Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS4_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

е3		A	(рис. 2.6). Очевидно, что а
е3		A	(рис. 2.6). Очевидно, что а	ОА ОР РА . Век-
	a
	е2		тор ОР компланарен с векторами е1, е2 . Согласно
	е2			е2 . Вектор
О		P	теореме 1 ОР= 1е1 2	е2 . Вектор	РА колли-
О	е1	P	неарен вектору е3 по построению. Следовательно,
	е1		неарен вектору е3 по построению. Следовательно,

Рис. 2.6			найдется число 3 такое, что РА 3е3. Имеем
			а 1е1 2е2 3е3 ,		(2.5)

т.е. получено разложение произвольного вектора а по системе линейно неза-

висимых векторов е1, е2 , е3.

, е называют

Упорядоченную тройку некомпланарных векторовУе , е

базисом в пространстве.

Числа ,

в (2.4)

и (2.5) координаты вектора а в данном ба-

зисе. Записывают

а 1 , 2

, 3 .

базиса

каждому

вектору

Посредством

чисел (два на плоскости, три

ставится в соответствие упорядоченный набори

в пространстве) координаты вектора и наоборот.

Имеют место следующие свойстева:

все его координаты умножаются на

1. При умножении вектора на число.

это число:

org

еш

1 1

2с2

matem

соответствующие координаты в данном бази-

2. При сложении векторова

се складываются:

1 1

е .

2.3. Декартова система координат

Пусть в пространстве задан базис

е1, е2 , е3,

отнесенный к некоторой

фиксированной точке О. Совокупность точки О и базиса образует декарто-

ву систему координат. Точка О ее начало (рис. 2.7).

Наиболее распространена прямоугольная система координат. В каче-

стве ее базиса в пространстве принимают три взаимно перпендикулярных единичных вектора: e1 i , e2 j , e3 k орты (рис. 2.8). Направленные

вдоль этих ортов оси называют: Ох ось абсцисс, Оу ось ординат, Oz ось аппликат.

е3

е2

е1

Рис. 2.7

Рис. 2.8

В дальнейшем будем рассматривать только прямоугольную систему ко-

ординат.

Произвольной точке М пространст-

ва можно поставить в соответствие век-

М(х,у,z)

тор

OM ,

"выходящий из точки О.

Его

радиус-вектором точки

называют

М.

вектора

РазложениеГ

r по базису за-

в виде

писываютк

.ua

r x i y j z k .

org

x, y, z

(координаты вектора r )

тЧисла

являются проекциями этого вектора на

matem

координатные оси (рис. 2.9). Их вместе с

тем называют координатами точки М.

Рис. 2.9

Записывают M x, y,z ,

r x, y,z ,

т.е. координаты точки

ри ее радиус-вектора совпадают.

Применяя теорему Пифагора (рис. 2.9), получаем формулу для вычисле-

ния длины радиуса-вектора по его координатам:

x2 y2 z2 .

Вектор в прямоугольной системе координат. Пусть a

AB произ-

вольный вектор в пространстве (рис. 2.10), разложение которого по ортам имеет вид

a ax i a y j az k ,			(2.6)
а точки А и В заданы своими координатами A x1 , y1 ,z1 , B x2 , y2 ,z2 .
Тогда радиус-векторы точек А и В:
		j	z2k .
OA x1i y1 j z1k ,	OВ x2i y2	j	z2k .
	21

Рис. 2.10

k x i

z k

Очевидно, a AB OB OA x

i мy

.ua

.yorgj

z k .

x i мy

Сравнивая эту запись с формулой (2.6), заключаем:

matem

ax x2

az z2

z1 .

(2.7)

вx1

a y

Таким образоме, чтобы найти координаты вектора (его проекции на

координатные осиф), достаточно из координат конца вектора вычесть со-

ответствующие координаты его начала.

