Lineynaya algebra i analitich_geom / Resheniya_zadach_po_kuznecovu_lineynaya_algebra_izdanie_2011
.pdfAx (3x1 2x2 x3 ,0, x1 2x2 3x3 ),
14.Bx (3x1 2x2 1,0, x1 2x2 3),
Cx (3x1 2x2 x3 ,0, x12 2x2 3x3 ).
Ax (x1, x2 2x3 ,3x1 4x2 5),
15.Bx (x1, x22 2x3 ,3x1 4x2 5), Cx (x1, x2 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ).
Ax (2x1 x2 , x32 ,2x1 3x2 4x3 ),
16.Bx (2x1 x2 , x3 ,2x1 3x2 4x3 ), Cx (2x1 x2 , x3 ,2x1 3x2 4).
Ax (x1, x2 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ),
17.Bx (x1, x2 2x3 ,3x1 4x2 5), Cx (x1, x22 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ).
Ax (3x1 2x2 1,0, x1 2x2 3x3 ),
18.Bx (3x12 2x2 x3 ,0,0),
Cx (3x1 2x2 x3 ,0, x1 2x2 3x3 ).
Ax (2x12 x2 , x3 ,2x2 3x3 ),
19.Bx (2x1 x2 , x3 ,2x2 3x3 ), Cx (2x1 x2 , x3 ,2x2 3).
Ax (0, x1 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6x3 ),
20.Bx (0, x1 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6), Cx (0, x12 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6x3 ).
Ax (6x1 5x2 4x3 ,3x1 2x2 x3 , x2 ),
21.Bx (6x1 5x2 4,3x1 2x2 x3 , x2 ), Cx (6x1 5x2 4x33 ,3x1 2x2 x3 ,0).
Ax (5x1 4x2 3,2x1 x2 , x1 2x2 3x3 ),
22.Bx (5x1 4x2 3x33 ,2x1 x2 , x1 2x2 3x3 ), Cx (5x1 4x2 3x3 ,2x1 x2 , x1 2x2 3x3 ).
Ax (4x1 3x23 2x3 , x1 x3 ,0),
23.Bx (4x1 3x2 2x3 , x1 x3 ,2x1 3x2 4x3 ), Cx (4x1 3x2 2,3x1 x3 ,2x1 3x2 4x3 ).
Ax (3x1 4x2 5x3 ,6x1 7x2 8x3 ,9x1 x3 ),
24.Bx (3x1 4x2 5,6x1 7x2 8,9x1 x3 ), Cx (3x1 4x2 5x33 ,6x1 7x2 8x3 ,0).
Ax (2x1 3x2 4,5x1 6x2 7,8x1 x3 ),
25.Bx (2x1 3x2 4x33 ,5x1 6x2 7x3 ,0),
Cx (2x1 3x2 4x3 ,5x1 6x2 7x3 ,8x1 x3 ).
Ax (x13 x3 ,2x1 3x2 4x3 ,0),
26.Bx (x1 x3 ,2x1 3x2 4x3 ,5x1 6x2 7x3 ), Cx (x1 1,2x1 3x2 4,5x1 6x2 7x3 ).
Ax (3x1 2x2 x3 , x2 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ),
27.Bx (3x1 2x2 1, x2 2,3x1 4x2 5x3 ), Cx (3x1 2x2 x33 , x2 2x3 ,0).
Ax (2x1 x2 , x1 2x2 3,4x1 5x2 6x3 ),
28.Bx (2x1 x23 , x1 2x2 3x3 ,0),
Cx (2x1 x2 , x1 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6x3 ).
Ax (x13 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6x3 ,7x1 8x2 ),
29.Bx (x1 2x2 3x3 ,4x1 5x2 6x3 ,7x1 8x2 ), Cx (x1 2x2 3,4x1 5x2 6,7x1 8x2 ).
Ax (x2 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ,6x1 7x2 8x3 ),
30.Bx (x2 2,3x1 4x2 5,6x1 7x2 8x3 ), Cx (x23 2x3 ,3x1 4x2 5x3 ,6x1 7x2 8x3 ).
Ax (x12 , x1 x3 , x2 x3 ),
31.Bx (1, x1 x3 , x2 x3 ), Cx (x1, x1 x3 , x2 x3 ).
Задача 6. Пусть x {x1 , x2 , x3}, Ax {x2 x3 , x1 , x1 x3}, Bx {x2 ,2x3 , x1}. Найти:
1.ABx.
