Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS4_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

ти

org

matem

Министерство образования и науки Украины НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Библиотека иностранного студента

Л.В. Новикова

Е.С. Синайский

О.В.Бугрим

Л.И. ЗаславскаяГ

МАТЕМАТИКАм .ua

org

matem

Часть 4

ЭЛЕМЕНТЫ

еВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ

(в примерах и задачах)

Учебное пособие

Днепропетровск

НГУ

2007

УДК 514.742.2(075.8) ББК 22.151.5 М 34

Затверджено до видання навчально-методичним управлінням НГУ як навчальний посібник для студентів технічних спеціальностей різних форм навчання

(протокол № 10 від 9.10.07).

Математика. У 14 ч. Ч. 4. Елементи векторної алгебри (у прикладах і задачах): Навч. посібник / Л.В.Новікова, Є.С.Сінайський, О.В.Бугрим, М 34 Л.І.Заславська . – Д.: Національний гірничий університет, 2007. – 73 с. –

Рос. мовою. – (Бібліотека іноземного

студента).

Посібник вміщує стислі теоретичні відомості таУпрактичні рекомендації до

». Матеріал подано у фор-

розв`язування прикладів за темою «Векторна алгебраГ

мі розділів (модулів), усі задачі даються із розвк`язуваннями і доведені до відпо-

дозволяють визначити ступінь

віді. Контрольні вправи у кінці кожного модулят

засвоєння навчального матеріалу.

Для студентів технічних вузів

org

денної, вечірньої, заочної і дистанційної

форм навчання, а також для тих, хтомнавчається екстерном.

matem

Пособие содержит краткие теоретические сведения и практические реко-

мендации к решению примерова

по теме «Векторная алгебра». Материал пред-

ставлен в форме разддлов (модулей), все задачи даются с решениями и доведе-

ны до ответа. Контрольныеф

вопросы в конце каждого модуля позволяют опре-

учебного материала.

делить степень усвоенияК

Для студентов технических вузов дневной, вечерней, заочной и дистанционной форм обучения, а также обучающихся экстерном.

УДК 514.742.2(075.8) ББК 22.151.5

©Л.В. Новікова, Є.С. Сінайський, О.В. Бугрим, Л.І. Заславська, 2007

©Національний гірничий університет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ……….………………………………………………………………

1. ВЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ ……..….…………

1.1. Понятие вектора ………..……………….……………………….……...……

1.2. Линейные операции над векторами …………….………………………...

2. РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО БАЗИСУ. КООРДИНАТЫ ……………...

2.1 Проекция вектора на ось …………………………………………………….."

2.2. Базисы на плоскости и в пространстве

Н…………………………………..

2.3. Декартова система координат ……………………………………………...ВУ

3. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВи

………………………...........

4. ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ ………………………...........

org

5. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕаВЕКТОРОВ ……………………………

matem

СПИСОК ЛИТЕРАТУРІ …………………………………………………………......е

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬы

……………………………………………...

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие подготовлено с целью повышения качества и прогнозирования результатов обучения иностранных студентов в областях знаний: разработка полезных ископаемых; информатика и вычислительная техника; машиностроение и металлообработка.

Учебное пособие соответствует проекту НГУ об издании серии «Библиотека иностранного студента», авторами которого являются профессора кафедры высшей математики Новикова Л.В. и Мильцын А.М., а также начальник управления международных связей профессор Рогоза М.В., декан горного факультета профессор Бузило В.И. и директор ИЗДО профессор Рыбалко А.Я.

Серия содержит четырнадцать справочно-практических руководств к решению

задач элементарной и высшей математики.

» отвечает общему

Содержание части 4 «Элементы векторной алгебрыН

. Она вмещает сле-

курсу высшей математики для технических специальностейЗ

дующие разделы: векторы и линейные операции над ними; векторы в прямо-

угольной декартовой системе координат; умножение векторов (скалярное, век-

торное и смешанное).

краткие теоретические сведения,

В начале каждого раздела помещеныа

применять их при

которые изложены в форме, позволяюще й непосредственно.ua

org

решения типовых примеров, рас-

решении задач. Затем приводятся подробныеа

matem

положенные в порядке возрастания сложности и доведенные до ответа.