Пусть a ax ,ay ,az ,

b bx ,by ,bz произвольные векторы. Спра-

ведливы соотношения:

1) a b

b ,b

,b a

b ; (2.8)

y z

2) a ax ,ay ,az ax , ay , az

число;

(2.9)

a2x a2y az2

длина вектора;

(2.10)

a b

ax bx , ay

by , az bz ;

(2.11)

5) a b

a b

bx , ay

by , az bz

или

a y

(2.12)

Соотношение (2.12) называют условием коллинеарности векторов.

Направление вектора в пространстве. Направление вектора

a в про-

странстве определяется углами , и

, которые вектор образует с осями

координат (рис. 2.11). Косинусы этих

углов ( cos ,

cos и cos ) называ-

ют

направляющими косинусами. Со-

гласно формуле (2.1)

"aН

cos ,

кaz npza

откуда получаем

Рис. 2.11

org

a x

a y

matem

cos

(2.13)

Возводя каждое из равенств

(2.13) в квадрат и складывая их, с учетом форму-

лы (2.10) имеем

cos2

cos2 cos2 1.

(2.14)

Из (2.14) следует, что из трех углов , и произвольно можно задать

только два.

Для единичного вектора a0 ,

который по направлению совпадает с век-

= 1), из (2.13) вытекает, что

тором a , но имеет длину, равную единице ( a

cos ax0 ,

cos a0y ,

cos az0 .

Таким образом, координатами единичного вектора служат его направ-

ляющие косинусы:

i cos j cos k cos . (2.15)

cos , cos , cos

или

Деление отрезка в заданном отношении.

Пусть точка

M x, y,z

делит отрезок

между точками

A x1, y1,z1

B x2 , y2 ,z2 в отношении

(рис.

2.12). Тогда АМ МВ.

Очевидно,

x1, y y1,z z1 ,

Рис. 2.12

АМ

x, y2 y,z2 z .

МB

Из равенства векторов А

М и

МB следует равенство их одноименных коор-

динат (2.11), т.е.

x x1 x2 x ,

y y1 y2 y ,

z z1 z2 z ,

откуда следуют формулы, определяющие координаты точки М:

y y

Г z

"Н

(2.16)

При делении отрезка пополам

для середины отрезка

1. ПоэтомуГ

yи

т2

(2.17)

м2

a.org3; 2; 6 и b 2; 1; 0 . Найти

Пример 2.5. Даны два векторам

matem

координаты векторов: а)

bш; б)

b ; в)

2a ; г)

; д) 2a 3b .

Решение. Сумму и разность векторов можно найти, используя формулу

(2.8):

b 3; 2; 6 2; 1; 0 3 2; 2 1; 6 0 1; 1; 6 .

а) a

2; 6 2; 1; 0 3 2; 2 1; 6 0 5; 3; 6

б) a

b 3;

Согласно формуле (2.9) при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число. Поэтому имеем:

в) 2a 2 3; 2; 6 2 3; 2 2 ; 2 6 6; 4; 12 г) 12 b 12 2; 1; 0 1; 12; 0 .

По тем же формулам (2.8) и (2.9) можно найти линейную комбинацию векторов:

д) 2a 3b 2 3; 2;6 3 2;1;0 6; 4;12 6;3;0 0; 1;12 .

Пример 2.6. Определить,					при	каких	значениях		и векторы
a 2i 3 j k	и b i			6 j 2 k		коллинеарны.
Решение. В условие коллинеарности векторов (2.12) подставим коорди-
наты векторов a 2; 3; β				и b ; 6;2 :
2		3			3 12,			4,
		6	2		6 6			1.

Пример 2.7. Определить модули суммы и разности векторов a 3; 5;8 и b 1;1; 4 .

Решение. Находим по формуле (2.8) сумму и разность векторов (см.

пример 2.5), после чего согласно формуле (2.10) вычисляем модули получен-

ных векторов.

a b 3; 5; 8 1; 1; 4 2; 4; 4 ,

3; 5; 8

a b

1; 1; 4 4; 6; 12Г;

a b

36 6 ;

2м

.org

36 144

196 14 .

a b

Пример

которая

является концом

вектора

2.8. Найти

точкуmatemB ,

a 3; 4;

2 , если егоан чало совпадает с точкой A 2; 1; 1 .

