Lineynaya algebra i analitich_geom / Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011

Значит матрица в базисе {e1' , e2'

Значит матрица в базисе {e1' , e2'

} имеет вид

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

8.52 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

x'	1		4	3	6	15

y'		1/ 3	7 / 3	2	3		7	,
		4 / 3	16 / 3	5	1		19
z'		4 / 3	16 / 3	5	1		19

значит координаты x {6,3,1}относительно базиса {e1' , e2' , e3' } будут {15, 7, 19}.

Задача 5. Пусть x (x1 , x2 , x3 ) . Являются ли линейными следующие преобразования:

Ax (6x1 5x2 4x3 ,3x1 2x2 x3 , x2 ), Bx (6x1 5x2 4,3x1 2x2 x3 , x2 ), Cx (6x1 5x2 4x33 ,3x1 2x2 x3 ,0).

Здесь линейным преобразованием будет преобразование А, т. к. при линейном преобразовании координаты получившегося вектора будут линейными комбинациями координат исходного вектора.

Матрица линейного оператора А:

6		5	4

А	3	2	1	.
	0	1	0
	0	1	0

Задача 6. Пусть x {x1 , x2 , x3}, Ax {x2 x3 , x1 , x1 x3}, Bx {x2 ,2x3 , x1}. Найти:

B2 A x.

X {x1 ; x2 ; x3}, Ax {x2 x3 ; x1; x1 x3}, Bx {x2 ;2x3 ;x1}

			0		1 0				0			1 0			0 0							2

B 2 B B				0	0 2					0		0 2						2 0				0		,
				1	0 0					1		0 0						0 1				0
				1	0 0					1		0 0						0 1				0
	0			0	2		0 1					1			0 1							1
B 2 A		2		0	0			1 0					0			3 0						0	,

		0		1	0			1 0					1			1 1						1
		0		1	0			1 0					1			1 1						1
			0		1 1 x								x			x
(B 2 A)x											1				2					3
(B 2 A)x				3	0 0					x	2				3x							,
											2							1
			1		1 1	x					3		x x				2		x		3
											3			1			2				3

т.е. B2 A x {x2 x3 ;3x1 ; x1 x2 x3}.

Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e1 ', e2 ', e3 ') , где

e1 ' e1 e2 e3 , e2 ' e1 e2 2e3 , e3 ' e1 2e2 e3 , если она задана в базисе

(e1 , e2 , e3 ) .

А'?, A' T 1 A T

2 0			1	1		1	1

A	0	1	1	, Т	1	1	2	.
	1	1	1		1	2	1

Найдем Т 1 .
			1	1	5		3	1
		1	1	1	5		3	1

	Т	1	1	2	1, T 1	3	2	1	.
		1	2	1		1	1 0
		1	2	1		1	1 0

5		3	1 2 0			1 1		1	1

A'	3	2	1	0	1	1	1	1	2
	1	1	0	1	1		1	2	1
	1	1	0	1	1	1	1	2	1

11		4	1 1		1	1	6		5	4

	7	3	0	1	1	2		4	4	1	.
	2	1	0	1	2	1		1	1 0
	2	1	0	1	2	1		1	1 0

Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i, j, k ), образ и ядро оператора

поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 2 .

Если x {x1 , x2 , x3 }, то Ax {x2 ,x1 , x3 } .

Оператор является линейным, если

A x Ax и A(x y) Ax Ay .

x (x1 ; x2 ; x3 ) A( x) (x2 ;x1 ; x3 ) Ax . x y {x1 y1 ; x2 y2 ; x3 y3}.

A(x y) {x2 y2 ;x1 y1 ; x3 y3}.

0		1	0

Т.е. оператор А является линейным и его матрица A	1	0	0	.
	0	0	1
	0	0	1

Область значений оператора А — это множество всех векторов y Ax {x2 ;x1 ; x3}.

Ядро линейного оператора — множество векторов, которые А отображает в нуль-вектор:

KerA {0;0;0}.

Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.

2		1	0
	1
	1	2	0	.
	1	1	1
	1	1	1

Составляет характеристическое уравнение и находим его решение.

	2	1			0
	2	1			0
	1	2			0		0,
	1	1		1
(2 )(2 )(1 ) (1 ) 0,
(1 )(2			4 3) 0,
( 1)2 ( 3) 0.
Собственные значения: 1,2								1, 3 3.
Найдем собственные вектора.
			x	x		0			x		C
1,2 1			1		2					1	1
1,2 1		, x1 x2 0							x2 C1 ;
			x	x	2	0			x	3	C	2
			1		2					3		2