kvant_mech
.pdfдифицированное уравнение Шредингера и действуя на обе части оператором pˆl , получим:
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
(1) |
|
|
|
ˆ |
α2 |
|
|
pˆl qˆl pˆl Φl+1 |
= pˆl qˆl Φl |
|
= Hl − |
|
|
||||||||||
|
4(l +1) |
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
λ |
(1) |
− |
|
α2 |
|
Φ |
(1) |
. |
|
|
|
||
|
l |
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
4(l +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ(1) = |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С другой стороны, используя второе соотношение (22.8), преобразуем эту формулу по другому пути:
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
|
(0) |
|
|
|
(0) |
|
|
α2 |
|
|
|
|
(0) |
|
|||
= pˆ |
|
H |
l+1 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ |
l+1 |
= |
|
λ |
l+1 |
− |
|
|
pˆ |
Φ |
l+1 |
= |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
l |
|
|
|
|
4(l +1) |
|
|
|
|
|
|
|
4(l +1) |
|
l |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
λ |
(0) |
− |
|
|
|
|
Φ |
(1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4(l +1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая |
|
|
|
эти |
|
|
|
|
|
|
две |
|
|
формулы, |
|
|
|
находим: |
|||||||||||||||
ˆ |
(1) |
|
|
|
(1) |
|
(1) |
|
|
|
(0) |
|
|
(1) |
т.е. |
|
(1) |
является |
собственной |
||||||||||||||
Hl Φl |
|
= λl |
|
Φl |
= λl+1 Φl |
|
Φl |
|
функцией оператора Гамильтона, соответствующей собствен-
(1) |
(0) |
|
|
α2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ному значению λl |
= λl+1 |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
4(l + 2)2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Аналогично,вводяфункциюΦ(2) |
= pˆ |
pˆ |
Φ(0) ,докажем,что |
|||||||||
|
|
|
|
l |
|
l |
l |
+1 |
l+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
она является собственной функцией оператора Hl , принадле- |
||||||||||||
|
|
|
|
(2) |
|
|
(1) |
|
(0) |
|
α2 |
|
жащей собственному значению |
|
= λl+1 |
= λl+2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
λl |
= 4(l +3)2 |
и т.д. Таким образом, мы получаем последовательность собственных функций и значений оператора Hˆ l :
111
Φ(0); |
Φ(1) |
= pˆ |
Φ(0) |
; |
Φ(2) |
= pˆ |
pˆ |
|
Φ(0) |
; |
Φ(n') |
= pˆ |
pˆ |
|
pˆ |
Φ(0) |
|||||||||||||||
l |
|
|
l |
|
l |
|
|
l+1 |
|
l |
|
|
l |
l |
+1 |
l+2 |
|
l |
|
l l+1... |
l+n' |
l+n'+1 |
|||||||||
λ(0); |
λ(1) = λ |
(0); |
|
|
λ(2) |
= λ(0); |
|
|
|
λ(n'+1) |
= λ(0) |
|
|
|
|||||||||||||||||
l |
|
|
|
l |
|
|
l+1 |
|
|
|
l |
|
|
l+2 |
|
|
|
|
|
l |
|
n'+l+1 |
|
|
|
||||||
|
Собственные значения энергии найдем из соотношения |
||||||||||||||||||||||||||||||
между Е и λl(0) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E |
= λ(n'+1) |
2 |
= |
|
2 |
|
|
α2 |
|
= |
|
2 |
|
|
|
4m2Z 2e4 |
= |
|
Z 2m e4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||||||
2m |
|
2m |
4(l + n'+1)2 |
|
2m |
|
4 4(l + n'+1)2 |
2 2 (l + n'+1)2 |
|||||||||||||||||||||||
n' |
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и E = − |
|
|
Z 2mee4 |
; |
|
E = − |
|
Z 2mee4 |
|
; |
....; E |
n' |
= − |
|
|
Z 2mee4 |
. |
||||||||||||||
|
2 2 (l +1)2 |
|
2 2 (l + 2)2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 2 (l + n'+1)2 |
Введем главное квантовое число n=n’+l+1, тогда уровни энергии зависят только от n и совпадают с формулой Бора:
En |
= − |
Z 2m e4 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
e |
|
. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
2 2n2 |
Φl(1) |
|
|
|
|
||||
|
Функцию |
|
|
находим с |
|||||||||
шающего |
|
оператора, |
действуя |
||||||||||
Φ |
(1) |
= pˆ |
Φ |
(0) |
= |
d |
+ |
l +1 |
− |
α |
|||
l |
|
l+1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
l |
|
|
|
r |
|
2(l +1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
помощью |
повы- |
|||
|
им |
на |
Φ(0) |
: |
|
|
|
|
|
l+1 |
|
|
|
− |
αr |
|
|
|
|
|
|
||
|
C(0)rl+2 |
e 2(l+2) |
= |
|
|
|
|
||||
|
l+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α(2l +3) |
|
− |
αr |
|
|
|
|
|
||||
= C(0) |
|
2l +3− |
r rl+1 e |
|
2(l+2) . |
||
|
|
||||||
l+1 |
|
2(l +1)(l + 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этотпроцессможнонайти: Φl(n')(r) = Ln' (r) rl+1 e−
Продолжая
αr
2(l+n'+1) , где
Ln' (r) – полиномы степени n’ называемые полиномами Лагерра, их явный вид можно получить, последовательно применяя повышающий оператор по правилам, нами рассмотренным.
Полиномы Лагерра обращаются в нуль на интервале 0≤ r<∞ n–l–1 раз.
112
Подставляя α и вводя главное квантовое число n, получим
|
−Zr |
|
2 |
|
Φn,l (r) = Ln−l−1(r) rl+1 e |
nr1 ; |
r1 = |
|
– Радиус первой Бо- |
m e2 |
||||
ровской орбиты. |
|
|
e |
|
|
|
|
|
§40 Состояния электрона в водородоподобном атоме
Таким образом, мы имеем следующие возможные состояния
электрона в водородоподобном атоме: |
|
|
|||||||||||
1). |
|
n=1, |
l=0, |
m=0; |
s-состояния. |
|
Как мы виде- |
||||||
ли, |
|
волновые |
функции |
сферически |
симметричны, |
||||||||
Y0,0 |
= |
|
1 |
|
|
= const и момент импульса и его проекции в |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
4π |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
этом состоянии равны нулю. |
Радиальная волновая функция: |
||||||||||||
Φ1,0(r) |
= a0r e |
−Zr |
R1,0(r) = a0 e |
−Zr |
|
|
|||||||
nr1 ; |
nr1 ; а распределение веро- |
||||||||||||
|
|
|
|
dW1,0(r) = R1,0(r) r2dr = a02r2 e |
− |
2Zr |
|||||||
ятности |
|
|
nr1 dr . |
Константа a0 находится из условия нормировки:
∞ |
∞ |
|
|
− |
2Zr |
2 1 |
r |
|
3 |
|
|
|
Z |
|
3/2 |
||||
2 |
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|||||||||||
∫dW1,0(r) = a0 |
∫r |
|
e |
|
1 |
dr = a0 |
|
|
1 |
|
; |
a0 |
= 2 |
|
|
|
, |
||
|
|
4 |
Z |
|
|||||||||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|||
r1 = |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем расстояние, на котором плотность вероятности имеет максимум:
113
d |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 2Zr |
|
−2rZr |
|
|
dW (r) |
= a |
|
|
2r −r |
r |
|
e |
1 dr = 0, |
||
|
|
||||||||||
dr |
1,0 |
|
0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
r |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
откуда r = |
|
= |
|
, совпадает с радиусом первой Боров- |
Z |
Zm e2 |
|||
ской орбиты. |
|
e |
||
|
|
|
||
2). n=2. При этом значении главного квантового числа име- |
ются s-состояния (l=0, m=0)и p-состояния (l=1, m= –1, 0, +1). Общее число состояний 4 (22).
|
|
|
|
|
|
− |
Zr |
|
|
При n=2 и l=1, L |
(r) = L = const, |
R |
(r) ~ r e |
2r1 |
|||
|
|
|||||||
|
|
n−l−1 |
0 |
1,0 |
|
|
|
|
и |
распределение |
вероятности |
вдоль |
радиуса |
||||
dW2,1(r) ~ r4 e |
−Zr |
|
|
|
|
|
|
|
nr1 dr . Исследование на максимум после диф- |
ференцирования и сокращений дает r = 4Zr1 , что совпадает с
радиусом второй Боровской орбиты!
