Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

BIS4_matem_org_ua

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

a b

2 b

2 a

bЗ

Рис. 1.11к

противоположно.ua

направленные век-

Пример 1.6. Даны коллинеарныее

торы a и b

, причем

a 2 ,

5. Построить.org

векторы a b

, a

и найти

matem

их длины.

с концом вектора a .

Суммой

Решение. Совмещаем начало вектора b

a b будет вектор,

с концом вектора b

соединяющий начало вектора

следует, что этот вектор сонаправлен с вектором b ,

(рис. 1.12 а). Из рисункад

а его длина

a b

5 2 3. Для получения разности a b скла-

(рис. 1.12

б). Очевидно,

a b

дываем векторы

2 5 7 .

a b

Рис. 1.12

Пример 1.7.

По

данным

векторам m, n

построить

вектор

a m 2n 3 p .

Решение. От произвольной точки О отложим вектор m. С концом этого вектора совместим начало вектора n , длину которого увеличим в два раза. Из конца последнего вектора отложим вектор параллельный p , но направим его в

противоположную сторону и увеличим длину в три раза. По правилу сложения

векторов соединим начало первого вектора m с концом последнего

3 p .

В результате получим искомый вектор a (рис. 1.13).

3 p

Рис. 1.13

Пример 1.8. В параллелограмме

"Н

ABCD Ззаданы векторы

AB m ,

BC , CB , CD , AC , BD и BM ,

AD n . Выразить через

m и n векторы

где M – точка пересечения диагоналей.

.векторовua

Решение. Из определения равенства

следует BC = AD n

org

Вектор CB

matem

(см. пример 1.2 и рис. 1.14).

противоположен

вектору BC ,

поэтому

n .

Вектор

CD противоположен

вектору AB , следовательно,

Рис. 1.14ф

CD m .

Согласно правилам сложения и вычитания

= n m . В точке

векторов AC =

= m + n ; BD

= AD

пересечения

диагонали

параллелограмма

делятся

пополам,

поэтому

2 BD 2 n

m .

Пример 1.9. В треугольнике ABC сторона AB разделена точками D

и F на три равных отрезка AD DF FB . Найти векторы CD и

CF , если

b (рис. 1.15).

CA a и CB

Решение. По правилу вычитания векторов AB CB CA b a .

Из условия примера вытекает:

AD DF FB 3 AB 3 b a .

Из рис. 1.15 очевидно, что

1 AB

b 2a ;

Рис. 1.15

b 2a

b a

CD DF CD

1 AB 1

2b a .

Пример 1.10. В ромбе

AC a и

BD b .

ABCD даны диагоналиУ

Выразить через a и b векторы

AB ,

BC ,

CDи

DA (рис. 1.16).

Решение. Диагонали ромба в точкетих пересечения делятся пополам.

Поэтому AM MC

a ,

BM MDт

b . Согласно правилам сложения

org

matem

и вычитания векторов

AB AM MB AM BM

b ,

вы

;

т.е.

BC BM MC

или

a b .

Рис. 1.16

Противоположные стороны ромба равны и параллельны, откуда следует:

	1 b		a ;			1	a	b .
CD AB	1 b		a ;		DA BC	1	a	b .
	2					2

Пример 1.11. AD,	BE и			CF медианы треугольника ABC . Дока-
		0 .
зать равенство AD BE CF		0 .

Решение. Для упрощения записей введем обозначения AB a , 12

b . Очевидно (рис. 1.17),

b a .

По правилам сложения и вычи-

тания

векторов, учитывая, что медианы

треугольника делят его стороны пополам,

имеем:

1 b a

1 BC a

b ;

a ,

Рис. 1.17

Следовательно,

AF AC

2 a

b .

AD BE

Гa b

0 .

двух сил F1 и F2 ,

Пример 1.12. Найти величину равнодействующейВ

если

2 ,

2 , а угол между ними 45к .

Решение. Построим параллелогра

ОАВС на векторах F и F . Рав-

нодействующая F сил F и F

(рис. 1.18) по правилу параллелограмма будет

org

180

. По теореме

OB OC OA, т.е.

F F еF . Угол

135

matem

косинусов из треугольника ОАВ:

cos1350

или

2 2

ф F

10,

Рис. 1.18

откуда

10 .

Пример 1.13. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b ,

чтобы

a b

Решение

Построим

параллелограмм АВCD на векторах а и b .

По правилам сложения и вычитания векторов

a b

есть длина диаго-

нали AC этого параллелограмма, а

a b

длина диагонали BD . Известно,

что диагонали параллелограмма равны только тогда, когда параллелограмм

a b

является прямоугольником. Следователь-

но, необходимое и достаточное условие

a b

выполнения равенства

перпендикулярность векторов а и

b .

Именно такой случай

изображен

на

рис. 1.19.

