BIS4_matem_org_ua

В

стороны BC , т.е. AM

медиана тре-

угольника

АВС.

С

другой

стороны

D

1

A

М

AM

2

AD , а вектор AD по правилу па-

раллелограмма (см. раздел 1.2, рис. 1.8) яв-

С

Рис. 2.17

ляется суммой векторов AB

и AC . Найдем

координаты вектора AD по формуле (2.8):

2; 6; 4 4; 2; 2 6; 8; 6 .

AD

AB

AC

Применив теперь формулу (2.9), вычислим координаты искомого вектора

1

1

"

У

AM

AD

Г

6; 8; 6 3; 4; 3 .

2

2

Н

"

З

У

A 3;0; 2 ,

B 1;2;2 и

Пример 2.18. Дан треугольник с вершинамиВ

Г

медиан треугольника.

C 5;4;6 . Найти координаты точки М пересеченияк

Решение. Сделаем схематический

и

чертеж (рис. 2.18). AK медиана,

поэтому точка

K делит сторону

е

а

ua

найдем

BC

мпополам. По формулам (2.17)

т

.

В

а

м

K

ы

координаты.org этой точки:

2

matem

2

2

й

x

x

1

5

y

y

е

B

ш xK

C

3

, yK

B

C

в

с

М

а

2

4

zB

zC

2

6

A

р

3,

zK

4.

д

2

2

2

е

ф

С

а

Имеем

K 3;3;4 .

Рис. К2.18

xM

xA xK

3 2 3

1,

yM

yA yK

0 2 3

2 ,

1

3

3

1

zM

zA zK

2 2 4

2 .

3

1

Найти разложение вектора a 9;4 по векторам p и q .

Решение. Разложить вектор a по векторам

p и q это значит предста-

вить его в виде а

p

q

, где и некоторые числа. Если векторы p

у

и q не коллинеарны,

то такое разложение воз-

можно (см. раздел 2.2, теорема 1, пример 2.3).

Легко проверить, что условие коллинеар-

a

ности (2.12) для заданных векторов

p и q не

q

выполняется: 2 3 . Обозначим

1

2

"

У

a

9; 4 ,

Г

p

2; 3 ,

a

x

;a

y

Нp

x

; p

y

О

х

"

q q

З

p

x

;Уq

1; 2

y

В

и

Г

векторное

равенство

спроектируем

и

а

к

p qина оси координат (см. раздел 2.1,

т

свойства

а

проекции вектора на ось). Получим

м

.

Рис. 2.19

е

ua

систему двух уравнений относительно и :

м

т

org

а

.

ы

matem

ax

й px

qx

е

ш

p

q

сa

y

y

y

в

p и q ,

или, подставляя сюда координаты векторов a ,

р

д

9

2 ,

2,

е

ф

а

4 3 2

5.

К

Следовательно, искомое разложение имеет вид

а 2 p 5q (рис. 2.19).

Пример 2.20. На плоскости хОу

в точках

A x1, y1 ,

B x2 , y2

и

y

B

C x3 , y3 сосредоточены массы m1 ,

m2 ,

K

m3 соответственно. Найти центр масс

A

m2

системы (рис. 2.20).

m1

M

Решение. Из физики известно, что

m3

центр масс m1 и m2 находится на отрез-

C

x

ке AB , соединяющем эти массы, в точке

Рис. 2.20

K , которая делит отрезок в отношении

AK KB m2

m1 .

x m2

x

2

y m2

y

2

1

m1

1

m1

xK

, yK

.

m2

1 m2

1

m

m

После упрощения получим

1

1

xK m1x1 m2 x2 ,

yK m1y1 m2 y2 .

m1 m2

m1 m2

Далее рассматриваем систему, состоящую из массы m1 m2 , отнесен-

ной к точке K , и массы m3 , расположенной в точке C . Центр масс такой сис-

темы делит отрезок

KC в отношении KM MC m3

m1 m2 .

Точка

M и есть центр масс m ,

"

m и m . Воспользуемся еще раз формулами (2.16)

1

2

3

У

и подставим в них найденные координаты точки K :

Г

Н

"

m1х1 m2 х2

m3

З

У

В3

х

К

х

С

m m

m

m

Г

m х

m х

m х

3