Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS4_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

a b

2 4

3 4

3 2

ax ay

2 4

bx by

2 4

2 5

2 4

a b 26i 7 j 16 k

или

a b 26; 7; 16 .

Пример 4.6. Даны точки

A 2; 1;2 ,

B 1;2; 1 и C 3;2;1 Найти век-

торное произведение AB BC .

Решение.

Введем обозначения

AB a ,

и найдем координаты

этих векторов (см. примеры 2.9, 3.9):

a x

1 2 1,

xГ

3 1 2,

2 1 3,

a y

2 2 0,

yЗ y

az zB zA 1 2 3,

bz Г zC zB 1 1 2.

произведение

По формуле (4.3) вычисляем векторное

.org3 3

1 3

AB BC a b

matem

1 3 3

2 ш0

4 j 6 k или

AB BC 6; 4; 6 .

AB BCд 6i

A 2; 1;2 ,

B 1;2; 1 и C 3;2;1 Найти век-

Пример 4а.7. Даны точки

торное произведение

BC 2CA

CB .

X1;Y1; Z1 ,

;Y2; Z2 и

Решение.

Введем обозначения

CA X2

найдем координаты этих векторов (см. пример 4.6):

X1 xC xB 3 1 2,

X2 xA xC 2 3 1,

Y1 yC yB 2 2 0,

Y2 yA yC 1 2 3,

Z1 zC zB 1 1 2,

Z2 zA zC 2 1 1.

2;0; 2 ,

Таким образом BC

CA 1; 3; 1 .

Координаты вектора BC

2CA вычислим, выполняя соответствующие

операции над координатами векторов BC

и CA (см. (2.8) и (2.9)):

2;0; 2 2 1; 3; 1 4;6; 0 .

2CA

2;0; 2 .

Вектор CB противоположен вектору BC , поэтому CB

Полученные векторы перемножаем векторно по формуле (4.3):

4 0

4 6

6 0

, т.е.

BC 2 AC

2 2

"Н

2 AC

CB 12i 8 j 12 k

или

BC 2 AC

12; 8; 12 .

м .

, перпендикулярный векторам

Пример 4.8. Найти единичныйев ктор c

a 2;2;1 и b 4;5;3 и составляющийм orgострый угол с осью Oz.

matem

Решение. Из определенияевекторного произведения известно, что вектор

= a b перпендикуляренск векторам a и b . По формуле (4.3) вычисляем

векторное произведение

iе j

2 1

2 2

i 2 j 2k .

2 2 1

5 3

4 3

4 5

Проекция вектора с

на ось Oz, т.е. его координата cz 2 0 , а это оз-

начает, что вектор с с данной осью образует острый угол,

как и требуется по

условию задачи.

В противном случае необходимо было бы взять противопо-

ложный вектор

, изменив знаки всех координат вектора c a b .

(см. пример 2.23):

Найдем теперь единичный вектор c

cx2 c2y cz2 12 2 2 22 9 3.

1; 2;2

;

или

k .

Пример 4.9. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a 5i 4 j 7k и b i j 2k .

Решение. Согласно определению модуль векторного произведения двух векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах. Поэтому найдем сначала векторное

произведение a b по формуле (4.3), а потом вычислим его модуль.

a ax ,ay ,az 5; 4;7 ,

b bx ,by ,bz 1;1; 2 ;

a b

i 17 j 9 k .

ax ay

5 4

bx by bz

1 1 2

По формуле (2.10) находим длину полученного вектора.

12 172

a b

371У.

Искомая площадь параллелограмма S

371 кв. ед.

иb

.uaугла,

Пример 4.10.

образованного векторами

Вычислить синусе

a 2; 2;1 и b 2;3;6 .

.org

matem

Решение. Из формулы (4.1)йследует, что синус угла между векторами a

и b можно найти по формулесш

a b

sin a,b

a b ,

а затем его модуль (см. пример

4.9).

Найдем векторное произведение

a b

15i 10 j 10 k ;

2 2 1

a b

15 2 10 2 102

425 5 17 ;

22 2 2 12 9 3,

22 32 62 49 7 .

Подставляя найденные значения модулей в приведенную выше формулу, получаем:

		5
sin a,b	5 17	5	17	0,98.
	3 7		21

Пример 4.11. Найти площадь треугольника с вершинами A 2;1;2 ,

B 3; 3;4 и C 1;0;9 .

Решение. Сделаем схематический рисунок. Рассмотрим 2 вектора, на-

пример,

и AC . Если на этих векторах

как на сторонах построить параллелограмм

ABDC, то площадь треугольника АВС бу-

дет равна половине площади указанного па-

раллелограмма, т.е.