Рис. 1.19

Пример 1.14. Какому условию должны удовлетворять векторы а и b , чтобы вектор a b делил пополам угол между векторами а и b ?

Решение. По правилу параллелограмма a b – вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на

a b

векторах а

b .

Из геометрии"

известно, что

диагональ делит угол приГвершине параллело-

грамма пополам только в случае, когда этот па-

ромбом,

т.е. длины его

раллелограмм являетсяУ

Следовательно, должно вы-

сторон совпадают.

полняться условиек

(рис. 1.20).

Рис. 1.20

Пример 1.15. Три силы

F ,

Fе

приложенные к одной точке,

и Fua,

т2

. Определить величину их рав-

имеют взаимно перпендикулярные направления.org

2 ,

10,

11.

нодействующей F , если известно, что

Решение. Построим на заданныхmatemвекторах как на сторонах параллелепи-

пед (рис. 1.21). Поскольку стороны основания

OA и CB равны и параллельны, то CB F2 .

В силу

параллельности

и равенства ребер

F3 . По правилу

OO1 и

BB1

имеем

BB1

сложения векторов получаем:

BB1 F1 F2

F3 OB1 или

F OB1 .

Таким образом, равнодействующая сила сов-

Рис. 1.21

падает с диагональю параллелепипеда.

Составляющие силы взаимно перпендикулярны, т.е. параллелепипед

прямоугольный. Поэтому

102 112 225,

откуда определяем величину равнодействующей силы F 225 15.

Упражнения для самоконтроля

1. Даны коллинеарные противоположно направленные векторы a и b ,

причем

2 . Построить вектор

3a 2b и найти его модуль.

2. Даны

единичные векторы m,

n и

p . Угол между векторами m и n

равен 300 , а между n и p 900 . Построить вектор a 3m n 2 p .

3. В треугольнике ABC проведены медианы AK ,

BL , CM . Выразить

c .

векторы AK , BL

и CM через

BC a и AB

4. В параллелограмме ABCD обозначены

, AD b . Выразить

через a и b векторы MA,

MC и MD , где M точка" пересечения диа-

гоналей.

В равнобедренной трапеции

ABCD

AD 4 .

"BC CD

M и N середины сторон BC и CD . ВыразитьВ векторы DC , AM ,

AN и

AB и AD соответст-

MN через m и n единичные векторы направлений

венно.

12.

org

, причем

6. Векторы

a и b взаимно перпендикулярныт

Определить

a b

matem

a b .

7. Даны векторы a и

что

13,

24.

сb . Известно,

a b

Вычислить

– угол между векторами.

a b

и cosа , где

8. В

OABCO1A1B1C1

заданы

векторы

параллелепипедеф

OA m ,

OC n

и OO1

Выразить через m

n и

p векторы OB1 , A1C , B1B ,

OB , AC , OC1 ,

OA1 ,

C1B , O1B

и A1B .

9.ABCDEF правильный шестиугольник, причем AB p, BC q .

Выразить через p и q векторы CD , DE , EF , FA, AC ,

AD и AE .

10.

Три вектора a , b

и c

расположены в одной плоскости. Даны их

длины:

Известно, что векторы b

и c

составляют с

вектором a углы в 600 . Определить угол между векторами b и c и длину вектора s a b c .

Ответы

1. 3a 2b 7.

1 a

1 c .

3. AK c

;

; CM

1 a

a .

4. MA

1 a b ; MB

b ; MC

1 a b ; MD

5. DC

2 m n ; AM 2m n ;

; N

2n m .

6. a b

a b

13.

a b 22 ;

cos 23 247 .

8. OB1

A1C

p ; B1B p ; OB

m n ;

AC m n ;

OC n p ;

OA m p ;

C B

m p ;

1У

"Н

O1B m n

p ;

A1B

n p.

9. CD q p ; DE p ;

q ;

AC p q ;

EF q ; FA

AD 2q ;

AE 2q p .

0.ua

10. 120

или

37 .

т 0

org

2. Разложениесвектора по базису. Координаты

matem

2р.1. Проекция вектора на ось

вектор а

АВ.

Из его начала и конца опустим

Пусть даны осьф

перпендикуляры на ось. Их

основания обозначим А1 и В1.

Проекцией вектора а АВ на

ось l

(записывают

прl a ) на-

900

зывают

длину

вектора

А1В1 ,

А1

В1

взятую

со

знаком

«+»,

если

Рис. 2.1

направление

этого

вектора

совпадает с направлением оси,

или взятую со знаком « », если эти направления противоположны. Проекция

вектора это скаляр. Справедливы свойства:

1. При параллельном переносе вектора его проекция на ось не меняется.

Следовательно, равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

2.Проекция ненулевого вектора на ось равна нулю тогда и только тогда, когда вектор перпендикулярен оси.

