Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_1_glava_2012-2013

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Определение 1.50 (изоморфизма аффинных пространств)

Биективное аффинное отображение f : A ! B называется изоморфизмом аффинного пространства A на аффинное пространство B. При этом аффинные пространства A и B называются изоморфными. Обозначают A B.

Упражнение 1.51 ( )

Доказать, что отношение изоморфности на множестве всех аффинных пространств является отношением эквивалентности.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Множество всех аффинных пространств разбивается на непересекающиеся классы изоморфных аффинных пространств. В силу теоремы 1.47 координатное отображение : A ! Rn является изоморфизмом аффинного пространства A на n-мерное арифметическое аффинное пространство Rn.

Тем самым два любых n-мерных аффинных пространства изоморфны, т. е. все n-мерные аффинные пространства образуют один класс изоморфности.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.52 ( )

Аффинное отображение f : A ! B биективно тогда и только

! ! !

тогда, когда его индуцированное отображение f : A ! B

биективно.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

§ Дополнение. Некоторые понятия из теории множеств.

Пусть X произвольное множество. Семейством элементов множества X называется произвольное отображение x : T ! X некоторого множества T в множество X . Множество T называется множеством параметров семейства. Образ параметра t 2 T обычно обозначается символом xt (вместо

x(t) принятого для отображений). Семейство обозначается символом (xt )t2T .

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Если T = N, то семейство называется (бесконечной) последовательностью (или счётным семейством) элементов множества X , а если T = f1; : : : ; kg, то конечным семейством (или конечной последовательностью) k элементов множества X . При этом для j 2 N элемент xj называется j-м членом последовательности. Последовательности мы

обозначаем символом (x1; : : : ; xk ; : : :), (xj )1j=1, или просто

x1; : : : ; xk ; : : :. Конечные семейства мы обозначаем символом

(x1; : : : ; xk ), (xj )kj=1, или просто x1; : : : ; xk . Семейство x : T ! X , являющееся инъективным

отображением, т. е. такое, что xt1 6= xt2 при t1 6= t2, называется семейством без повторений.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Конечное семейство без повторений k элементов x1; : : : ; xk определяет k-элементное подмножество fx1; : : : ; xk g множества X . О таких семействах будем говорить, что они получены некоторой нумерацией этого k-элементного подмножества. Очевидно, что для любого k-элементного подмножества существует k! семейств без повторений, которым отвечает это подмножество. Будем говорить, что эти семейства получаются друг из друга посредством перенумеровывания. Сужение (xt )t2T1 семейства (xt )t2T на подмножество T1 T называется подсемейством. В частности, подпоследовательностями последовательности x1; : : : ; xj ; : : :

являются последовательности вида xj1 ; : : : ; xjm ; : : :, где

1 j1 < : : : < jm < : : :.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Студенты, желающие досрочно сдать экзамен, должны выполнить упражнения в общей сумме с десятью звёздочками из каждой главы. Упражнения из первой главы сдать на проверку лектору до 7 ноября 2012 г. Упражнения из второй главы сдать на проверку лектору до 21 ноября 2012 г.