2.A2 x.
3.A2 B x.
4.B4 x.
5.B2 x.
6.2A 3B2 x.
7.A2 B2 x.
8.B2 A x.
9.BAx.
10.2A 2A B x.
11.A 2B A x.
12. |
2 AB 2A x. |
22. |
A B A x. |
||
13. |
A B 2 x. |
23. |
AB2 x. |
||
14. |
B 2A2 x. |
24. |
A B A x. |
||
15. |
BA2 x. |
25. |
2 B 2A2 B2 x. |
||
16. |
3A2 B x. |
26. |
B A B x. |
||
17. |
A2 |
B x. |
27. |
B A B2 x. |
|
18. |
A2 |
B2 x. |
28. |
B A B x. |
|
19. |
2B A2 x. |
29. |
A BA B x. |
||
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
30. |
3B 2A x. |
||
20. |
B x. |
||||
|
|
||||
21. |
B2 |
2A x. |
31. |
B 2A B x. |
|
Задача 7. Найти матрицу линейного оператора в базисе (e1 ', e2 ', e3 ') , где
e1 ' e1 e2 e3 , e2 ' e1 e2 2e3 , e3 ' e1 2e2 e3 , если она задана в базисе (e1 , e2 , e3 ) .
1 |
0 |
|
2 |
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1. |
3 |
|
0 |
|
. |
|||
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
||||||
|
2 |
1 |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
3 |
0 |
|
4 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
2 |
|
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
4 |
1 |
|
0 |
|
. |
||
|
2 |
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||||||
1 |
2 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
3 |
0 |
1 . |
|
||||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
3 |
0 |
|
2 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
3 |
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
2 |
1 |
|
1 . |
||||
|
0 |
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
||||||
1 |
3 |
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
2 |
1 |
1 . |
|
||||
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
3 |
0 |
2 |
. |
|
|
||
|
1 |
0 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
4 |
0 |
|
|
1 |
. |
||
|
1 |
2 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
||||||
|
1 |
1 |
|
0 |
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
||
10. |
0 |
1 |
. |
|||||
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
0 |
0 |
|
2 |
. |
|||
|
|
1 |
3 |
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
0 |
|
|
1 |
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12. |
1 |
|
|
0 |
. |
||
|
2 |
1 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
0 |
2 |
|
|
0 |
. |
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
0 |
2 |
|
|
1 |
. |
|
|
1 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
2 |
0 |
1 . |
|
|
||
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
1 |
1 |
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
16. |
1 |
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
0 |
|
|
1 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
17. |
0 |
|
|
2 |
. |
||
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
0 |
|
|
2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
18. |
3 |
0 |
|
|
1 . |
||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
19. |
1 |
1 |
|
|
1 |
. |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
1 |
1 |
1 |
. |
|
||
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
1 |
1 |
0 |
. |
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
0 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
2 |
1 |
|
|
1 . |
||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
1 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
0 |
2 |
1 . |
|
|||
|
1 |
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
0 |
3 |
2 |
|
. |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
25. |
0 |
1 |
1 . |
|
|||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
26. |
1 |
1 |
1 |
|
. |
|
|
|
0 |
2 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
27. |
3 |
1 |
. |
||||
|
0 |
1 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
1 |
0 |
1 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
1 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
0 |
1 |
1 . |
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|||||
2 |
1 |
|
0 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
30. |
0 |
|
|
1 |
. |
||
|
1 |
1 |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
31. |
0 |
|
1 . |
||||
|
1 |
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 8. Доказать линейность, найти матрицу (в базисе i, j, k ), образ и ядро оператора:
1. Проектирования на ось Ox .
2.Проектирования на плоскость z 0 .
3.Проектирования на ось Oz .
4.Зеркального отражения относительно плоскости Oyz .
5.Проектирования на ось Oy .
6.Проектирования на плоскость y 0 .
7.Зеркального отражения относительно плоскости x y 0 .
8.Зеркального отражения относительно плоскости y z 0 .
9.Проектирования на плоскость y z 0 .
10.Проектирования на плоскость y 
3x .
11.Проектирования на плоскость Oyz .
12.Зеркального отражения относительно плоскости x z 0 .
13.Зеркального отражения относительно плоскости Oxy .
14. Поворота относительно оси Ox на угол 
2 в положительном направлении.
15.проектирования на плоскость x y 0 .