3.В общем случае (рис. 2.1)

прl a		a		cos ,	(2.1)

где угол между вектором и осью, т.е. это угол, на который нужно повернуть ось, чтобы ее направление совпало с направлением вектора (угол считают положительным, если его отсчет происходит против хода часовой стрелки).

4. Скалярный множитель можно выносить за знак проекции

прl а прl a .

(2.2)

5. Проекция суммы векторов равна

сумме проекций слагаемых

пр

(2.3)

пр"a пр b .

Равенство (2.2) непосредственно сле-

А1

В1

дует из (2.1). В справедливости формулы

Рис. 2.2

, обратившись к оп-

(2.3) можно убедитьсяУ

и рис. 2.2.

ределению проекцииГ

Пример 2.1.

Пусть a , b

и c

векторы,

составляющие с

единичныет

данной осью l соответственно углы

т,

и . Найти проекции на ось l век-

org

а3 .2

торов a , b ,

c и

matem

d 2a b

3йc .

Решение. Поскольку

единичные, то

1. Соглас-

свекторыш

np a

cos

;

np b

cos

но формуле (2.1) имеем:

cos

0 ; npаc

cos cos 1 (рис. 2.3 а).

npl c 1

npl a 1 2

npl

d 2

а	б
	б
	Рис. 2.3

Применив свойства 4 и 5 проекций можно записать: 17

np d

2a b 3c 2np a

np b 3np c 2 1 0 3 1 2

(рис. 2.3 б).

Пример 2.2. Найти проекцию суммы векторов a , b , c

и d

на ось l ,

если

6 ,

12,

а углы, составляемые этими векторами

с осью l , соответственно равны 0,

, и

Решение. Используя формулы (2.1) и (2.3), получим

b c d

a b c d

np a

np b np c

np d

" l

cos

cos 0

cos

8 1 12

.5ua1

org

Рис. 2.4

matem

(рис. 2.4).

2.2. Базисы на плоскости и в пространстве

Пусть

является

линейной

комбинацией

векторов

вектор

, ,

,а

, т.е.

d = 1а1 2а2 как,

где 1 , 2

, , к

некоторые числа. Говорят,

что вектор d

разложен по

векторам а1 ,а2 ,

,ак .

Систему векторов а1

,а2

,ак

называют линейно независимой, если

ни один из заданных векторов нельзя представить как линейную комбинацию остальных векторов или, что то же самое, если равенство

1а1 2а2 как 0

возможно лишь тогда, когда все числа 1 , 2 , , к равны нулю. Если указанное равенство выполняется, к примеру, при 1 0, то

а	2	а	3	а			к	а	, т.е.	а		оказывается линейной комбина-
1	1	2	1		3		1	к		1
цией остальных векторов,						следовательно,					система а1 ,а2 , ,ак		линейно

зависима.

Два вектора линейно зависимы только в том случае, если они коллинеарны.

Три вектора в пространстве линейно зависимы только тогда, когда они компланарны.

Четыре и более векторов в трехмерном пространстве всегда линейно за-

висимы.

Пусть даны два неколлинеарных вектора е1

и е2 . Любой

Теорема 1.

компланарный с ними вектор а раскладывается по этим векторам. Такое раз-

ложение единственно.

Пример 2.3. Доказать теорему 1.

построим паралле-

Решение. Приведем векторы к общему началуЗО и

лограмм с диагональю ОА

е1 и е2

лежали на его сто-

а так, чтобы векторы

ронах

2.5).

Построение

единственно.

(рис.

ОР.uaколлинеарен вектору е1, следо-

Вектор

е2

org

выражается

через

него, т.е.

вательно,

Рис. 2.5

matem

е1

1е1

(см.

раздел

1.2).

Аналогично

ОР

2е2 , где Q1, 2

некоторые числа.

Так как a OA OPе OQ , получаем:

а 1е1 2е2 .

(2.4)

Это и означает, что вектор а разложен по векторам е1 и е2 .

Систему линейно независимых векторов, по которой возможно разложение произвольного вектора (в данном случае компланарного с е1, е2 ), называ-

ют базисом. В качестве базиса на плоскости можно выбрать любые два неколлинеарных вектора, взятых в определенном порядке.

Теорема 2. Пусть даны три некомпланарных вектора е1, е2 , е3 . Любой вектор а раскладывается по ним. Такое разложение единственно.

Пример 2.4. Доказать теорему 2.

Решение. Отнесем векторы к общему началу О. Через точку А конец

вектора а ОА проведем параллельно е3 прямую. Пусть Р точка пересечения этой прямой с плоскостью векторов е1, е2 . Построение единственно

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб1Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx
#
22.11.2019185.21 Кб2BYuDZhETUVANNYa_Rob_zoshit_dlya_studentiv.docx