SABC

AB AC

Вычислим координаты векторов AB X

AC X

;Y ; Z

1У1

2 2

(см. примеры 4.6, 4.7):

3 2 5,

1 2 3,

иX

Y y

3 1 4,

Y y

0 1 1,

.ua2

Z z

4 2 2,

9 2 7.

org

Тогда по формуле (4.3)

matem

AB AC

Y Z

5 4 2

26i 29 j 7 k .

3 1

Вычислим модуль полученного вектора

26 2 29 2 72

AB AC

1566

это площадь параллелограмма ABCD. Следовательно,

SABC

1566 кв. ед.

Пример 4.12. Даны вершины треугольника

A 1; 1;2 ,

B 5; 6;2 и

C 1;3; 1 . Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.

Решение.

АD

Сделаем схематический чертеж. Построим два вектора AB и

AC . Площадь треугольника АВС численно равна половине модуля векторного произведения этих

Свекторов (см. пример 4.11), т.е.

	1
SABC		AB AC	.
	2

С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения

длины основания

на длину высоты

, т.е.

SABC

, отку-

да длина высоты

AB"AC

ABC

или

Найдем координаты векторов

AB итAC и вычислим их векторное про-

изведение (см. примеры 4.6, 4.11).

org

AB X1;Y1; Z1 4; 5;0 м,

X2;Y2; Z2 0;4; 3 ;

imatemj

AB AC

5 0

X Yа Z

15i

12 j

16 k .

4 3

Xе Y

Имеем

152

122

162

AB AC

625 25;

AC 02 42 3 2 25 5 .

Следовательно,


	AB AC			25 5 лин. ед.

BD



			5

		AC

Пример 4.13. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a m n и b 3m 2n , если m n 1, а угол между вектора-

ми m и n 6 .

Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b , численно равна модулю векторного произведения этих векторов, т.е.

S a b .

Воспользоваться формулой (4.3) в данном случае нельзя, так как векторы заданы не в декартовых координатах. Выразим a b через векторы m и

n :

m n 3m

2n 3m m

2n n .

Согласно свойствам векторного произведения имеем

m m

m n n m ,Зтогда

b 2n m

m ,

следовательно,

По формуле (4.1) находим

uam

sin n,m .

n еm

.org

Таким образом,

matem

n m

sin ;

S 5 1 1 sin

2,5 кв. ед.

Пример

сила F 3;4; 2

точка

ее

приложения

4.14.рДана

F относительно начала координат и углы,

M 2; 1;3 . Найтифмомент силы

с координатными осями.

которые он составляетК

Решение. Момент силы относительно начала координат согласно фор-

муле (4.4)

F , где

радиус-вектор точки

M , т.е.

OM .

Координаты вектора OM совпадают с координатами точки M (раздел 2.3),

следовательно,

r 2; 1;3 . Векторное произведение векторов r

и F можно

вычислить по формуле (4.3):

mo F r F

2 1

10i

13 j

11k .

Обозначим модуль полученного вектора через m и найдем его по фор-

муле (2.10):

10 2

132 112

390 .

Направляющие

косинусы вектора

определяем

по

формулам

mo F

(2.13):

cos

0,506 ;

cos

0,658;

cos

0,557 .

390

Соответственно углы, которые момент силы образует с координатными осями:

arccos

0,506 120

24 ;

arccos 0,658 48 51 ;

arccos 0,557

9 .

Пример 4.15. Сила F 1; 2;4 приложенаУ

к точке M 1;2;3 . Найти

момент этой силы относительно точки

A 3;2; 1 .

Решение. Момент силы F относительно точки A определяется форму-

.ua

лой (4.4):

org

тr F ,

где r вектор,

определяющиййположение точки приложения силы относи-

тельно точки A,

т.е. r

вектора AM ищем по формулам

AM . Координатыmatem

(2.7):

AM x

; z

1 3;2 2;3 1 2;0;4 .

;еy

F заданы,

можно вычислить требуемое век-

Поскольку координаты вектора

торное произведение по формуле (4.3):

mA F

AM F

2 0

12 j

4 k .

Пример 4.16. Даны три силы

F1 2; 1; 3 ,

F2 3;2; 1 и

F3 4;1;3 , приложенные к точке

A 1;4; 2 . Вычислить величину и на-

правляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки B 2;3; 1 .

Решение. Найдем равнодействующую F сил F1, F2 и F3 , т.е.

F F1 F2 F3 .

Известно, что при сложении векторов их координаты складываются (2.8), поэтому

F 2; 1; 3 3;2; 1 4;1;3 1;2; 1 .

Момент приложенной в точке A силы F , относительно точки B определяется формулой (4.4):

mB F

F .

Координаты вектора BA вычислим по формулам (2.7):

BA xA xB; yA yB ; zA zB 1 2;4 3; 2

У 1 3;1; 1 .

