Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-1
.pdf
Следствие 3
8a ; b 2 V 9! x 2 V : a + x = b
J Единственность x.
Пусть x 2 V : a + x = b , тогда
x = x + 0 = x + a + ( a) = b + ( a) .
Существование x. |
|
Подставим x = b + ( a) в уравнение a + x = b ; |
|
a + b + ( a) = b . |
I |
В дальнейшем вместо b + ( a) мы будем писать b a . Вектор x = b a называется разностью векторов b и a .
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
21 / 33 |
Следствие 4
8a 2 V |
0 a = 0 |
""
число вектор
J0 a = (0 + 0) a = 0 a + 0 a
0 a + 0 a = 0 a =) 0 a = 0 a 0 a = 0 . I
Аналогично,
Следствие 5
8 2 R 0 = 0 -%
векторы
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
22 / 33 |
Следствие 6
( 1) a = a
J Вектор a является противоположным вектору a .
Покажем, что вектор ( 1) a тоже является противоположным вектору a .
Действительно,
a + ( 1) a = 1 a + ( 1) a = (1 1) a = 0 a = 0 .
В силу единственности противоположного вектора
( 1) a = a . |
I |
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
23 / 33 |
В силу аксиомы 1 a + (b + c) = (a + b) + c .
Легко показать (?) что, (a + b) + c = (a + c) + b . Таким образом, a + (b + c) = (a + b) + c = (a + c) + b .
Другими словами, сумма трёх векторов a; b; c
определена однозначно, имеет смысл выражение a + b + c и можно не указывать в каком порядке складываются векторы.
Упр. (Не легкое) Доказать, что
однозначно определена сумма a1 + a2 + + an .
Упр. (Для разгона) Доказать, что
(a1 + a2) + (a3 + a4) = (a1 + a2 + a3) + a4 .
Полное доказательство можно найти в
Постников М.М. Аналитическая геометрия. 1979.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
24 / 33 |
Три ненулевых радиус-вектора могут располагаться в пространстве различными способами:
они могут не лежать в одной плоскости (векторы a ; c ; d) ;
они могут лежать в одной плоскости (векторы a ; b ; c) ;
и могут лежать на одной прямой.
Мы хотим формализовать это понятие. Т.е., мы хотим сформулировать его для произвольного (абстрактного) линейного пространства.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
25 / 33 |
Например, рассмотрим в трёхмерном пространстве следующие три вектора:
a1 |
= |
223 |
; |
a2 |
= |
233 |
; |
a3 |
= |
2123 . |
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
11 |
|
|
435 |
|
|
|
425 |
|
|
|
4135 |
Лежат ли эти три вектора в одной плоскости ?
Что означает, что они лежат в одной плоскости ?
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
26 / 33 |
Ещё один пример, рассмотрим в пространстве полиномов следующие три полинома:
P1(t) = t3 3t2 + 4t + 5 ;
P2(t) = 3t2 t 2 ;
P3(t) = t3 + 3t2 + 2t + 1 :
Лежат ли эти три полинома в одной плоскости ? Что означает, что они лежат в одной плоскости ?
Те же вопросы в случае матриц |
|
|
|
3 |
6 |
|
||||||||
A1 |
= |
6 |
3 |
; |
A2 |
= |
3 |
0 |
; |
A3 |
= |
: |
||
|
|
5 |
4 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
4 |
2 |
|
Лежат ли эти три матрицы в одной плоскости ?
Что означает, что они лежат в одной плоскости ?
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
27 / 33 |
Резюме
Множество V называется |
векторным пространством, |
|||
а его элементы a 2 V называются векторами |
|
|||
если определены две операции: |
|
|
||
8a; b 2 V |
(a; b) 7 !c = a + b ; |
|||
8a 2 V ; 8 2 R |
(; a) 7 !d = a |
|
||
и эти операции удовлетворяют аксиомам 1. 8. |
|
|||
1 |
a + (b + c) = (a + b) + c ; |
8a; b; c 2 V |
||
2 |
a + b = b + a ; |
|
8a; b 2 V |
|
3 |
90 2 V : 0 + a = a ; |
8a 2 V |
|
|
4 |
8a 2 V 9b 2 V : |
a + b = 0 |
|
|
5 |
( + )a = a + a ; |
8; 2 R ; |
8a 2 V |
|
6 |
( )a = ( a) ; |
|
8; 2 R ; |
8a 2 V |
7 |
(a + b) = a + b ; |
8 2 R ; |
8a; b 2 V |
|
8 |
1 a = a ; |
|
8a 2 V |
|
Простейшие следствия аксиом векторного пространства
Следствие 1. Нулевой вектор существует только один
Следствие 2. |
Противоположный вектор единственный |
|||
Следствие 3. |
8a; b 2 V |
9! x 2 V : a + x = b |
||
Следствие 4. |
8a 2 V |
0 a = 0 |
|
|
|
||||
Следствие 5. |
8 2 R |
0 = 0 |
|
|
|
||||
Следствие 6. |
( 1) a = a |
|
|
|
|
||||
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
29 / 33 |
Примеры векторных пространств
I. Радиус-векторы, т.е. направленные отрезки, отложенные от фиксированной точки
II. Свободные векторы, т.е. направленные отрезки, отложенные от произвольной точки
III. Столбцы длины n
IY. Строки длины m
Y. Матрицы (таблицы чисел)
YI. Полиномы степени не выше n
YII. Множество всех полиномов
YIII. Различные множества функций