Аналитическая геометрия - В.М. Гордиенко / Lecture 1-1
.pdf
II. Свободные векторы, т.е. направленные отрезки, отложенные от произвольной точки.
По определению параллельные, сонаправленные отрезки одинаковой длины задают один и тот же свободный вектор.
Каждый отдельно взятый направленный отрезок является представителем (реализацией) свободного вектора.
От любой точки можно отложить представитель любого свободного вектора.
Теперь определим операции с этими векторами.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
11 / 33 |
Операция сложения может быть определена двумя эквивалентными способами:
а) по правилу параллелограмма
б) по правилу треугольника
Операция умножения на число 2 R
! |
! |
a = |
! |
) |
!. |
0 = AA |
= BB; |
|
AB |
= |
a = BA |
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
12 / 33 |
Можно (и нужно) показать, что введённые операции удовлетворяют свойствам 1) – 8) и, следовательно, свободные векторы образуют векторное пространство.
Замечание.
Свободный вектор можно понимать как перемещение всего пространства как целое.
В этом случае сложение двух векторов результат двух перемещений, выполненных поочерёдно.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
13 / 33 |
2 3 a1
6a2 7
III. Столбцы длины n; a = 6 . 7.
4 .. 5 an
Это пространство обозначается Rn.
Определим операции в этом векторном пространстве.
Сложение двух векторов |
= |
a + b = |
2a2 |
+ b2 3. |
||||||||||
a = 2a2 3 , |
|
b = 2b2 3 |
||||||||||||
6 |
a1 |
|
6 |
b1 |
7 |
|
|
|
|
a1 |
+ b1 |
|
||
... |
7 |
|
... |
) |
|
|
|
6 |
... |
7 |
||||
6an7 |
|
6bn7 |
|
|
|
|
6an |
+ bn7 |
||||||
4 |
|
5 |
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
5 |
|
Умножение вектора на число |
203 |
|
|
a = |
2 a2 |
3. |
||||||||
a = |
2 a2 |
3 |
. При этом |
O = |
; |
|
||||||||
|
|
a1 |
7 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
a1 |
7 |
|
|
6 ... |
|
|
|
|
6... 7 |
|
|
|
6 |
... |
|||
|
6 an7 |
|
|
|
|
607 |
|
|
|
6 |
an7 |
|||
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
4 |
|
5 |
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
14 / 33 |
IY. Строки длины m; |
|
a = a1 |
|
a2 |
am |
|
|||||
Сложение двух векторов |
a2 + b2 |
|
|
|
+ bm . |
|
|||||
= |
|
a + b = |
a1 + |
1 |
|
b2 |
am |
=) |
|||
a = |
|
a1 a2 |
am |
; |
b = |
b1 |
|
bm |
|||
) |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Умножение вектора на число |
|
|
|
|
|
|
|||||
a = a1 a2 |
am . |
|
|
|
|
|
|
||||
При этом |
|
a = a1 a2 am . |
|||||||||
O = 0 0 0 ; |
|||||||||||
Замечание.
Положим в примере III. n = 1 , а в примере IY. m = 1 , тогда мы получаем R , т.е. множество вещественных чисел R можно рассматривать как векторное пространство.
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
15 / 33 |
Y. Матрицы (таблицы чисел) |
|
|
|
2b21 |
|
|
|
|
b2m3 |
||||||
A = 2a21 |
a22 |
|
|
a2m3 ; B = |
|
b22 |
|||||||||
a11 |
a12 |
|
|
a1m |
7 |
|
|
b11 |
|
b12 |
|
b1m |
7 |
||
6 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
6an1 an2 |
|
|
anm7 |
|
|
6bn1 |
|
bn2 |
|
bnm7 |
|||||
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
|
|
5 |
||
=) |
|
|
+ b21 |
|
|
+ b22 |
|
|
|
+ b2m 3 |
|
|
|||
A + B = 2a21 |
a22 |
a2m |
; |
|
|||||||||||
|
a11 |
+ b11 |
a12 |
+ b12 |
|
a1m |
+ b1m |
|
|
||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|||
|
6an1 + bn1 an2 + bn2 |
|
anm |
+ bnm7 |
|
|
|||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
A = 2 a21 |
|
a22 |
a2m3 ; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
6 |
a11 |
|
a12 |
|
a1m |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
6 an1 |
|
an2 |
|
anm7 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
16 / 33 |
|
O = |
2 |
0 |
0 |
|
|
0 |
3 |
|
нулевая матрица, |
||||
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
6 |
0 |
0 |
|
|
0 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
|
|
a1m |
7 |
|
|
|||||
A = |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
противоположная матрица. |
|||||
|
2 a21 |
a22 |
|
|
a2m |
3 |
||||||||
|
|
6 |
|
an1 |
|
|
an2 |
|
|
|
anm7 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
||
Замечание. |
Возможны случаи |
|
|
|||||
|
|
a21 |
a22 |
|
a2m |
|
n = m – квадратные матрицы, |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
a1m |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
A = |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
m = 1 – матрицы-столбцы (см. III), |
|
6an1 |
an2 |
|
anm7 |
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 1 – матрицы-строки (см. IY) |
|
|
|
|
|
5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
17 / 33 |
YI. Полиномы степени не выше n
P (t) = p0tn + p1tn 1 + + pn 1t + pn
P (t) + Q(t) и P (t) определяются понятным образом.
Какой полином играет роль нулевого элемента? Какой роль противоположного?
Вопрос. Почему множество полиномов степени |
n |
не является векторным пространством |
? |
|
|
YII. Множество всех полиномов
YIII. Множество функций на отрезке 0 t 1
множество непрерывных функций;
множество ограниченных функций;
множество дифференцируемых функций;
множество интегрируемых функций;
Простейшие следствия аксиом векторного пространства
В аксиоме 3 3. 90 2 V : 0 + a = a 8a 2 V
утверждается существование нулевого вектора 0.
Следствие 1
Нулевой вектор существует только один.
J Пусть
901; 02 2 V : 01 + a = a ; 02 + a = a ; 8a 2 V ;
|
|
|
|
-% |
-% |
|
|
|
) |
02 |
01 |
02 |
+ 01 |
= 01 |
=) 01 = 02 . |
I |
|
01 |
+ 02 |
= 02 |
|
|
|
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
19 / 33 |
Аналогично, в аксиоме 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. 8a 2 V 9b 2 V : |
a + b = 0 |
|
|
a . |
утверждается существование противоположного вектора |
||||
Следствие 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Противоположный вектор единственный. |
|
|
||
То есть, если a + b2 |
= 0 ; то b1 = b2 . |
|
||
a + b1 |
= 0 |
|
|
|
J b1 = 0 + b1 = (a + b2) + b1 = (b2 + a) + b1 = |
|
|||
= b2 + (a + b1) = b2 + 0 = b2 . |
I |
|||
() |
Лекция 1 |
3 сентября 2011 г. |
20 / 33 |