В результате изучения материала данного пособия студент должен при-

обрести достаточные практические навыки для работы с векторными величи-

нами, которые необходимы для изучения других разделов высшей математики,

в частности, такого какр«Векторный анализ».

Список литературы дает ссылки на учебники и задачники, по которым

возможно предварительное (более полное) изучение теоретического материа-

ла, а также подбор дополнительных упражнений и задач.

Руководство издается на русском языке, что обусловлено договором между университетом и иностранными студентами о языке их образования.

Пособие может быть также использовано для самостоятельной работы и подготовки к модульному контролю студентов всех специальностей очной и заочной форм обучения.

1. ВЕКТОРЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ

НАД НИМИ

1.1. Понятие вектора

В математике, физике, механике, электротехнике и других прикладных науках встречаются величины двух типов – скалярные и векторные.

Величины, полностью определяемые одним числовым значением (безразмерным или размерным в данной системе физических единиц), называют скалярами (например, масса, температура, время, объем, электрический заряд, работа и др.).

В отличие от скаляров, векторные величины характеризуются не только некоторым числовым значением, но и направлением в пространстве (напри-

мер, перемещение, скорость, сила, момент силы, ускорение, напряженности

изображают-

электрического и магнитного полей и т.д.). Векторные величиныУ

ся с помощью векторов.

"Н

Вектор это направленный отрезок в пространствеЗ .

Длину вектора называют его модулем.

Применяют обозначения: а АВ

, гдеиА – начало, В – конец вектора а;

.ua

АВ

или

– длина вектора.

.org

Два вектора а АВ

и а

считаются равными, если их длины

А В

1й

и направления одинаковы (рис. 1.1):

matem

а1

2) а а1,

а а1

В1

векторы сонаправлены.

а АВ

А В

Следовательно, вектор, не изменяя

его, можно перенести параллельно са-

А1

мому себе и поместить его начало в

Рис. 1.1

любую точку пространства.

Векторы, параллельные общей прямой или лежащие на одной прямой, независимо от того, направлены они одинаково или противоположно, называ-

ют коллинеарными.

Векторы, параллельные общей плоскости или лежащие в одной плоско-

сти, называют компланарными.

Единичным вектором данного вектора а называют вектор, совпадающий по направлению с а и имеющий длину, равную единице. Применяют

обозначение a0 ( a0 = 1). Очевидно, a a a0 или a0 aa .

Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым или нуль-вектором: 0. Его длина 0 0 , а направление не определено.

				а,
Если а АВ, то вектор		ВА – противоположный относительно
обозначают ( a ) (рис. 1.2).		В
			В
	АВ
a		a BA

АА

Рис. 1.2

Пример 1.1. Даны вектор АВ и точка K . Построить вектор KP , рав-

ный вектору АВ.

Решение. Соединим точки A и K , после чего на отрезках"

AB и

как

на

сторонах

параллело-

построимУ

грамм

вектор

рассмотримЗ

(рис. 1.3). Противоположные стороны па-

раллелограмма параллельны и равны по

велич не. Таким образом,

Рис. 1.3

2) AB KP , векторы

еАB

.ua

org

matem

= KP .

сонаправлены. Следовательно, АВ

Пример 1.2. ВекторысАВ,

ВC ,

и DA являются сторонами квад-

рата ABCD. Какие из этихвекторов равны друг другу?

Решение.

всех векторов

совпадают

АB

Длиные

(рис. 1.4). Однакоа этого недостаточно для равенства векторов, необходимо

также, чтобы они были коллинеарны и сонаправлены. Имеем:

АВ= DC , так как

АB

DC и векторы

сонаправлены;

АВ BC ,

АВ

ВC

DC ,

DC DA, потому

что указанные пары векторов не коллинеарны;

Рис. 1.4

ВC DA векторы направлены в противоположные

стороны, но поскольку

, можно записать ВC =

DA,

т.е. эти век-

торы противоположны.

Пример 1.3. Материальная точка М движется по окружности радиуса R с постоянной угловой скоростью . На рис. 1.5 показаны векторы линей-

v	O R
v	2
	v	3

Рис. 1.5

ной скорости v1, v2 , v3 этой точки в различные моменты времени. Равны ли v1, v2 и v3 ?

Решение. Скорость точки М в любой момент времени является вектором, касательным к траектории движения и имеющим величину, равную R. Следова-

тельно,

R , но v1 v2 v3 , так как на-

правление скорости в разных точках траектории различно.

1.2. Линейные операции над векторами

Линейными называют операции сложения (вычитания) векторов и ум-

ножения вектора на число.

Сложение векторов. Пусть даны векторы

а и b . Возьмем произволь-

ную точку О и из нее отложим вектор а , затем из конца вектора а отложим

вектор b

. Вектор c , соединяющий началотпервого вектора с концом второго,

Сформулирован-

называется суммой этих векторов, т.е.

мc

b (рис. 1.6).

.org

ное правило

сложения векто-

ров называют правилом тре-

matem

ного числа слагаемых. Так, для

угольника. Его можно обоб-

щить на случай любого конеч-

с а b

получения суммы трех векто-

ров а , b и c из произвольной

Рис. 1.6

точки О необходимо отложить

аф

вектор а

, с концом вектора а

совместить начало вектора b

, а с концом век-

тора b начало вектора c . Вектор, замыкающий ломаную, т.е. соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой трех данных векторов (рис. 1.7).

					b
а	b	с	а				с
			О
				d	a	b	c
			Рис. 1.7

Для сложения двух неколлинеарных векторов можно использовать

правило параллелограмма. Пусть даны векторы а и b . Отложим от произ-

вольной точки О векторы OA a и OB b . Построим на этих векторах как

на сторонах параллелограмм ОАСВ. Вектор OC , служащий диагональю па-

раллелограмма, проведенной из вершины О, является суммой векторов a b

(рис. 1.8).

a b

Рис. 1.8

Вычитание векторов.

Вычесть какой-либо векторГ это значит при-

бавить ему противоположный"

aВ b

a b .

(рис. 1.9), чтобы из а

а b

b , нужно отнести векторы к

вычесть

началу, и

тогда

разностью

а b

общемум .ua

b будет замыкающий

вектор,

на-

а a

.org

правленный в сторону а , т.е. того век-

Рис. 1.9

тора, из которого производится вычита-

matemние.

Умножение вектора на число. Произведением вектора a на число

называют вектор c

вектору a ,

имеющий длину

, коллинеарныйд

если 0, либо противоположное направление,

то же направлениеф, что и

а ,

1 a a ;

0 a 0 ; 1 a a .

если 0 . В частности,

что если b a ,

Из определения умножения вектора на число следует,

то векторы b

и а коллинеарны.

Справедливы следующие свойства линейных операций над векторами:

1) a b b a ;

5) 1 a a ;

2) a b c a b c ;

6) a a ;

7) a a a ;

3) a

0 a ;

8) a b a b .

4) a a 0 ;

Пример 1.4. Даны векторы a и b . Построить векторы c 3a 2b и

d a 2b .

Решение. Совместим начала векторов a и b в точке О. По правилу ум-


ножения вектора на число получаем OA 3a	, OB 2b (рис. 1.10 а). На этих

двух векторах как на сторонах строим параллелограмм и проводим из верши-


ны O его диагональ. Искомым вектором будет OC c 3a 2b . Тот же ре-
зультат получим, совместив с концом вектора 3a	начало вектора 2b
		AC

(изображен пунктиром на рис. 1.10 а) и соединив начало первого вектора с концом второго.

c 3a 2b

.ua

.org

matem

й Рис. 1.10

d a 2b

можно воспользоваться правилом

Для построения вектора

предварительно вектор b на число 2. Совмес-

вычитания векторов, умноживр

тив векторы a

и 2b началами, соединим их концы. Замыкающий вектор, на-

правленный в сторонуК

2b (рис. 1.10 б).

а и будет искомым вектором d a

Пунктиром на рис. 1.10б проведено построение d

с использованием правила

сложения

векторов

2b ,

так

как

d a 2b .

Очевидно,

a 2b .

OP BA

Пример 1.5. По данным векторам a и b построить векторы а)

a b ;

б) a

; в) 2a

2 b .

Решение. Построения по правилам сложения и вычитания векторов приведены на рис. 1.11 а, б, в.

1 / 81 2 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб1Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx