kvant_mech
.pdf
|
2n2 2π2 |
a |
2 nπx |
|
n2 |
2π2 |
||||
= |
|
|
∫sin |
|
|
dx = |
|
|
|
, что состоит в полном со- |
a |
3 |
|
a |
|
a |
2 |
||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
гласии с полученными нами ранее уровнями энергии:
En = |
px2(n) |
= |
n2 2π |
2 |
. |
2m |
2ma2 |
|
|||
|
|
|
|
Заметим, что уравнение Шредингера Hˆψ = Eψ есть частный случай уравнения (15.2) и его решения дают состояния с определеннойэнергией.Еслиуравнение(15.2)имеетрешения, удовлетворяющие физическим требованиям к волновой функции (непрерывность, однозначность и конечность интеграла на бесконечном расстоянии) при дискретных значениях, т.е.
L= L1, L2, L3, L4,…, Ln…; Lˆψn = Lnψn , то функции дискретного спектра Ψn описывают финитные движения и могут быть
нормированы: ∫∫∫ψn 2dV =1
Для других операторов Lˆ решения, удовлетворяющие физическим требованиям, могут существовать при любых значениях L=L' из некоторого интервала L1≤L'≤ L2, тогда уравнение
(15.2) имеет вид: LˆψL′ = L′ψL′.
В этом случае говорят, Lˆ (или величина L) имеет сплошной
спектр. Функции сплошного спектраψL′ соответствуют инфинитному движению и не могут быть нормированы на единицу. Наконец, спектр оператора может быть частично дискретным и частично сплошным.
81
§29 Ортонормированность и полнота системы собственных функций
Собственные функции дискретного спектра обладают свойством ортогональности, заключающимся в том, что
∫∫∫ψm*ψndV = 0 |
при т≠n. |
|
Действительно, |
ˆ |
и |
используем равенства Lψn = Lnψn |
(Lˆψm )* = Lmψm* . Умножим первое на ψm* , а второе на ψn . Вычитая одно из другого и интегрируя, имеем:
∫∫∫[ψm* Lˆψn −ψn (Lˆψm )* ]dV = (Ln − Lm )∫∫∫ψm*ψndV .
Слева нуль, т.к. Lˆ оператор эрмитов; (Ln–Lm)≠0, и, следователь-
но, ∫∫∫ψm*ψndV = 0.
Во многих случаях уравнение (15.2) имеет кратные корни, существует так называемое «вырождение», и одному и тому же Ln соответствуют несколько (gn) разных состояний и собственных функций с «двойными номерами»: Ψn1, Ψn2, Ψn3,…, Ψn,gn. В этом случае можно составить gn разных, функций Ψnk’, являющихся линейными комбинациями функций Ψn. Возьмем первую функцию этого ряда совпадающей с Ψ1 Ψ1'=Ψ1. Ψ2'
выберем в виде Ψ2'=Ψ2+а12Ψ1 и определим а12 из требований
ортогональности Ψ2' и Ψ1': ∫∫∫ψ1* (ψ2 + a12ψ1)dV = 0 или
a12 = − |
∫∫∫ψ1*ψ2dV . |
||||
∫∫∫ |
|
ψ1 |
|
2dV |
|
|
|
||||
|
|
|
|
82
Теперь Ψ3' определим как линейную комбинацию Ψ3, Ψ2, и
Ψ1 Ψ3'=Ψ3+а23Ψ2+а13Ψ1 и найдем коэффициенты а23 и а13 из условияортогональностиΨ3'кΨ2'иΨ1'.Такпродолжаяпроцесс
ортогонализации, придем к ортогональной системе функций: Ψ1', , Ψgп'. Таким образом, весь набор собственных функций дискретного спектра можно считать ортогональным. Поскольку они соответствуют финитному движению, эти функции могут быть нормированы, и мы можем теперь написать условие
ортонормированности:
* |
1, |
m = n , |
∫∫∫ψmψndV =δmn = |
m ≠ n |
|
|
0, |
δmn называется символом Кронекера.
§30 Принцип суперпозиции.
Разложениепособственнымфункциямоператора
Вквантовоймеханикевводитсяещеодинважныйпостулат– принцип суперпозиции (наложения). Согласно этому принципу, если функции ϕ1, ϕ2,… ϕn изображают возможные состояния, то и функция Ψ = Σсnϕn (сn – комплексные коэффициенты) также соответствует некоторому возможному состоянию. Операторы квантовой механики, как правило, обладают свойством полноты системы их собственных функций. Это свойство заключается в том, что весьма произвольную функцию Ψ(x,y,z) можно разложить в ряд по собственным функциям оператора, подобно тому, как мы разлагаем в ряд Фурье.
Рассмотрим для простоты оператор, имеющий дискретный спектр Lˆϕn = Lnϕn . Разложение Ψ по его функциям имеет
83
вид: ψ = ∑cmϕm (x). Покажем, как можно найти сn. Умно-
m
жимрядна ϕn* (x) и,интегрируяполученноеравенство,имеем:
∫ |
m |
∫ |
m |
|
|
ϕn*ψdx = ∑cm |
|
ϕn*ϕmdx = ∑cmδmn =cn |
, т.к. δmn ≠0 только |
при m≠n. Аналогично для ψ* = ∑cm* ϕm* (x). Коэффициенты
m
разложения сn имеют важный физический смысл. Найдем среднее значение величины L в состоянии с волновой функцией Ψ :
|
|
|
∫∫∫ |
ˆ |
* |
∫∫∫ |
* ˆ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
L = |
ψ*Lψ dV |
n,m |
ϕnLϕmdV = |
|
|
||||||
|
= ∑cncm |
|
|
|
|||||||
= ∑Lmcn*cm ∫∫∫ϕn*ϕm = ∑Lmcn*cmδmn =∑ |
|
cn |
|
2 Ln ; |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
n,m |
|
n,m |
|
n |
|
|
сравнивая с определением среднего L = ∑wn Ln , убеждаем-
n
ся, что |cn|2=wn, т.е. квадраты модулей коэффициентов раз-
ложения имеют смысл вероятностей того, что в состоянии с волновой функцией Ψ величина L принимает значение Ln.
Пример:
Рассмотрим нормированную на единицу волновую функцию, обращающуюся в нуль на границах «ящика» с бесконечнымистенками:ψ(x) = (30a5 )1/2x(a − x).Т.к.онанесовпа-
дает с ϕn = (2a)1/2 sin(nπxa), то в этом состоянии энергия
E = px2 2m не имеет определенного значения. Разложим эту функцию по ϕn. Найдем коэффициенты разложения, имеем:
n |
( |
|
5 |
1/2 |
1/2 |
a |
|
nπ x |
|
|
|
) |
(2 a) |
∫ |
|
|
|
||
c |
= 30 |
a |
|
|
0 |
x(a − x)sin |
a |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
815 ,åñëèесли nnнечетноен ечетн о;å;
= n3π3
0,0,åñëèесли÷åòínчетноеî å. .
Интеграл вычисляется путем двукратного интегрирования по частям:
∫a x(a − x)sin |
nπx |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
∫a (a −2x)cos |
nπx |
dx = |
|||||||||||||||
dx = − |
|
|
a |
|
x(a − x)cos |
nπx |
{= 0}+ |
a |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
nπ |
|
|
|
|
|
a |
|
|
nπ |
0 |
|
|
|
a |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a |
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
nπx |
|
|
2 |
a |
|
|
|
|
3 |
a |
|
|
nπx |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
= |
|
(a − 2x) |
|
sin |
{= 0}+ |
2a |
∫sin |
nπx |
dx = − |
2a |
|
cos |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
3 3 |
|
|
|||||||||||||||||||||
0 |
|
nπ |
|
|
|
nπ |
|
|
a |
|
|
|
n π |
0 |
|
|
a |
|
|
n π |
0 |
|
|
a |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2a3 |
|
|
|
|
4a |
|
|
,åñëèесли nníнечетноеечетн о е; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= − |
|
|
(cosnπ |
|
−1)= |
|
|
n3π3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,0,åñëèесли÷åòínnчетноеîå. . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим теперь среднее значение энергии в этом состоянии. Напомним: спектр энергии для частицы в ящике с беско-
нечными стенками имеет вид: E |
= n2 |
|
|
2π2 |
и среднее значе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
2ma2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ние энергии |
|
|
= ∑ En |
|
cn |
|
2 |
= |
|
∑ n2 |
π |
|
|
|
|
|
960 |
= |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
6 6 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1,3,5.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1,3,5.. |
|
|
2ma |
|
|
|
n π |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
{= π |
4 |
|
|
|
|
5 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4804 2 |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2k −1) |
4 |
|
ma |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π ma |
k=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
96 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
Если не интересоваться распределением по уровням, сред- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нее значение энергии можно получить значительно проще: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a |
|
|
pˆ |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
a |
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= ∫ψ* |
|
ψdx− = |
|
30 |
∫x(a − x) |
|
|
|
|
[x(a − x)]dx = |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
dx |
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
2m |
|
|
|
2ma |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
30 2 |
a |
|
|
|
|
|
|
30 2 a |
|
ax2 |
|
|
|
x3 |
|
|
|
30 2 |
|
a3 |
|
5 2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
ma |
5 |
∫x(a |
− x)dx = |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. |
||||||||||
ma |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
ma |
|
|
|
|
|
ma |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
ЛЕКЦИЯ 12
§31 Представлениясостояний.Матричныеэлементы.
