Элементы математической логики Лекция 2. Истинностные функции логики высказываний

Истинностные значения и истинностные таблицы формул логики высказываний

Отношение равносильности формул

Истинностные функции

Совершенные нормальные формы истинностных функций

Полные системы истинностных функций

Классификация формул логики высказываний

Формулы логики высказываний

Аналогично тому, как с помощью арифметических операций образуются сложные алгебраические выражения, так с помощью логических операций образуются составные высказывания.

Для конструирования составных высказываний используется язык логики высказываний, более бедный, чем любой из разговорных языков, но с правилами, не допускающими исключений и неоднозначного толкования.

Основные символы языка логики высказываний:

1. Пропозициональные переменные А, В, С,...,А₁, В₁,..., С₅,... – буквы латинского алфавита (атомы), которые используются для простых высказываний.

2. Логические связки , , , , .

3. Круглые скобки ( ).

Логические переменные называют пропозициональными. Сокращенная запись формулы, при которой часть формулы обозначается другой буквой, называется пропоциональной формулой.

Определение формулы логики высказываний (пропозициональной формулы )

1. Любая пропозициональная переменная является пропозициональной формулой .

2. Если А - пропозициональная формула, то (АВ), (АВ), (АВ), (АВ), (¬А) также является пропозициональной формулой.

3. Других формул, кроме как полученных из п.1-2, нет.

Пример: САВ - пропозициональная формула; АВ - не является пропозициональной формулой.

Пример. Возьмем выражение (АВ)  (СА). Покажем, что оно является формулой алгебры высказываний.

Доказательство: А,В,С – логические переменные, которые являются формулами алгебры высказываний (из 1 пункта определения); (АВ) и (СА) тоже являются формулами по 2 пункту определения.

(АВ)  (СА) тоже является формулами алгебры высказываний по 2 пункту определения. Обозначим АВ =, СА = получим  которая является пропозициональной формулой.

Примеры формализации высказываний естественного языка с помощью формул алгебры высказываний.

1. Если число 96 делится на 6, то оно делится на 3.

Обозначим через А высказывание: «96делится на 6», а через В – «96 делится на 3».

Тогда сложное высказывание запишем так: А В.

2. Число 25 делится на 5, но не делится на 3. Обозначим через А высказывание:

«25 делится на 5», а через В – «25 делится на 3». Тогда запишем так: А¬В.

Истинностные значения и истинностные таблицы формул логики высказываний

Пусть формула А содержит п атомов P₁, ..., Р_п. Так как каждый атом может принимать одно из двух возможных истинностных значений И или Л, то различных возможных наборов значений п атомов P₁, ..., Р_п имеется 2ⁿ.

Определение. Назовем интерпретацией формулы А логики высказываний всякий набор истинностных значений атомов, входящих в формулу А.

Данная формула в конкретной интерпретации сама принимает одно из истинностных значений И или JI, которое определяется при выполнении в требуемом порядке всех предписываемых формулой логических операций. Пусть, например, необходимо вычислить истинностное значение формулы (¬PQR)SQ при наборе {Р, Q, R, S}= {И, И, Л, И}. Вычисления можно оформить так, что результат выполнения операции подписывается под соответствующим оператором:

(	¬	P		Q		R	)		S		Q
		И		И		Л			И		И
	Л
					И
			Л
										И
								И

Чтобы найти истинностные значения формулы во всех возможных интерпретациях, строят таблицы истинности. Для примера рассмотрим формулу ¬PQ R (PR).

	1	2	3	4	5	6	7	8
	Р	Q	R	¬Р	¬PQ	¬PQ R	Р  R	¬PQ R (PR)
1	и	и	и	л	л	и	и	и
2	и	и	л	л	л	л	л	и
3	и	л	и	л	л	и	и	и
4	и	л	л	л	л	л	л	и
5	л	и	и	и	и	и	л	л
6	л	и	л	и	и	и	и	и
7	л	л	и	и	л	и	л	л
8	л	л	л	и	л	л	и	и

Чтобы безошибочно выписать все интерпретации формулы, поступаем следующим образом: определяем различные атомы, входящие в формулу. Пусть число этих атомов п. Тогда существует 2^п различных интерпретаций.

В таблицу для первого атома выписываем по стро­кам сначала 2^п /2=2^п-1 И, затем 2^п-1 Л, для второго— чередуем 2^п-1/2 = 2^п-2 значений И и Л и т.д., для п-гo атома чередуем И и Л по одному.

Определение. Таблица, содержащая всевозможные интерпретации формулы и соответствующие этим интерпретациям значения формулы, называется истинностной таблицей формулы.

Например, совокупность столбцов 1, 2, 3, 8 есть истинностная таблица формулы ¬PQ R (PR), а совокупность столбцов 1, 2, 3, 6 — истинностная таблица формулы ¬PQ R.

Всякая формула характеризуется своей истинностной таблицей. Одна и та же таблица может отвечать различным формулам.