Поскольку координаты перемножаемых векторов

BA найдены, можно

ЗF и

применить формулу (4.3):

F BA F

1; 4; 7 .

4 j

7 k

или

org

mB F

момента

силы (т.е.

)

используем

Для вычисления величины

matem

формулу (2.10):

1 16 49 66 .

Направляющие косинусы вектора момента силы легко найти по форму-

лам (2.13):

cos

0,12 ;

cos

0,49 ;

cos

0,86 .

Пример 4.17. Найти координаты вектора x , если известно, что он пер-

пендикулярен векторам a 4; 2; 3 и

b 0; 1; 3 , образует с осью Оу

тупой угол и

26 .

Решение. Известно (см. определение векторного произведения), что век-

тор c a b перпендикулярен векторам a и b . Следовательно,

векторы c и

x коллинеарны, т.е. справедливо равенство x c , где некоторое число. Согласно формуле (4.3):

c a b	i	j	k	3i 12	j 4 k	x 3i 12 j 4 k ,
c a b	4 2 3			3i 12	j 4 k	x 3i 12 j 4 k ,
	0	1	3

причем 0, поскольку в этом случае проекция записанного вектора на ось

Оуотрицательна, т.е. он составляет с этой осью тупой угол. Потребуем теперь, чтобы модуль вектора x был равен 26:

3 2 12 2 42 26

13 26

2 .

В результате получаем искомый вектор

x 2 3i 12 j 4 k 6i 24 j 8"k .

Упражнения для самоконтроля"

1. Векторы a и b

6 ,

образуют угол Г6 . Зная, что

вычислить

a b

2. Даны:

a b

a b е12. Вычислить

.org

3. Даны:

matem

72 . Вычислить a b .

26 ,

перпендикулярны. Зная, что

4. Векторы a и b взаимнос

вычислить: а)

;

б)

a b аa b

b a

2 ,

5. Векторы a еи

b образуют угол 2 3 . Зная, что

вычислить: а)

;

a b

; б) 2a

2b a

в) a 3b 3a

6. Даны векторы a 3; 1;

2 и b 1; 2; 1 . Найти координаты век-

торов: а)

a b ; б)

2a b 2a b .

7. Даны точки A 4; 1;4 ,

B 3; 4;1 и C 5; 4; 3 . Найти координаты век-

торных произведений: а)

AB BC ;

б)

CB .

BC 2 AC

8. Вычислить площадь параллелограмма, построенного

на

векторах

a 8i 4 j k и b 2i 2 j k .

9. Вычислить площадь треугольника с вершинами A 4; 2;3 , B 5; 1;2

и C 6; 5; 8 .

10.Даны вершины треугольника A 1; 1;2 , B 5; 6;2 и C 1; 3; 1 . Вычислить длину высоты, опущенной из вершины B на сторону AC .

11.Площадь треугольника равна 35 2 , две его вершины лежат в точ-

ках A 2; 1;3 и B 1; 2;1 . Найти координаты вершины C , если известно, что

она лежит на оси Oz.

12. Вычислить синус угла , образованного векторами a 2; 2; 1 и

b 2; 3; 6 .

d , зная, что

13.

Найти

вектор

он перпендикулярен

к векторам

a 2; 3;

1; 2; 3

удовлетворяет

условию d c 10 , где

c 1; 2; 7 .

3; 2; 4 приложена к точке

A 2; 1; 1 . Определить мо-

14. Сила F

мент этой силы относительно начала координат.

15.

Сила

F 2; 4; 5 приложена к точке

M 4; 2; 3 . Определить

момент этой силы относительно точки A 3; 2; 1 .

16. Даны три силы:

F 3; 1; 5 , иF 2;2; 1 и F 4;1;5 ,

к 2

приложенные к точке C 2;3; 2 .

Вычислить величину и направляющие ко-

синусы

момента

равнодействующейе F

сил

относительно

точки

uaэтих

A 1;2; 1 .

.org

числить

a b c и a b c . matem

17.

3; 1; 2 и

c 1; 2; 3 . Вы-

Даны векторы: a е2; 3; 1 , b

Ответы

1. 15.

30.

4. а) 24;

б) 60.

5. а) 3;

б) 12 ; в) 300 .

0а.

7 ;

б)

12; 20; 28 .

6. а) 3; 5;

7. а) 6; 4; 6 ;

б)

12; 8; 12 .

8. 18

2 .

78 .

10.

5 .

11. C 0; 0; 2 .

12.

sin

13. d 7; 5; 1 .

14.

mA F 4; 3; 4 .

mO F 2; 11; 7 . 15.

16.

mA F

66 ,

cos

17. a b c 7; 14; 7 ;

a b c 10; 13; 19 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб1Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx