1. Выбираем все те наборы значений атомов p1, ..., Рп, при которых истинностная функция имеет значение л.
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
2. Для каждого из этих наборов составляем дизъюнкцию из атомов P1, ..., Рп или их отрицаний, такую, что при данном наборе она принимает значение Л.
¬P1P2Pз.
P1¬P2Pз.
P1P2¬Pз.
P1P2Pз.
Дизъюнкции, содержащие все п атомов P1, ..., Рп (с отрицаниями или без них), называются элементарными дизъюнкциями (длины п).
3. Составляем конъюнкцию выписанных элементарных дизъюнкций.
(¬P1P2Pз)(P1¬P2Pз)(P1P2¬Pз)(P1P2Pз).
Определение. Конъюнкция, составленная из элементарных дизъюнкций, называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ).
Составленная СКНФ выражает ту же истинностную функцию, что и истинностная таблица.
Теорема. Всякая истинностная функция, не равная тождественно Л, может быть представлена в СДНФ. Всякая истинностная функция, не равная тождественно И, может быть представлена в СКНФ.
Полные системы истинностных функций
Из теоремы следует, что для выражения любой истинностной функции достаточно трех логических операций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
Определение. Система истинностных функций называется полной, если с помощью функций этой системы можно выразить любую истинностную функцию.
Система {, . } — полная, что следует из предыдущей теоремы.
Существуют и более “бедные” функциями системы, являющиеся полными. Теорема. Системы истинностных функций
{, }, {, }, {, }– полные.
□ Для доказательства полноты системы {, } достаточно, исходя из полноты системы {, . } выразить дизъюнкцию через отрицание и конъюнкцию. Но это имеет место в силу равносильности
АВ≡ (АВ). (1)
Полнота системы {, } следует из равносильности
АВ≡ (АВ). (2)
Полнота системы {, } следует из равносильности
АВ ≡ АВ. (3)
Равносильности (1), (2), (3) можно доказать, например, составлением истинностных таблиц. ■
Среди указанных в таблице двухместных истинностных функций имеются и такие, которые в единственном числе образуют полную систему истинностных функций.
Например,
функции штрих
Шеффера (отрицание
конъюнкции или дизъюнкция отрицаний
)
и стрелка
Пирса (отрицание
дизъюнкции или конъюнкция отрицаний
):
А |
В |
А| В |
|
А |
В |
АВ |
И |
И |
Л |
|
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
|
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
|
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
|
Л |
Л |
И |
Теорема. Системы истинностных функций {|} и {}– полные.
□ Полноту системы {|} доказывают равносильности:
А А|А,
АВ= (А|А) | (В|В)
АВ= (А|В) | (А|В)
Покажем, что и выражаются через |.
А |
А|A |
|
и |
л |
л |
л |
и |
и |
А |
В |
А|В |
(А|B)|(A|B) |
AB |
и |
и |
л |
и |
и |
и |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
и |
л |
л |
Т.к.
-
полная система функций, а {|}
выражается через
,
то{|}
-
полная система.
Полноту системы {} доказывают равносильности:
А АА,
АВ= (АА)(ВВ)
АВ= (АВ)(АВ)
Выразим
через
A |
|
AA |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
Покажем,
что
А |
В |
|
|
|
|
и |
и |
л |
л |
и |
и |
и |
л |
л |
и |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
л |
л |
л |
и |
и |
л |
л |
Т.к.
{
}-
полная система функций, то
-
полная система функций. ■