BIS4_matem_org_ua

5. СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕВЕКТОРОВ

Скалярное произведение вектора с на векторное произведение векторов

а и b

называют смешанным или векторно-скалярным произведением век-

торов а

, b

и с. Записывают a b c .

Геометрический смысл. Векторно-скалярное или смешанное произве-

дение трех векторов

a b

с

это скаляр,

абсолютная

величина

кото-

рого равна объему параллелепипеда с ребрами а , b ,

с (рис. 5.1).

S а b

Действительно, пусть a

b = S . Тогда

a b с= S c S npS c S h .

"

Первый сомножитель здесь определяет

У

с

площадь

Г

второй

с

точно-

основания,

Н

"

h

стью до знака

высоту параллелепи-

З

b

У

0

В

,

педа ( hГ nps c

0, если с,S 90

а

и

к

0

и

h

т

).

Поэтому

Рис. 5.1

0 при с,S 90

а

м

.

еобъемuaпараллелепипеда

т

а

м

.org

b

с .

(5.1)

V

й

Смешанное

е

в

координатной

форме.

Пусть

произведениеш

a a

,

с

,

matem

,a

,a

ы

,c

,c

. Тогда

x

y

z

b b ,b

,b

c

c

x

y

z

x вy

z

а

р

i

д

j еk

ф

S = a b

а

az Sx i Sy j

Sz k ;

S c Sxcx Sycy Szcz S .

= axКay

bx by bz

Таким образом, скалярное умножение вектора S на вектор с сводится к заме-

Sxi Sy j Szk

ортов i

, j ,

k

соответствующими проек-

не в векторе S =

циями вектора с. Поэтому

сх

су

сz

S с= ax

ay

az .

bx

by

bz

Так как двойная перестановка строк определителя не меняет его величины, то

окончательно получим

a b

с=

ах

ау

аz

bx

by

bz

.

(5.2)

сx сy сz

Свойства смешанного произведения:

1)

a b с= с a b b с a .

b

Циклическая, т.е. круговая перестановка сомножителей не

а

изменяет величины смешанного произведения. Это выте-

с

кает из формулы (5.2), так как циклическая перестановка

сомножителей

сопровождается

двойной

перестановкой

строк определителя, а значит, не меняет величину этого определителя.

"

Вместе с тем, перемена местами двух соседних сомножителей приводит

У

Г

к одной перестановке строк, а значит, к изменению знака определителя:

Н

"

З

b

b

b .

a

с=

b а

с,

a

Ус= а

с

В

Г

Поскольку важен лишь циклический порядоккиследования векторов, то произ-

и

а

ведение

a b

т

с можно записать проще:

a b с, причем операцию векторно-

м

ua

.

го умножения допустимо отнести к любойе

паре соседних векторов:

т

org

а

.

a b с= a bм с

a b с= a b c ;

ы

matem

й

с

е

b

с= 0 в том и только в том случае,

2) для ненулевых векторовш

когда векторы a ,b , с

в

компланарны.

а

р

Действительно,десли векторы компланарны, то параллелепипед вырож-

е

ф

дается в часть плоскости, следовательно, фигура имеет нулевой объем. Наобо-

а

0 , то либо

b

0

рот, если a

bКс

a

(при этом а b ), либо a b

с.

В обоих случаях векторы

a,b ,с компланарны.

Равенство

ax

a y

az

=

bx by

bz

0

(5.3)

abc

= a

b c

cx

c y

cz

Пример 5.1. Векторы а ,

b и с,

образующие правую тройку, взаимно

перпендикулярны (рис. 2.5). Найти смешанное произведение этих векторов,

если

a 3, b 2 ,

c 4.

Решение.

Из геометрического смысла смешанного произведения следу-

с

ет, что

a bc

равен объему параллелепипеда с

ребрами а , b и

с. Поскольку тройка векторов

правая, то можно записать

a bc V .

b

Так как векторы взаимно перпендикулярны, то

а

параллелепипед является прямоугольным. Его

объем можно вычислить через длины ребер по

Рис. 5.2

формуле V

b

"

a

c .

У

Г

Н

Следовательно, в данном случае

"

З

У

24 .

a bc a b c 3 2В4

Г

и

к

Пример 5.2. Доказать тождество

и

тa c b a b a bc .

а

Решение. Раскроем скобки в левой части заданного выражения и приме-

м

.

е

ua

ним свойства скалярного, векторноготи смешанного произведения векторов: