kvant_mech

2-ой постулат:

Атом излучает и поглощает электромагнитную энергию

в виде одного кванта частоты ωmn, переходя со стационарной орбиты номером m на орбиту m номером n. По закону

сохранения энергии ħωmn=Em-Еn – (правило частот Бора).

Очевидно, что при Em>Еn излучение, а при Em<Еn - поглощение света.

Для того чтобы теория была замкнутой нужен рецепт, способ позволяющий выбирать из континуума классических орбит стационарные.

3-ий постулат Бора:

Момент количества движения электрона на n-ой стационарной орбите равен n-кратной постоянной Планка ħ, т.е.

meVnrn = nħ.

Этот постулат не “взят с потолка” и не является подгоночным это некоторое развитие теории Планка. Мы не будем заниматься здесь его обоснованием, т.к. теория Бора, несмотря на её успехи, как мы увидим далее, оказалась несостоятельной и в настоящее время представляет, в основном, исторический и методический интерес.

Последнее соотношение совместно со вторым законом Нью-

тона даёт: meVn2 = Ze2 и позволяет найти все величины и ча-

стоты.

rn rn2

Исключая скорость, находим: rn=n2r1, где r1= ħ2/Zmee2 – радиус первой круговой орбиты Бора, который для атома водо-

рода составляет 10–54/(9,1 10–28 23 10–20)=0,528 10-8см.

Для скорости можно получить: Vn=V1/n; где V1=Ze2/ħ. Для водорода V1=e2/ħ=(e2/ħс) с=αc, где безразмерная величина α=e2/ħс=1/137 – «постоянная тонкой структуры».

11

Всеэнергиисвязанныхсостоянийотрицательны,какидолж-

но быть при финитном движении. Для водорода Е1=–13,59 эВ. При n→∞, En→0. Напоминаем, что при E ≥ 0 движение инфи-

нитно, при E = 0 – парабола, при E > 0 – гипербола. Наконец, формула для частот:

§5 Опыты Франка и Герца. Спектр атомарного водорода. Экспериментальные подтверждения и недостаточность теории Бора.

Эллиптические орбиты.

Существование дискретных уровней энергии было подтверждено опытами Франка и Герца. Ими было показано, что атомы, сталкиваясь с электронами, могут приобретать энергию толькодискретнымипорциями,равнымиразностиэнергийстационарных состояний.

Стеклянная трубка с расположенными в ней анодом, подогреваемым катодом и сеткой между ними, заполнялась при пониженном давлении парами ртути. Электроны, испускаемые катодом, разгонялись полем, приложенным между катодом и сеткой. Между сеткой и анодом было приложено слабое тормо-

12

зящее (~0,5 В) поле. которое дает возможность сетке «вылавливать» медленные электроны.

Г

V

П

Рис. 3

Вольтамперная характеристика имела вид чередующихся, равноотстоящих максимумов с общей тенденцией к нарастанию тока. Моменты спада анодного тока отвечают разности потенциалов, при которой энергия электронов становится равной энергии перехода атомов ртути в возбужденное состояние. До этого момента атом «не принимал» энергию у электронов, удар был упругим и, в силу огромной разницы масс, электроны просто «отскакивали» от тяжелых атомов ртути, и передача энергии практически не происходила.

Если энергия электронов становилась равной энергии перехода атомов ртути в возбужденное состояние (4,9 эВ), она передавалась атому. Медленные электроны подхватывались сеткой, поэтому происходил спад анодного тока.

13

I

Рис. 4

Другое подтверждение теории Бора для водородоподобных атомов было получено при сравнении формулы для частот со спектром излучения атомарного водорода. Еще до создания те- орииБораэкспериментальнаяспектроскопиявконце19-госто- летия достигла больших успехов, были исследованы спектры всех доступных элементов. Благодаря применению интерферометрических методов, длины волн света измерялись с фантастической, недоступной в то время другим областям физики относительнойпогрешностью,достигавшей10-6илучше.Спек- троскопически было установлено, что линии спектра водорода образуют ряд серий.

Ранее всего была открыта серия, частоты которой описы-

Rэкс=2,07 1016 1/сек мы будем называть её постоянной Ридберга Спектроскопистам для измерений удобнее использовать

14

волновое число: k=1/λ=ω/2πc, поэтому в спектроскопии этим

термином называют величину в 2πс раз меньшую, равную

(109737,309±0,012)см-1.

Серия Бальмера лежит в видимой части спектра, и её часто-

стота является границей серии и представляет собой предел ωn, при n→∞.

В последствии была обнаружена в ультрафиолетовой части

Таким образом, вся совокупность частот описывается обоб-

15

подгоночные коэффициенты.

Дальнейшее развитие теории Бора принадлежит Зоммерфельду, который учел возможность существования эллиптических орбит и различных ориентаций плоскости орбиты в пространстве. Для полного описания состояния электрона Зоммерфельд использовал три квантовых числа, каждое из которых имеет определенный геометрический смысл, характеризуя свойства эллиптической орбиты, в одном из фокусов которой находится ядро.

Главное квантовое число n определяет большую по-

Орбитальное квантовое число l, определяет малую полу-

ось – b= n(l+1)r1=nħ2(l+1)/Zmee2.

Прификсированномn величинаl принимаетзначения0,1,2,.. n–1, максимальное значение l=n–1 соответствует круговой орбите, а с уменьшениемl эллипс становится всё более сплющенным.

Наконец магнитное квантовое число m определяет ориен-

тацию орбиты относительно заданного направления. Если ввести угол θ между нормалью к плоскости орбиты n и осью OZ. Тогда по теории Зоммерфельда:

cosθ = ml ; m = −l,−(l −1),...,0,...,(l −1), l .

Магнитное квантовое число принимает 2l+1 значений и все-

n−1

го при заданном n существует Nn = ∑(2l +1) = n2 стацио-

l=0

нарных орбит. Т.к. m определяет только угол θ, то плоскость

16

каждого эллипса может вращаться вокруг оси OZ, образуя в пространстве целый конус.

Направление оси OZ не может быть произвольным. Чтобы можно было говорить об ориентации, ось должна быть выделена тем, что по ней должно быть направлено какое-нибудь, хотя бы слабое силовое поле.

Несмотря на поразительные успехи, теория Бора оказалась несостоятельной, в дальнейшем развитии физики была отвергнутаисталалишьпереходнымэтапомкболеестрогойипоследовательной теории. Можно указать 3 основных недостатка:

1.Отсутствует рецепт вычисления интенсивности спектральных линий.

2.Теория не дала возможности рассчитать спектр уже следующего атома гелия.

3.Теория Бора сочетает противоестественным образом классические и квантовые представления, т.к. в ней используются классические понятия – второй закон Ньютона, выражения для энергии, набор возможных траекторий и т.п. С другой стороны,допущение,чтонанекоторыхтраекторияхэлектронне излучает, несмотря на движение с ускорением в корне противоречит классической электродинамике. Когда излучается квант?

вмомент«схода»егосорбитыиливмомент«прибытия»егона новую? Оба ответа противоречат закону сохранения энергии!

17

Начала квантовой механики Взаимодействие квантов света с веществом

Лекция 3

§6 Взаимодействие электромагнитной волны с электроном. Сечение рассеяния. “Классический радиус” электрона.

В электродинамике мы видели, что движущийся ускоренно заряд, излучает электромагнитные волны, и мощность излучения определяется формулой:

−dE = 2 e2 x2 dt 3 c3

Ускорение, которое приобретает электрон в поле гармонической электромагнитной волны, в пренебрежении взаимодействием его с магнитной компонентой поля будет:

x = E0e cosωt me

Таким образом, заряд будет поглощать электромагнитную энергию и рассеивать ее. Средняя рассеиваемая мощность получается подстановкой ускорения в формулу для мощности излучения заряда и усреднением по времени:

18

Поток энергии в электромагнитной волне через единицу поверхности описывается вектором Умова, среднее значение ко- S = 8cπ E02 . Поделив рассеи-

ваемую мощность на вектор Умова, получим полное сечение рассеяния (см. 1-й семестр, рассеяние частиц при инфинитном движении) электромагнитной волны на электроне:

Т.е. электрон из 1 см2 поверхности волны «использует» меньше

10-24 см2!

С площадью полного сечения можно связать радиус, так что,

так называемый, «классический радиус» электрона – величина размерности длины составленная из свойств электрона и

витсяяснымфизическийсмылre –величинаегоопределяетрас- стояние, на котором потенциальная энергия электрона в поле «самого себя» равна его релятивистской энергии покоя.

§7 Фотоэффект

Мы уже говорили, что постулаты Бора возникли не на пустом месте. Кроме теплового излучения, в котором электромагнитные волны (свет) описывались, по-существу, как частицы – «корпускулы», к этому времени русским физиком Столетовым

19

былэкспериментальноисследовантакназываемыйфотоэффект

– явление вырывания электронов из вещества при освещении его светом. В стеклянном вакуумированном сосуде размещались два электрода, подключенные к источнику регулируемого постоянного напряжения. В цепь включался чувствительный гальванометр. При освещении катода светом в цепи возникал ток, несмотря на то, что в сосуде был вакуум.

K A

V МА

Рис. 5

Еще раньше Томсоном и Ленардом было измерено отноше-

ние e/m для частиц, испускаемых телами под действием света. На основании этих измерений был сделан вывод, что это электроны.

Столетов исследовал вольтамперную характеристику этого явления. Кривая, начинаясь в области небольших отрицательных напряжений, показывала рост тока, и затем переход к насыщению, т.е. с ростом напряжения ток переставал расти. При нулевой разности потенциалов ток продолжал ещё существовать и только при небольшой отрицательной величине напря-

20