. Координаты вектора a АB оп-

Решение. Обозначим B xB ; yB ; zB

ределяются

(2.7),

именно

ax xB xA;

ay yB yA ;

формуламиК

az zB zA , откуда

xB ax xA 3 2 5 ;

yB ay yA 4 1 5;

zB az zA 2 1 3. Таким образом,

конец вектора a совпадает с точкой

B 5; 5; 3 .

A 1;5; 10 ,

B 5; 7;8 ,

C 2;2; 7 и

Пример 2.9.

Даны

точки

D 5; 4;2 . Проверить, что векторы AB

и CD коллинеарны; установить, ка-

кой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены – в одну или в противоположные стороны.

			; Z2 и
Решение. Введем обозначения AB X1;Y1; Z1 ,	CD X 2	;Y2	; Z2 и

вычислим координаты указанных векторов по формулам (2.7):

X1 xB xA 5 1 6,

X2 xD xC 5 2 3,

Y1 yB yA 7 5 12,

Y2 yD yC 4 2 6,

Z1 zB zA 8 10 18,

Z2 zD zC 2 7 9.

6; 12; 18 ,

3; 6; 9 . Эти векторы коллинеарны,

Имеем AB

так как их координаты пропорциональны (см. условие 2.12)):

2 .

6; 12; 18 2 3; 6; 9 , т.е.

Очевидно, можно записать AB

AB 2CD .

Это означает, что вектор AB в два раза длиннее вектора CD , а направления

этих векторов совпадают.

Пример 2.10. Даны три последовательныеВ

вершины параллелограмма

A 1;1;4 , B 2;3; 1 ,

C 2;2;0 . Найти координаты четвертой вершины D .

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 2.13). У параллелограм-

стороны равны и па-

ма противоположныем

org

поэтому можно записать равен-

раллельны,

ством

matem

AB DC .

D x, y,z и

Обозначим

определим коор-

Рис. 2.13

AB и

DC по формулам

динаты векторов

(2.7) (см. примера2.9). Получим

1;2; 5 ,

2; y 2; z .

CD x

Два вектора равны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты совпадают (2.11). Следовательно, должны выполняться равенства


	x 2 1,			y 2 2,	z 5 ,
откуда x 1,	y 4,		z 5 . Таким образом,			четвертая вершина парал-
лелограмма находится в точке D 1; 4; 5 .
Пример	2.11.	Доказать, что			точки	A 3;4;1 ,	B 1;0; 1 и
M 2; 6; 4 лежат		на одной прямой.

Решение. Если точки А, В и М лежат на одной прямой, то векторы AB

и AM коллинеарны (рис. 2.12), т.е. согласно (2.12) их координаты пропорциональны.

X2;Y2; Z2

Найдем координаты векторов AB X1;Y1; Z1

и AM

(см. формулы (2.7) и пример 2.9):

X1 xB xA 1 3 2,

X 2 xM xA 2 3 5,

Y1 yB yA 0 4 4,

Y2 yM yA 6 4 10,

Z1 zB zA 1 1 2,

Z2 zM zA 4 1 5.

2; 4;

2 ,

5; 10; 5 . Эти векторы колли-

Имеем

неарны, так как

М лежат на

. Следовательно, точки А, В и

одной прямой.

Пример 2.12. Даны точки A 1;2;1 ,

B 2;В 1; 3 и C 3; ; . При ка-

ких значениях и точка С лежит на прямойиАВ?

Решение. Если точка С

АВ, то векторы

AB и

лежит на прямой

коллинеарны (см. пример 2.11). Найдемт

координаты указанных векторов по

формулам (2.7) и потребуем выполнениям .orgусловия коллинеарности (2.12).

matem

Имеем

2; 2; 1 ;

AB 1; 3; 2 ш, AC

2 6,

д2

1 4

ПримерК2.13. Доказать, что четырехугольник с вершинами A 2;1; 4 , B 1;3;5 , C 7;2;3 и D 8;0; 6 есть параллелограмм. Найти длины его сто-

рон.