16.проектирования на плоскость y z 0 .
17.зеркального отражения относительно плоскости x y 0 .
18.зеркального отражения относительно плоскости y z 0 .
19.проектирования на плоскость x y 0 .
20.проектирования на плоскость x z 0 .
21.зеркального отражения относительно плоскости x z 0 .
22.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 
2 .
23.проектирования на плоскость 
3y z 0 .
24.зеркального отражения относительно плоскости Oxz .
25.поворота в положительном направлении относительно оси Oy на угол 
2 .
26.проектирования на плоскость x z 0 .
27.проектирования на плоскость y 
3z 0 .
28.проектирования на плоскость 
3x z 0 .
29.проектирования на плоскость 
3x y 0 .
30.поворота относительно оси Oz в положительном направлении на угол 
4 .
31.проектирования на плоскость x 
3z 0 .
Задача 9. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы.
4 |
2 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
1 |
3 |
|
1 . |
|||
|
1 |
2 |
|
2 |
|
||
|
|
|
|||||
2 |
1 |
|
0 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2. |
2 |
|
0 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
0 |
2 |
1 . |
|
|||
|
0 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||
5 |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
0 |
4 |
1 . |
|
|||
|
0 |
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|||||
6 |
2 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
1 |
5 |
|
1 . |
|||
|
1 |
2 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|||||
3 |
1 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
|
2 |
2 |
1 . |
|||
|
2 |
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|||||
2 |
0 |
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
1 |
1 |
1 . |
|
|||
|
1 |
0 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||
2 |
1 |
0 |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
8. |
2 |
0 |
. |
|
|||
|
1 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
1 |
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
1 |
4 |
0 |
. |
|
||
|
1 |
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
2 |
4 |
|
1 . |
|||
|
|
2 1 |
|
6 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
5 |
4 |
|
4 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
2 |
1 |
|
2 |
. |
||
|
|
2 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
12. |
2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. |
0 |
3 |
|
0 |
. |
|
|
|
0 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
14. |
0 |
5 |
|
0 |
. |
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. |
2 |
3 |
|
2 |
. |
|
|
|
2 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
16. |
4 |
|
4 |
. |
|
|
|
|
4 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. |
2 |
3 |
|
2 |
. |
|
|
|
2 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13 |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
6 |
|
||
18. |
6 |
9 |
|
. |
|||
|
2 |
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
7 |
2 |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
19. |
4 |
5 |
. |
|
|
||
|
0 |
0 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9 |
0 |
|
0 |
||||
|
|
|
|
4 |
|
||
20. |
2 |
7 |
|
. |
|||
|
2 |
2 |
|
5 |
|
||
|
|
|
|||||
15 |
0 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
4 |
|
||
21. |
2 |
13 |
. |
||||
|
2 |
2 |
|
11 |
|
||
|
|
|
|||||
19 |
2 |
|
2 |
||||
|
|
|
|
6 |
|
||
22. |
6 |
15 |
. |
||||
|
2 |
2 |
|
11 |
|
||
|
|
|
|||||
|
4 |
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
23. |
2 |
3 |
|
2 |
. |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
2 |
1 |
1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
24. |
1 |
2 |
1 . |
|
|
||
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
25. |
1 |
2 |
1 . |
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
5 |
0 |
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
26. |
1 |
4 |
1 . |
|
|||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
6 |
1 |
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
27. |
2 |
5 |
|
2 |
. |
|
|
|
1 |
1 |
4 |
|
|
||
|
|
|
|||||
9 |
6 |
|
6 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
28. |
2 |
|
5 |
|
2 . |
||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
||||
5 |
2 |
|
4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
