противоречию, т.е. методом редукции. Предполагаем, что существует такая интерпретация формулы Е, на которой она принимает ложное значение, т.е. |E*| = F, и пробуем найти такую интерпретацию. Если в результате получаем противоречие, это означает, что таких интерпретаций не существует, и, следовательно, формула логически общезначима.

vПримеры.

1. Рассмотрим формулу "x(A(x) Ú B) º "xA(x) Ú В, где В не зависит отх. Предположим, что существует такая интерпретация, на которой ложна импликация: |"x(A*(x) Ú В*) Þ "хА*(х) Ú В*| = F. Это возможно, если |"x(A*(x) Ú В*)| = Т, a |"xA*(x) Ú В*| = F. Из последнего равенства следует, что |В*| = F и |"x(A*(x))| = F. Если |"x(A*(x))| = F, то существует хотя бы одно значениех = а, такое, что |A*(a)| = F Формула |"x(A*(x) Ú В*)| = T. Но в области интерпретации данной формулы существует значениех = I, для которого |A*(a)| = F и |B*| = F. Возможно, что существует другое значение х = b, для которого |A*(b)| = T. Тогда

|"x(A*(x))| =

"ìíA * (a) Ú B* = F Ú F = F üý = F, что противоречит предложению

îA * (b) Ú B* = T Ú F = Tþ

|(A*(x)ÚB*)| = T

Проверим выполнение другой импликации. Предположим, что

"xA*(x)ÚB*Þ "x(A*(x)ÚB*)| = F.

Тогда |"x(A*(x)ÚB*)| = F, и |"xA*(x)ÚB*| = Т. Из |"x(A*(x)ÚB*)| = F следует,

что существует такое х = а, что |A*(a)ÚB*| = F Отсюда следует, что |A*(a)| = F, |B*|

=F. Следовательно, в области определения предиката А(х) существует значение х

=а, при котором предикат|A*(a)| = F значит, |"xA*(x)| = F. Тогда формула |"xA*(x)ÚF| = F, что противоречит предположению. Следовательно, формула "x(A(x)ÚB) º "xA(x)ÚB логически общезначима.

2. Докажем, что формула ("xP(x)Þ"xQ(x))Þ"x(P(x)ÞQ(x)) не является логически общезначимой. Предположим, что на некоторой интерпретации

|("xP*(x)Þ"xQ*(x))Þ Þ"x(P*(x) ÞQ*(x))| = F. Тогда |("xP*(x)Þ"xQ*(x))| = T и