Полные системы истинностных функций

Из теоремы следует, что для выражения любой истинностной функции достаточно трех логических операций: отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.

Определение. Система истинностных функций называется полной, если с помощью функций этой системы можно выразить любую истинностную функцию.

Система {^, . } — полная, что следует из предыдущей теоремы.

Существуют и более “бедные” функциями системы, являющиеся полными. Теорема. Системы истинностных функций

{^, }, {^, }, {^, }– полные.

□ Для доказательства полноты системы {^, } достаточно, исходя из полноты системы {^, . } выразить дизъюнкцию через отрицание и конъюнкцию. Но это имеет место в силу равносильности

АВ≡ ^ (^А^В). (1)

Полнота системы {^, } следует из равносильности

АВ≡^ (^А^В). (2)

Полнота системы {^, } следует из равносильности

АВ ≡ ^АВ. (3)

Равносильности (1), (2), (3) можно доказать, например, составлением истинностных таблиц. ■

Среди указанных в таблице двухместных истинностных функций имеются и такие, которые в единственном числе образуют полную систему истинностных функций.

Например, функции штрих Шеффера (отрицание конъюнкции или дизъюнкция отрицаний ) и стрелка Пирса (отрицание дизъюнкции или конъюнкция отрицаний ):

А	В	А| В		А	В	АВ
И	И	Л		И	И	Л
И	Л	И		И	Л	Л
Л	И	И		Л	И	Л
Л	Л	И		Л	Л	И

Теорема. Системы истинностных функций {|} и {}– полные.

□ Полноту системы {|} доказывают равносильности:

^А  А|А,

АВ= (А|А) | (В|В)

АВ= (А|В) | (А|В)

Покажем, что  и  выражаются через |.

А	А|A
и	л	л
л	и	и

А	В	А|В	(А|B)|(A|B)	AB
и	и	л	и	и
и	л	и	л	л
л	и	и	л	л
л	л	и	л	л

Т.к. - полная система функций, а{|} выражается через , то{|} - полная система.

Полноту системы {} доказывают равносильности:

^А  АА,

АВ= (АА)(ВВ)

АВ= (АВ)(АВ)

Выразим через

A		AA
и	л	л
л	и	и

Покажем, что

А	В
и	и	л	л	и	и
и	л	л	и	л	л
л	и	и	л	л	л
л	л	и	и	л	л

Т.к. {}- полная система функций, то - полная система функций.■

Виды формул алгебры высказываний

Формула А называется

• общезначимой (тождественно истинной, тавтологией), если во всех своих интерпретациях она принимает значение И

• невыполнимой (тождественно ложной, противоречием), если во всех своих интерпретациях она принимает значение Л

• нейтральной, если она не является ни общезначимой, ни невыполнимой

• выполнимой, если она общезначимая или нейтральная

• необщезначимой, если она невыполнимая или нейтральная.

Три классификации формул алгебры высказываний:

Только И	Хотя бы одно И, и хотя бы одно Л	Только Л
общезначимые	нейтральные	невыполнимые
выполнимые		невыполнимые
общезначимые	необщезначимые