kvant_mech

шарик с радиусом ~е2/mec2 (классический радиус электрона), обращающийся вокруг своей оси. В связи с этим собственные механический и магнитный моменты получили название «спиновых». Однако такое представление оказалось несостоятельным, твердый шарик противоречил всему духу квантовой механики .

§43 Спиновое квантовое число

Введем по аналогии с орбитальным моментом квантовые числа для квадрата механического момента электрона s 2 и проекциимомента sz : s 2 = 2 s(s +1) и sz=ħms,гдеквантовое

число s называют спином, а – магнитным спиновым квантовым числом. Также как в теории орбитального момента, ms принимает все значения от –s до +s через единицу, т.е. 2s+1 значений. Посколькувопытахдляатомовсоднимвалентнымэлектроном расщепление происходит на две линии, мы приходим к выво-

ду, что 2s+1=2, т.е. s=½ и ms принимает значения +½ или –½. Таким образом, для s 2 и sz получаем значения:

С другой стороны опыт Штерна и Герлаха позволяет по величине отклонения определить величину спинового магнитно-

121

сюда спиновое гиромагнитное отношение оказалось равным

e e

2mec : 2 = mec , что в два раза больше, чем для орбитальных

моментов.

Заметим, что это также находится в противоречии с представлениями электрона, как о твердом шарике. Окружная скорость на поверхности шарика радиусом е2/mec2, чтобы обеспечить момент sz=½ħ, должна была бы во много раз превышать скорость света.

ет рассматривать как некоторую дополнительную внутреннюю степень свободы электрона, которую невозможно объяснить в рамках наглядных представлений классической механики.

Какивсемфизическимвеличинам,проекциямспинаsx,sy,sz, и его квадрату s 2 должны быть сопоставлены эрмитовы операторы sˆx , sˆy , sˆz , подчиняющиеся таким же перестановочным соотношениям, как и операторы орбитального момента:

sˆx sˆy − sˆy sˆx = i sˆz ;.............. sˆx sˆ2 − sˆ2 sˆx = 0.

Это значит, что существуют состояния, в которых s 2 и, например, sz имеют одновременно определенные значения при этом sx, sy неопределенны.

122

§44 Волновые функции частицы со спином

Волновая функция частицы со спином ½ должна помимо вероятности определенных значений координат x, y, z или других параметров, определять еще и вероятности двух возможных значений проекций спина sz. Это значит, что она должна иметь

или –½ħ, соответственно. Такую двухкомпонентную функцию

можно изобразить в виде столбца ψ1 , в котором верхняя и

ψ2

нижняя строка относятся к состояниям проекций спина ½ħ и

–½ħ, соответственно.

Пусть вероятности значений проекций спина не зависят от координат (обычно так и бывает, за исключением сильно неоднородногополя).Вэтомслучаезависимостиотспинаикоординат разделяются, и волновая функция представляется в виде

ей, когда в классической механике аналога нет, и приходится физическую величину, вернее ее вероятность описывать только с помощью матрицы-столбца. Спиновые операторы, действую-

123

щие на столбцы c1 , представляют собой двухрядные матри-

c2

вращает его в новый столбец

a11c1 + a12c2 .a21c1 + a22c2

Другой способ записи волновых функций частиц со спином ½ связан с введением, кроме координат, дополнительного аргумента σ, принимающего два значения ½ и –½ эти значения ар-

гумента эквивалентны двум строчкам в столбцах ψ1 и соот-

ψ2

ветствуютsz равным½ħи–½ħ.Вэтомпредставленииволновые функции записываются в виде: ψ(r,σ) или ψ(r )χ(σ), если

пространственная координата (r ) и спиновая (σ) разделяются. Спином обладают не только электроны, но протоны, нейтроны, атомные ядра, элементарные частицы и даже фотоны. Су-

ществуют частицы с полуцелым спином s = 12 , 32 , 52 ,... и

сцелымспином s =1, 2, 3,... Волновыефункцииэтихчастиц могут быть записаны в виде столбцов с 2s+1 строками, а их спиновые операторы в виде квадратных матриц ранга 2s+1.

124

Системы тождественных частиц

ЛЕКЦИЯ 16

§45 Принцип неразличимости.

Свойства симметрии волновых функций. Фермионы и бозоны

Перейдем к рассмотрению системы из N частиц. Естественным обобщением уравнения Шредингера для этого случая яв-

ляется уравнение Hˆψ = Eψ , где гамильтониан системы выражается формулой эквивалентной в классике формуле для полной энергии системы частиц:

В этом выражении mi – масса i-той частицы, i – лапласиан по ее координатам, Ui (ri ) – потенциальная энергия во внешнем поле и Wi,k (ri,k ) потенциальная энергия взаимодействия i-той и k-той частиц, зависящая только от расстояния между

новая переменная, принимающая в случае s=½ значе-

125

ния ½ и –½, тогда имеем ψ =ψ(q1, q2, q3,...,qN ). Особое значение имеет случай тождественных частиц, когда

что если поменять местами координаты двух частиц (или, что то же, слагаемые в суммах), например i и k, гамильтониан системы тождественных частиц останется неизменным:

Hˆ (q1,...,qi,....,qk ,...,qN ) = Hˆ (q1,...,qk ,...,qi,...,qN ).