Матрицаоператорвсобственномпредставлении. Переходотодногопредставлениякдругому
Совокупность коэффициентов cn, с точки зрения описания состояния, напоминает по своим свойствам волновую функцию ψ(r ). Во-первых, знание совокупности cn позволяет найти ψ(r ) по формуле:
ψ(r ) = ∑cnϕn (r ). (А)
И, наоборот, известная ψ(r ) позволяет найти все cn по фор-
муле: |
|
∫∫∫ϕn*ψdV = cn . |
(В) |
Во-вторых, физический смысл коэффициентов cn |
также анало- |
гичен физическому смыслу ψ(r ) т.к. они (точнее их квадраты) описывают вероятности того, что физическая величина принимает конкретное значение Ln, или что частица находится в объеме dV вблизи точки с координатами x, y, z (r ). Ввиду этого совокупность коэффициентов cn называют волновой функцией в L-представлении, а ψ(r ) волновой функцией в координатном представлении, Переход от одного представления к другому осуществляется с помощью приведенных формул (А) и (В).
Можно получить более общие формулы для перехода от
одного представления (L-) к другому (M-), где Lˆ и Mˆ два эрмитовых оператора, также найти вид любого эрмитова оператора в произвольном L-представлении. Ограничимся операторами, имеющими дискретный спектр.
Пусть имеется совокупность собственных функций опера-
86
ˆ |
ˆ |
|
ˆ |
тора L : |
Lϕn = Lnϕn и произвольный эрмитов оператор M , |
||
переводящий волновую функцию Ψ в Ψ‘: |
|
||
|
ˆ |
|
16.1 |
|
Mψ =ψ′. |
||
Разложим Ψ и Ψ′ по ϕn: Ψ=Σcnϕn |
и Ψ′=Σc’nϕn |
где совокупности |
|
cn и c’n есть волновые функции в |
L-представлении. Их часто за- |
писывают в виде матрицы-столбца. Подставим разложения в (16.1) ∑cn Mˆ ϕn = ∑cn′ϕn . Умножая обе части на ϕm* , интегрируя и пользуясь условием ортонормированности, получим:
cm′ = ∑Mmncn ,где Mmn = ∫∫∫ϕm* Mˆ ϕndV . n
Величины Mmn можно расположить в квадратную таблицу:
|
M11 |
|
M1n |
|
ˆ |
|
|
|
|
M = |
M n1 |
|
M nn |
, имеющую конечное или бесконеч- |
ноечислостроки столбцов, называемуюматрицей, авеличины Mmn называются матричными элементами этой матрицы. Ма-
|
ˆ |
|
|
ˆ |
|
трица M , является оператором |
M в L-представлении и пре- |
||||
образует волновую функцию cˆ |
в другую – cˆ′. В символиче- |
||||
ской записи |
ˆ |
|
|
|
|
cˆ′= M cˆ . |
|
|
|
||
В |
частности, в |
своем |
собственном |
представле- |
|
нии |
ˆ |
= Mnψn |
матрица диагональна, |
поскольку |
|
Mψn |
Mmn = ∫∫∫ψm* MˆψndV = Mnδmn = 0 при m≠n и на главной диагонали стоят ее собственные значения.
87
§32 Коммутативность операторов и ее физический смысл
Мы уже видели на примере операторов pˆx и xˆ , что они могутнеподчинятьсякоммутационномузакону.Коммутационные свойства операторов определяют, могут ли они иметь общие собственные функции.
Пусть имеются два эрмитовых оператора Lˆ и Mˆ , соответствующие физическим величинам L и M . Докажем два утверждения:
1. Если существуют волновые функции ψL′M ′ , соответствующиесостояниям,вкоторых L и M принимаютточныезначения L = L′ и M = M ′, причем эти функции образуют полный
набор, то операторы Lˆ и Mˆ коммутируют. Доказательство: По условию имеем два равенства:
|
ˆ |
′ = L′ψ ′ |
′ и |
ˆ |
|
′ ′ = M ′ψ ′ ′ . |
Подействуем на |
|||||
|
L ψ ′ |
M ψ |
|
|||||||||
|
L M |
L M |
|
L M |
|
|
|
L M |
ˆ |
ˆ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
обе части равенств перекрестно операторами L |
и M , тогда |
|||||||||||
ˆ ˆ |
′ ˆ |
|
′ |
|
′ |
|
′ |
, |
|
|
|
|
MLψL′M ′ |
= L MψL′M ′ |
= L M |
ψL′M |
|
|
|
|
|||||
LMψL′M ′ |
= M LψL′M ′ |
= M LψL′M ′ |
. В правой части равенств |
|||||||||
ˆ |
ˆ |
′ˆ |
|
′ ′ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
ˆ |
ˆ |
|
|
|
ˆ ˆ |
|
′ – операто- |
стоят равные числа! Откуда LMψ |
|
′ ′ = MLψ ′ |
||||||||||
ры коммутируют. |
|
|
|
|
L M |
|
L M |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2. Пусть операторы коммутируют. Тогда существуют такие |
|||||||||||
состояния, в которых L и M принимают одновременно точ- |
||||||||||||
ные значения L′ и M ′. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ˆ |
Доказательство: Пусть ψL′ собственная функция оператора |
|||||||||||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
L , т.е. L ψ ′ = L′ψ |
′ . Подействуем оператором M и исполь- |
|||||||||||
|
|
L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зуем коммутативность:
88
MLˆ ˆψL′ = LMˆ ˆψL′ = L′(MˆψL′),
т.е. MˆψL′ является собственной функцией оператора Lˆ , принадлежащей собственному значению L′. Если L′ не вырождено, то функция MˆψL′ может отличаться от ψL′ только постоянныммножителем M ′,т.е. MˆψL′ = M ′ψL′ иψL′ является одновременно и собственной функцией оператора Mˆ , принадлежащей собственному значению M ′. Если же L′вырождено, то можно доказать, что из собственных функций ψL′ (k= 1,2,3,…gL’) можно построить такие линейные комбинацииk , которые будут собственными функциями оператора Mˆ .
Итак, мы доказали, что для существования состояний, в которых величины L и M одновременно имели бы точные зна-
чения, необходимо и достаточно, чтобы операторы Lˆ и Mˆ коммутировали.
§33 «Точное» соотношение неопределенностей
Пусть Lˆ и Mˆ не коммутируют. Тогда в состоянии с волно-
вой функцией Ψ величины L и M (в общем случае обе) не имеют определенных значений и обладают средними квадра-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
= ∆ |
L |
и |
|
M |
2 = ∆ |
M |
отлич- |
|||||
тичными дисперсиями ∆ 2 |
ˆ |
∆ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
ˆ |
|
ˆ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
нымиотнуля.Введемоператоры L = L − L |
, M = M − M |
иэрмитов оператор Nˆ такой, что LMˆ ˆ − MLˆ ˆ = iNˆ .
Вкачестве упражнения студентам предлагается доказать,
что LMˆ ˆ − MLˆ ˆ = Lˆ Mˆ - Mˆ Lˆ = iNˆ .
Длявыводаобщегосоотношениянеопределенностейприме-
89
ним искусственный прием. Рассмотрим неотрицательный интеграл, являющийся функцией вещественного параметра α:
I (α) = ∫ (α∆Lˆ −i∆Mˆ )ψ 2dV =
=∫[(α∆Lˆ −i∆Mˆ )ψ]*[(α∆Lˆ −i∆Mˆ )ψ]dV =
=∫[(α∆Lˆ +i∆Mˆ )ψ* ](α∆Lˆ −i∆Mˆ )ψdV =
=∫ψ*[α2∆Lˆ2 −iα(∆Lˆ∆Mˆ −∆Mˆ ∆Lˆ)+∆Mˆ 2 ]ψdV
Подставляя вместо коммутатора iNˆ , окончательно находим неравенство:
I(α)= ∫[ψ* (α2 ∆Lˆ 2 +αNˆ +∆Mˆ 2 )ψdV =α2 ∆L2 +αN +∆M 2 ≥0.
Чтобы квадратный трехчлен был неотрицательным, необходимо, чтобы его дискриминант (N )2−4∆L2 ∆M 2 был неполо-
жительным, откуда ∆L ∆M ≥ N2 .
ПоследняяформулапредставляетсобойобобщенноесоотношениенеопределенностейГейзенберга.Вчастномслучае,когда
Lˆ = xˆ,а Mˆ = pˆx изсоотношениякоммутации xpˆˆx − pˆx xˆ = i , мы приходим к формуле:
∆px∆x = 2 .
§34 Оператор производной по времени.
Интегралы движения. Уравнения Эренфеста. 2-й закон Ньютона в квантовой механике.
Вернемся к формуле среднего значения L = ∫ψ*LˆψdV . Продифференцируем левую и правую части по времени:
90