При lmах=n–1 имеем для радиальной волновой функции
−Zr
Φn,n−1(r) ~ rn e nr1 ; и распределение плотности вероятности
−2Zr
ρ(r) ~ r2n e nr1 , а для точки с максимальной плотностью ве-
роятности получаем уравнение:
− |
|
r2n 2Z |
|
и r = n |
2 |
|
r |
|
2nr2n 1 |
− |
|
= 0 |
|
|
1 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
|
nr1 |
|
n |
|
|
Z |
|
|
|
|
|
|
|
чтосовпадаетсрадиусомn-ойБоровскойорбиты.Нарис.2при-
114
ведены профили вероятности dW(r)/dr для нескольких квантовых состояний
Рис. 20 Радиальная зависимость плотности вероятности dWne(r)/dr=Rne2r2
Таким образом, при максимальном l = n–1 имеет место приближенное совпадение результатов с теорией Бора, что является еще одним проявлением принципа соответствия.
В случае произвольного квантового числа n общую кратность вырождения получим, суммируя кратность вырождении по m, равную 2l+1:
n−1
gn = ∑2l +1= n2 .
l=0
115
ЛЕКЦИЯ 15
§41 Орбитальный магнитный момент
Посколькуэлектроныватомедвижутся(хотяинепоклассическим траекториям), то этому движению сопутствует электрический ток, а, следовательно, и магнитное поле.
Если исходить из теории Бора, в простейшем атоме водорода электрон, движущийся по круговой орбите со скоростью v=ħ/mer1 эквивалентен току I=2eπr1/v, охватывающему площадь S=πr12. Магнитный момент, создаваемого замкнутым током M=IS/c. Подставляя величины и r1=ħ2/mer2 в последнюю формулу, получим:
M=eħ/2mec=µB
Эта величина получила название «магнетон Бора» и представляетсобойестественнуюединицумагнитногомомента,равную
0,927 10–20 эрг/Гаусс.
Вквантовоймеханикевекторплотностиэлектрическоготока может быть найден по формуле для плотности тока вероятности, если ее умножить на заряд электрона е:
j (e) = ie (ψ gradψ* −ψ* gradψ).
2me
В сферических координатах, как мы видели, волновая функция разбивается на множители, зависящие от r,θ , и
ϕ – ψ(r,θ,ϕ) = R(r) Plm (θ) eimϕ . Первые два множителя вещественны или содержат постоянный комплексный коэф-
фициент. Из этого следует, что проекции тока на радиальное направление и на линии угла θ (меридианы) равны нулю и
116
токи текут вдоль окружностей по широте. Проекция вектора градиента на круг широты (сферические координаты)
равна |
1 |
∂ψ . |
|
||
|
r sinθ ∂ϕ |
Разобьем пространство на элементарные торы – «бублики», расположенные по кругам широты. Согласно определению,
вектора магнитного момента µ = Isc , имеем для модуля его
(направленного вдоль оси Z) выражение:
|
|
|
|
µ = |
1 |
j(e) πr2 sin2 |
θ dσ . |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
c ∫ |
|
ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим сначала проекцию |
jϕ(e) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
(e) |
|
i e |
|
|
|
|
|
2 |
|
imϕ ∂ |
|
−imϕ |
|
−imϕ |
∂ |
|
imϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
j |
|
= |
|
|
R(r) P |
|
(θ) |
|
(e |
|
|
e |
|
−e |
|
|
e |
|
) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2mer sinθ |
|
|
lm |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
∂ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= m e ψ 2 mer sinθ
Подставляя в интеграл, получаем:
|
e |
|
|
|
2 |
2 |
|
e |
|
|
|
2 |
|
e |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
µ = m |
|
∫ |
|
ψ |
|
|
2πr sin |
θdσ = m |
|
∫ |
|
ψ |
|
|
dV = |
|
m= |
2m c |
|
|
2m c |
|
|
2m c |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
e |
|
|
|
|
e |
|
|
|
e |
=m µB
Итак, магнитный момент электрона в вакууме пропорционален квантовому числу m и принимает, как и lz, 2l+1значений от
– Bm до + Bm.
В s-состоянии (l=0 и m=0) магнитный момент атома равен нулю. Напомним, что ось Z квантования должна быть физически выделена, тем, что вдоль нее направлено хотя бы слабое
117
магнитное поле, ориентирующее вдоль этого направления магнитный момент .
ПроекциямоментанаосьZ такжепропорциональнаm, lz,=mħ,
поэтому отношение к lz постоянно, |
= |
em |
|
1 |
= |
e |
, |
|
|
|
|||||
|
lz |
2mec m |
|
2mec |
|
оно называется гиромагнитным отношением.
§42 Опыты Штерна и Герлаха. Спин электрона
Прежде чем обсудить вопрос об экспериментальной проверке выводов теории о существовании магнитных моментов атомов, сделаем следующее замечание: как мы увидим далее электроны, входящие в состав атома, образуют ряд оболочек. Если все места в оболочках заняты электронами, то механические и магнитные моменты электронов в этой оболочке компенсируют друг друга и в сумме равны нулю. Поэтому вклад в моменты вносят только электроны незаполненных оболочек, они называются валентными или оптическими. В частности, в атомах водорода и щелочных металлов такой электрон один. В нормальных, невозбужденных состояниях в щелочных атомах и водороде валентные электроны находятся в s-состояниях, и поэтому их моменты должны быть равны нулю.
В экспериментах, которые проводились Штерном и Герлахом,дляизмерениямагнитныхмоментовпучокатомовввакуумепропускалсячерезнеоднородноемагнитноеполесбольшим градиентом, для этого полюсам придавалась особая форма.
118
|
|
|
|
|
печь |
|
|
|
|
|
|
|
|
стеклянная |
а |
магнит |
|||
|
|
пластинка |
||
|
|
б
Рис. 21
В таком поле на магнитный момент действует сила, пропорциональная проекции на направление напряженности (система СГС, вакуум), и проекции градиента поля на это направ-
ление F = z ∂∂Hz .
(Предполагаем, что поле направлено вдоль Z, и изменяется в пространстве только модуль напряженности поля). При этом, сила направлена вдоль Z, в сторону возрастания поля.
В классическом приближении проекция на направление поля может принимать любые значения (непрерывна) и, следовательно, узкая полоска следа атомов на фотопленке должна размываться в широкую полосу, края которой соответствуют
119
значениям z =± .
Вквантовой механике число проекций на ось квантованияможетприниматьтольконечетныезначения2l+1,и,вчастности, для водорода и щелочных металлов это одно единствен-
ное значение z равно нулю. Поэтому расщепления пучка не должно быть вообще или пучок должен был расщепляться на нечетное число полос, расположенных симметрично относительно центральной несмещенной полосы (если атомы возбуждены).
Опыт дал следующее: для некоторых атомов действительно наблюдалосьрасщеплениенанечетноечислополос(O,Fe),для Ca, Mg расщепление вообще отсутствовало, однако для ряда элементов наблюдалось расщепление на четное число полос, например, водород и щелочные металлы, для которых расщепления вообще не должно быть, след расщеплялся на две полоски!
Эти факты показывают, что в развитой теории чего-то нехватает и картина происхождения магнитных моментов атомов неполна.
В1925 г. Гаудсмит и Уленбек выдвинули (первоначально в рамкахтеорииБора)гипотезу,чтоэлектроныобладаютпомимо вращательного механического момента и магнитного момента, связанных движением по орбите, еще и собственными механическим и магнитным моментами. Существование этого моментаобъясняетрасщеплениепучкаатомоввопытахШтернаи Герлаха на четное число полос и, в частности, расщепление на две полосы для атомов водорода и щелочных металлов
Первоначально существование собственных моментов электронов пытались объяснить, рассматривая их как твердый
120