Решение. Для доказательства достаточно убедиться, что векторы, совпа-


дающие с противоположными сторонами параллелограмма, например,		AB

и DC , равны (рис. 2.13). Определим по формулам (2.7) координаты указанных
		9 .
векторов (см. примеры 2.9 и 2.11). Получим AB 1; 2;9 , DC 1; 2;		9 .

Следовательно, AB DC , т.е. четырехугольник ABCD – параллелограмм.
Длины сторон этого параллелограмма можно найти как модули векторов

AB 1; 2; 9 и	AD 6; 1; 2 по формуле (2.10):

AB 1 2 22 92 1 4 81 86 ;

AD 62 1 2 2 2 36 1 4 41 .

Пример 2.14. Проведен отрезок от точки A 1; 1 до точки B 4;5 .

До какой точки необходимо его продолжить в том же направлении, чтобы его длина удвоилась?

Решение. Продолжить отрезок АВ в том же

направлении так, чтобы его длина удвоилась, оз-

начает, что от точки В по прямой АВ следует от-

ложить отрезок ВС такой же длины, как и отрезок

АВ (рис. 2.14). Тогда точка B" 4; 5 разделит от-

резок

АС пополам. В этом случае координаты то-

чек А, Ви Ссвязаны формулами (2.17), а именно:

Гx

, yB

и C

Рис. 2.14

.ua

(координата

отсутствует, так как точки лежат на

org

плоскоститхОу).

Из записанных соотношений вытекаютм

формулы:

matem

x 2x

1 9 ,

y 2 y

2 5 1 11.

Следовательно, отрезок АВв

необходимо продолжить до точки C 9; 11 .

Пример 2.15е. Отрезок AD точками В и С разделен на три равные час-

Ви С, если A 1; 3; 0 и D 5; 6; 9 .

ти. Найти координаты точек

Решение. Сделаем схематический чертеж (рис. 2.15). Точка Вделит от-

резок AD в отношении

2 . Воспользу-

Рис. 2.15					емся формулами (2.16):
Рис. 2.15					1								1
	xA xD		1		1	5				yA yD		3	1	6
xB	xA xD				2		1 ,	yB		yA yD			2			0 ,
xB	1		1		1		1 ,	yB			1	1			1	0 ,
	1				1						1				1
					2			1							2
								1
		zB		zA zD				0 2 9			3.
		zB									3.
					1			1	1
								1	2

Таким образом, определились координаты точки B 1;0;3 .

Точку C можно рассматривать как точку, которая делит отрезок AD в

отношении CDAC 12 2 , либо как середину отрезка BD . Воспользуемся второй возможностью и формулами (2.17):

xB xD

1 5 3,

yB yD

0 6 3,

zB zD

3 9 6 .

Следовательно,

C 3; 3; 6 .

Пример 2.16. Даны вершины треугольника A 1;4 ,"B 5;3 и C 3; 2 .

Определить длину медианы BM (рис. 2.16).

М, которая по

Решение. По формулам (2.17) найдем координаты точки

условию делит сторонуУ

AC пополам:

xA xC

M 2; 1 ,

4 2

yA yC

.ua

org

Рис. 2.16

matem

Определим координаты вектора BM по форму-

слам (2.7):

BM рxM xB ; yM yB 2 5;1 3 3; 2 .

Длина медианы BMф

может быть вычислена по формуле (2.10) как длина век-

тора BM

3 2 2 2 13 .

2;6; 4 и

Пример 2.17. Векторы AB

AC 4;2; 2 совпадают со

сторонами треугольника АВС. Определить координаты вектора, приложенного к вершине треугольника Аи совпадающего с его медианой АМ.

Решение. Построим на векторах AB и AC как на сторонах параллелограмм ABDC (рис. 2.17). Известно, что диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам. Из этого следует, что точка M есть середина

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб1Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx