Ангем. 1 курс (слайды + вопросы) / AnGeom_Lektsii_Egorov_A_A_1_glava_2012-2013

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.28 ( )

Вычислить размерность пространств из примера 1.2, и в случае конечномерности найти какой-нибудь базис.

Лемма 1.29 (о дополнении до базиса)

Любую линейно независимую последовательность векторов в конечномерном векторном пространстве можно дополнить до базиса этого пространства.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

§ 1.6. Координаты вектора. Координатный изоморфизм.

Пусть V вещественное n-мерное векторное пространство, e1; : : : ; en базис в V . По определению базиса для каждого вектора a 2 V существует единственное представление в виде линейной комбинации

векторов e1; : : : ; en с коэффициентами x1; : : : ; xn, xi 2 R, i = 1; : : : ; n.

Определение 1.30 (координат вектора)

Числа x1; : : : ; xn называются координатами вектора a в базисе e1; : : : ; en. При этом линейная комбинация (1) называется разложением вектора a по базису e1; : : : ; en.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.31 ( )

Проверить, что набор векторов e1, . . . , en, ej = (0; : : : ; 1; : : : ; 0) (единица на j-ом месте), образуют базис (называемый стандартным) в вещественном n-мерном арифметическом векторном пространстве Rn. Чему равны координаты векторов относительно этого базиса?

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Пусть a и b векторы из V , 2 R, x1; : : : ; xn и y1; : : : ; yn координаты a и b в базисе e1; : : : ; en. Тогда

В силу единственности разложения вектора по базису имеем, что x1 + y1; : : : ; xn + yn координаты суммы a + b, а

x1; : : : ; xn координаты произведения a.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Определение 1.32 (координатного отображения в.пр-ва) Определим координатное отображение : V ! Rn формулой

(a) = (x1; : : : ; xn);

где x1; : : : ; xn координаты вектора a в базисе e1; : : : ; en. Отметим, что определение координатного отображения зависит от выбора базиса e1; : : : ; en.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Теорема 1.33 (о координатном изоморфизме в.пр-ва)

Пусть V n-мерное векторное пространство, e1; : : : ; en базис в V , координатное отображение, определяемое базисом e1; : : : ; en. Тогда отображение линейно, т. е.

( a + b) = (a) + (b) для любых a; b 2 V и ; 2 R, и биективно.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Определение 1.34 (лин.отображения (гомоморфизма) в.пр-ств)

Пусть V и W векторные пространства. Отображение ': V ! W называется линейным отображением (или гомоморфизмом), если '( a + b) = '(a) + '(b) для любых a; b 2 V и ; 2 R.

Определение 1.35 (линейного изоморфизма в.пр-ств)

Биективное линейное отображение одного векторного пространства на другое называется (линейным) изоморфизмом.

По теореме 1.33 координатное отображение линейно и биективно, поэтому его называют также координатным изоморфизмом.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Свойства векторных пространств, которые выражаются только в терминах операций сложения векторов и умножения вектора на число, при изоморфизмах сохраняются.

Определение 1.36 (изоморфности векторных пространств)

Два линейных пространства V и W называются изоморфными, если существует хотя бы один линейный изоморфизм между этими пространствами. Обозначают V W .

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Упражнение 1.37 ( )

Доказать, что отношение изоморфности между векторными пространствами является отношением эквивалентности на множестве всех векторных пространств, т. е. оно рефликсивно (V V ), симметрично (если V W , то W V ) и транзитивно (если V W и W U, то V U).

Теорема 1.33 показывает, что каждое n-мерное векторное пространство изоморфно пространству Rn. Поэтому любые n-мерные векторные пространства изоморфны друг другу.

Гл. 1. Векторные и аффинные пространства.

Свойства n-мерных векторных пространств, выражаемые в терминах операций сложения векторов и умножения вектора на число, часто легко устанавливаются, если перенести эти свойства с помощью координатного изоморфизма на пространство Rn. На этом обстоятельстве и основан, в сущности, метод координат, на котором базируется аналитическая геометрия.