29. |
0 |
|
3 |
|
|
0 |
. |
|
2 |
|
2 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
4 |
|
2 |
||||
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
30. |
|
5 |
|
. |
|||
|
0 |
|
0 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
3 |
3 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
31. |
1 |
2 |
|
1 |
. |
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Задача 10. Привести квадратичную форму к каноническому виду методом Лагранжа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
|
x2 |
4x x |
2 |
|
4x x |
|
4x |
2 |
x |
3 |
4x2 . |
|
17. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
5x2 |
10x x |
|
4x2. |
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
3 |
||||||
2. |
4x2 |
4x x |
8x x |
|
3x2 |
4x2. |
|
|
18. |
x2 |
4x x |
|
2x x |
|
5x2 |
6x x |
|
x2. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
||
3. |
4x2 |
8x x |
|
4x x |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
19. |
x2 |
4x x |
|
x2 2x x |
4x2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||
4. |
4x2 |
8x x |
|
4x x |
|
3x2 |
2x2. |
|
|
20. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
2x2 |
4x x |
|
x2. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|||
5. |
|
x2 |
4x x |
|
|
4x x |
|
3x2 |
|
4x x |
x2. |
21. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
4x |
x |
2x2. |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|||
6. |
|
x2 |
4x x |
|
|
4x x |
x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
22. |
4x2 |
4x x |
|
4x x |
|
3x2 |
2x2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
7. |
|
x2 |
2x x |
|
|
2x x |
|
3x2 |
|
6x x |
2x2. |
23. |
4x2 |
8x x |
|
4x x |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
|
x2 |
4x x |
|
|
2x x |
|
3x2 |
|
2x x |
x2. |
24. |
4x2 |
8x x |
|
4x x |
|
3x2 |
4x2. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
||||
9. |
|
x2 |
4x x |
|
|
x2 2x x 4x2. |
|
|
|
25. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
3x2 |
4x x |
|
x2. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
||
10. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
26. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
11. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
8x2 |
12x |
x |
4x2. |
27. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
3x2 |
6x x |
|
4x2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
||||
12. |
4x2 |
4x x |
8x x |
|
5x2 |
8x |
x |
4x2. |
28. |
x2 |
4x x |
|
2x x |
|
3x2 |
2x x |
|
x2. |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
|||
13. |
4x2 |
8x x |
4x x |
|
8x2 |
8x |
x |
x2. |
29. |
x2 |
4x x |
|
x2 2x x |
2x2. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
||||
14. |
4x2 |
8x x |
4x x |
|
5x2 |
8x |
x |
4x2. |
30. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
x2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
15. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
5x2 |
12x |
x |
7x2. |
31. |
x2 |
2x x |
|
2x x |
|
2x2 |
4x x |
|
3x2. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
3 |
|
||||
16. |
x2 |
4x x |
|
4x x |
|
8x2 |
16x |
x |
7x2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
3 |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Задача 11. Привести квадратичную форму к каноническому виду ортогональным преобразованием.
1.4x22 3x32 4x1 x2 4x1 x3 8x2 x3 .
2.4x12 4x22 x32 2x1x2 2
3x2 x3.
3.2x12 2x2 2x32 8x1x2 8x1x3 8x2 x3.
4.2x12 9x22 2x32 4x1x2 4x2 x3.
5.4x12 4x22 2x32 4x1x2 8x1x3 8x2 x3.
6.x12 x22 4x32 2x1x2 2
3x2 x3.
7.4x12 4x22 x32 2x1x2 4x1x3 4x2 x3.
8.3x12 x22 32 x32 2
3x1x2 x1x3 
3x2 x3.
9.x12 x22 3x32 2x1x2 6x1x3 6x2 x3.
10.x12 7x22 x32 4x1x2 2x1x3 4x2 x3.
11.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 |
x2 |
|
5 2 |
x2 |
|
3 2 |
x2 |
|
|
2 |
x x x x x x . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
1 |
|
4 |
2 |
|
2 |
3 |
|
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
12.3x12 7x22 3x32 8x1x2 8x1x3 8x2 x3.
13.x12 5x22 x32 4x1x2 5
2x1x3 
2x2 x3.
14. |
x2 |
x2 |
x2 |
|
4 |
x x |
|
8 |
|
2 |
|
x x . |
||
|
|
|
|
|||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
3 |
1 |
2 |
|
|
3 |
2 |
3 |
||
15.2x12 2x22 2x32 4x1x2 5
2x1x3 
2x2 x3.
16.12 x12 5x22 12 x32 4x1x2 3x1x3 4x2 x3.
17.x12 x22 x32 4x1x3 4x2 x3.