Введем еще один важный постулат – принцип неразличимости. Согласно этому принципу состояние системы тождественных частиц не изменяется при перестановке пары частиц друг с другом. Правдоподобие этого принципа следует из таких рассуждений:

В классической физике даже тождественные частицы (например,электроны)могутвпринципеотличатьсядруготдруга, т.к.длянихимеетсмыслпонятие«траектории».Поэтому,«пронумеровав» их в какой-то момент времени мы сможем следить за их дальнейшим движением по их траекториям и, тем самым, отличать их друг то друга. В квантовой механике движение частиц описывается как распространение волновых пакетов, расплывающихся с течением времени, эти пакеты рано или поздно перекрываются и, обнаружив частицу в области перекрытия, мы уже не сможем ее идентифицировать, отождествить с первой или второй частицей. Поэтому все состояния системы тождественных частиц, отличающиеся только перестановками, должны рассматриваться как одно и то же состояние и волновые функции такой системы, отличающиеся перестановками

126

аргументов, должны описывать одно и то же состояние.

Для краткости все дальнейшие рассуждения будем вести на примере двух частиц, это не нарушает общности, т.к. те аргументы волновой функции qi, которые не переставляются друг с другом, не играют роли в дальнейших рассуждениях. Соглас-

но принципу неразличимости волновая функция ψ(q2,q1) может отличаться от ψ(q1,q2) только постоянным множителем λ с модулем равным единице (по условиям нормировки) ψ(q2,q1)=λψ(q1,q2). Если переставить аргументы у второй функции, получим ψ(q1,q2)=λψ(q2,q1). Откуда следует

ψ(q2,q1)=λ2[ψ(q2,q1)] и λ2=1, λ=±1. Следовательно, волноваяфункцияможетбытьсимметричнойψs (q2,q1) =ψs (q1,q2)

или антисимметричной ψa (q2,q1) = −ψa (q1,q2) по отноше-

нию к перестановке аргументов двух частиц. Нетрудно видеть, что это свойство сохраняется со временем. Действительно, за-

пишемвременнóеуравнениеШредингераввидедифференциалов:

i dtψ(q1,q2) = Hˆψ(q1,q2)dt .

Переставив аргументы в левой и правой частях уравнения, и учитывая симметричность гамильтониана, убеждаемся, что

приращение волновой функции dtψ обладает такой же симме-

трией,какисамаΨ –оносимметрично,еслисимметричнаΨ,и антисимметрично,еслиантисимметричнаΨ.Очевидно,чтовсе волновые функции, описывающие состояния данной системы тождественных частиц должны обладать одинаковой симметрией,– быть либо симметричными, либо антисимметричными

127

по отношению ко всем N ! возможным перестановкам частиц. В противном случае линейные комбинации функций с разной симметрией не были бы ни симметричными, ни антисимметричными и не могли бы описывать возможные состояние системы в противоречии с принципом суперпозиции.

Такимобразом,всечастицы,существующиевприроде,делятся на два класса: одни описываются симметричными волновы- мифункциями,ониподчиняютсястатистикеБозе-Эйнштейнаи называются «бозонами»; другие описываются антисимметричными волновыми функциями, подчиняются статистике ФермиДирака и называются «фермионами». Принадлежность частиц однозначно определяется спином, обладающие целым спином (s=0, 1, 2, 3…) являются бозонами, а частицы с полуцелым спином (s=½, 1½, 2½, 3½…) – фермионами (теорема Паули). Эта теорема доказывается сложным образом в квантовой теории поля, и ее доказательство выходит за пределы этого курса.

§46 Принцип Паули

Для фермионов, в частности для электронов, справедлив принцип Паули (запрет Паули). Обозначим через k полную системуквантовыхчиселодновременноизмеряемыхвеличиндля одногофермиона,ачерезϕk(q)–общуюсобственнуюфункцию соответствующих операторов. Например, в случае центрального поля, k будет совокупностью чисел n, l, m, ms, а ϕk – произ-

ведение Rnl(r) Ylm(θ,ϕ) на спиновую функцию α1(σ) или α2(σ). Волновую функцию для двух фермионов можно разложить

по произведениям ψ(q1,q2) = ∑c(k1,k2)ϕk1 (q1)ϕk2 (q2 )

k1,k2

(сумма по набору квантовых чисел). При смене мест аргумен-

128

тов ψ(q2,q1) = ∑c(k1,k2)ϕk1 (q2)ϕk2 (q1). Переобозначим

k1,k2

индексы суммирования k1 на k2 и наоборот и воспользуемся антисимметричностьюψ(q1,q2):

ψ(q2,q1)= ∑c(k2,k1)ϕk2 (q2)ϕk1 (q1) = −ψ(q1,q2)=

k1,k2

= −k∑1,k2 c(k1,k2)ϕk2 (q2)ϕk1 (q1).

Откуда c(k2,k1) = −c(k1,k2); при k1 = k2 = k , c(k,k) = 0, но с – вероятность и поэтому невозможно состояние с k1 = k2

т.е. с одинаковым полным набором квантовых чисел.

Принцип Паули: вероятностьтого,чтовсистемефермионов два фермиона имеют одинаковый полный набор квантовых чисел, характеризующих одновременно измеряемые величины, равна нулю.

Более наглядная, но менее строгая формулировка:

В системе тождественных частиц – фермионов две частицы не могут находиться в одинаковых состояниях. Нестрогость этой формулировки заключается в том, что в квантовой механике в системе, состоящей из любых тождественных частиц, не имеют смысла состояния отдельных частиц. Если даже их взаимодействием можно пренебречь (все Wik=0), и перемен-

ные в уравнении Шредингера разделяются, его решение не будет произведением ϕk1 (q1)ϕk2 (q2 ), т.к. такое произведение

не будет ни симметричным, ни антисимметричным. Чтобы получить правильный результат, нужно решение уравнения Шредингера в случае системы двух бозонов симметризовать:

129

гарантируетнормировкуψs ,еслиϕ1 иϕ2 нормированы).Длядвух фермионов решение нужно, соответственно, антисимметризовать:

вания симметрии волновых функций в системе тождественных частиц приводит к их дополнительному не классическому взаимодействию, вследствие которого индивидуальные волновые функции частиц не существуют.

130