18.2x12 2x22 2x32 4x1x2 6x1x3 4x2 x3.
|
2x2 |
3x2 |
2x2 8x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x2 8x x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
19. |
4 |
|
|
|
2x x 2 |
|
|
2x x . |
26. |
2x x |
2 |
|
|
2x x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||||||
20. |
4x2 x2 4x2 |
4x x |
4x x |
|
4x x . |
|
27. |
5x2 |
13x2 5x2 4x x |
|
8x x . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
21. 10x2 14x2 |
7x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
10x x |
|
|
|
2x x |
5 2x x . |
|
2x2 |
2x2 |
2x2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
28. |
|
|
x x |
|
|
|
|
|
x x . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
||||||
22. |
|
x2 |
5x2 |
|
|
x2 |
4x x |
x x |
|
4x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5x2 |
4x2 |
2x2 |
4x x |
2 2x x |
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 1 |
|
2 |
|
2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 3 |
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
29. |
2x x . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
2 |
3 |
|
|
|
x12 x22 |
2x32 4x1x2 |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. |
|
|
2x1x3 |
|
2x2 x3. |
|
30. |
2x2 |
5x2 |
2x2 |
4x x |
|
4x x . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|||
|
2x2 |
3x2 |
2 |
|
|
|
|
4x x |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
3x2 |
9x2 |
3x2 |
2x x |
|
8x x |
|
4x x . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
24. |
|
3x x |
|
|
|
3x x . |
|
31. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
1 |
3 |
|
2 |
3 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
25. |
|
x2 x2 |
x2 |
|
4 |
x x |
|
8 |
|
2 |
x x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача 12. Исследовать кривую второго порядка и построить ее.
1. |
x2 y 2 |
4xy 2x 4y 1 0. |
17. |
3x2 3y2 |
2xy 6x 2y 1 0. |
||||||
2. |
2x2 2y2 |
2xy 2x 2y 1 0. |
18. |
4xy 4x 4y 1 0. |
|||||||
3. |
4xy 4x 4y 0. |
19. |
3x2 3y2 |
4xy 6x 4y 7 0. |
|||||||
4. |
2x2 |
2y2 |
2xy 6x 6y 3 0. |
20. |
4xy 4x 4y 6 0. |
||||||
5. |
3x2 |
3y2 |
4xy 6x 4y 2 0. |
21. |
5x2 5y2 |
2xy 10x 2y 1 0. |
|||||
6. |
2xy 2x 2y 1 0. |
22. |
2x2 2y2 |
4xy 8x 8y 1 0. |
|||||||
7. |
x2 y2 4xy 4x 2y 2 0. |
23. |
x2 y2 2xy 2x 2y 1 0. |
||||||||
8. |
4x2 |
4y2 |
2xy 10x 10y 1 0. |
24. |
2x2 2y2 |
4xy 8x 8y 1 0. |
|||||
9. |
4xy 4x 4y 2 0. |
25. |
3x2 3y2 |
2xy 12x 4y 1 0. |
|||||||
10. |
x2 |
y2 |
2xy 8x 8y 1 0. |
26. |
4xy 8x 8y 1 0. |
||||||
11. |
x2 |
y2 |
4xy 8x 4y 1 0. |
27. |
2x2 2y2 |
2xy 6x 6y 6 0. |
|||||
12. |
x2 |
y2 |
2xy 2x 2y 7 0. |
28. |
x2 y2 4xy 4x 2y 5 0. |
||||||
13. |
2xy 2x 2y 3 0. |
29. |
4xy 4x 4y 4 0. |
||||||||
14. |
4x2 4y2 |
2xy 12x 12y 1 0. |
30. |
3x2 3y2 |
4xy 4x 4y 1 0. |
||||||
15. |
3x2 3y2 |
4xy 8x 12y 1 0. |
31. |
x2 y2 4xy 4x 2y 1 0. |
|||||||
16. |
x2 |
y2 |
8xy 20x 20y 1 0. |
|
|
|
|||||
Задача 1. Образует ли линейное пространство заданное множество, в котором определены
сумма любых двух элементов a и b и произведение любого элемента a на любое число
?
Множество всех сходящихся последовательностей a un , b vn ; сумма un vn ,
произведение un .
Проверим выполнение аксиом для линейного пространства:
А1 : a b b a — выполняется,
А2 : (a b) c a (b c) — выполняется,
А3 :в качества нуля возьмём 0 {0} выполняется,
А4 : в качестве противоположного элемента возьмём a un ,
B1 : a a — выполняется,
B2 : ( a) ( )a — выполняется,
B3 : ( )a a a — выполняется,
B4 : (a b) a b — выполняется.
Т.е. множество всех сходящихся последовательностей с введёнными операциями сложения и умножения на число является линейным пространством.
Задача 2. Исследовать на линейную зависимость систему векторов.
a{5,4,3},
b3,3,2 ,
c{8,1,3}.
Составляем определитель из координат данных векторов.
|
5 |
4 |
3 |
|
(a, b, c) |
3 |
3 |
2 |
45 9 64 (72 10 36) 0. |
|
8 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Т.к. определитель равен нулю, то данная система векторов линейно зависима.
Задача 3. Найти общее решение для каждой из данных систем и проанализировать его структуру (указать базис пространства решений однородной системы, установить размерность пространства, выделить частное решение неоднородной системы).
2x1 x2 2x3 x4 x5 0,x1 10x2 3x3 2x4 x5 0,
4x1 19x2 4x3 5x4 x5 0.
x1 3x2 x3 2x4 1,2x1 7x2 4x3 3x4 3,
x1 4x2 3x3 x4 2.
Решение системы 1.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим ее к треугольному виду.
|
2 |
1 2 |
2 |
1 |
|
|
1 10 3 2 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10 3 2 |
1 |
|
2 1 2 |
1 |
1 |
||||
|
4 |
19 4 5 |
1 |
|
|
4 19 4 5 1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10 3 2 1 |
|
1 10 |
3 2 1 |
||||||
|
|
21 8 3 3 |
|
|
|
0 21 |
|
|
|
||
|
0 |
|
|
8 3 3 |
. |
||||||
|
0 |
21 8 |
3 3 |
|
|
|
0 0 |
0 0 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
Полагаем |
|
X 3 |
C1 , |
X 4 C2 , |
X 5 |
C3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
|
|||
x1 10x2 3c1 2c2 c3 |
|
x1 |
|
|
|
c1 |
|
|
|
c2 |
|
|
|
c3 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
7 |
|
7 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21x2 |
8c1 3c2 3c3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
c1 |
|
c2 |
|
c3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
c |
|
|
|
|
|
|
21 |
7 |
7 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x43 |
c12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Базис: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
21 |
|
|
|
7 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
X 1 |
|
|
|
|
|
, X 2 |
|
|
|
|
, X |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
21 |
|
7 |
1 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Размерность линейного пространства решений равна 3.
Решение системы 2.
Выписываем матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводи ее к треугольному виду.
1 3 1 |
2 |
1 |
|
|
|
1 |
3 1 2 1 |
|
1 3 |
1 2 1 |
|
|||||
|
|
|
4 |
3 |
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
|
2 1 1 |
|
|
2 7 |
3 |
|
|
0 |
1 1 |
|
0 1 |
. |
|||||||
|
1 4 3 |
1 |
2 |
|
|
|
0 |
1 2 |
1 1 |
|
|
0 0 |
0 0 0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем X 3 C1 , |
X 4 |
C2 , тогда: |
|
|
|
|
|
|||||||||
x1 3x2 1 c1 2c2 |
|
x1 2 5c1 5c2 |
|
|
||||||||||||
|
x2 |
1 2c1 c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x2 1 2c1 c2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
x3 c1 |
|
|
|
|
x3 c1 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x4 c2 |
|
|
|
|
|
x4 c2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Общее решение: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
5 |
|
5 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
С1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
X |
|
0 |
|
|
1 |
|
С2 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Частное решение при С1 |
С2 |
1: |
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
X 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 4. Найти координаты вектора x в базисе (e1 ', e2 ', e3 ') , если он задан в базисе
(e1 , e2 , e3 ) . x {6,3,1}.
|
' e1 e2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
e1 |
|
|
e3 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
' 4e1 |
e2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
e |
' e e |
|
e |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
1 4 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
А |
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
А 1 |
|
1 |
|
|
|
Аnp ; Anp |
|
|
|
|
|
11 |
21 |
31 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A12 |
A22 |
A32 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
А |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
4 / 3 |
|
|
|
A13 |
A23 |
A33 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A11 1, A12 4, A13 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
A |
1 |
|
, A |
|
7 |
, A 2. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
21 |
|
|
|
3 |
|
22 |
|
|
|
|
3 |
|
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
A |
4 |
|
, A |
|
16 |
, |
A 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
31 |
|
|
|
|
3 |
|
32 |
|
|
|
|
3 |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1/ 3 |
|
|
|
|
4 / 3 |
|
|
1 |
4 |
3 |
||||||||||||||||
|
А 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 / 3 |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
|
|
1/ 3 |
7 / 3 |
|
|
||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
16 / 3 ; А 1 |
|
|
2 |
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
4 / 3 |
16 / 3 |
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x' ( A 1 )T x;